11(o) ANO:Tema III - Sucessões

11(o) ANO
Tema III - Sucessões (20 aulas)
A resolução de problemas permite chegar ao conceito de sucessão, aceder à compreensão de propriedades importantes de sucessões particulares e particularmente úteis, bem como à necessidade e elaboração de representações formalizadas. Este assunto permite também, com facilidade e vantagens, a utilização intensiva de calculadoras. E permite exercícios de comunicação (pela fala e pela composição escrita). As propriedades das progressões e outras sucessões definidas por recorrência justificam a aprendizagem do método de indução matemática.

Pré-Requisitos:
Os estudantes precisam de deter capacidades de cálculo elementares e devem dominar o conceito de função.

Desenvolvimento
Introdução ao conceito de sucessão
*A sucessão real como função real de variável natural.
*Sucessões monótonas.
*Sucessões limitadas
*Casos particulares das progressões aritméticas e geométricas:
*Termo geral, soma de n termos consecutivos.
*Estudo intuitivo da sucessão de termo geral [Picture parte16rtf] num contexto de modelação matemática; primeira definição do número e.

Indicações Metodológicas
As sucessões devem aparecer como uma forma de organizar possíveis resoluções para situações problemáticas que são apresentadas, com base em aspectos da realidade (social) e em aspectos do estudo das diversas ciências (Matemática incluída). O estudo das sucessões pode e deve servir para evidenciar conexões entre a matemática e as outras disciplinas: a introdução do conceito de sucessão e das suas propriedades pode ser feita introduzindo vários problemas, de tipo geométrico tal como vêm propostos no articulado do actual programa. Outros exemplos sugestivos podem versar assuntos diversos: da geometria por exemplo, comprimento da espiral construída a partir de quartos de circunferências; da economia por exemplo, problemas com empréstimos ou depósitos bancários com juros sobre um capital constante (ou variável); da biologia por exemplo, calculo do número de elementos de uma população considerado um determinado modo de reprodução de cada elemento,...
O estudo das sucessões como funções de variável natural deve ser feito só depois de terem sido construídos vários exemplos/modelos. Mas a escrita de expressões para os termos gerais das sucessões deve ser procurada como forma de representar as situações que se vão descrevendo. Do mesmo modo se devem introduzir as noções de termo, de ordem, ou até de razão, etc
O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, etc deve ser feito à medida que vão aparecendo como aspectos a considerar durante a resolução dos diferentes problemas. Do mesmo modo, devem ser abordadas as propriedades de certas sucessões (progressões).
Estes problemas devem ainda servir para introduzir a definição por recorrência., para casos simples.

Os estudantes podem utilizar livremente a calculadora para procurar responder aos problemas que lhes são propostos e devem procurar formas próprias de organização e expressão para a modelação das situações. O professor deve explorar o uso da calculadora e deve ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar gráficos. Só depois de serem experimentadas variadas redacções, devem ser introduzidas as redacções simbólicas consagradas. As redacções simbólicas devem então ser testadas com exercícios rápidos.

Desenvolvimento
Limites
*Infinitamente grandes e infinitamente pequenos.
Definição e resultados para classificação por comparação com sucessões conhecidas. Operações sobre infinitamente grandes e infinitésimos.
*Limites de sucessões e convergência.
Noção de limite real. Ilustração de alguns resultados que justifiquem a unicidade do limite e sobre limites de sucessões convergentes obtidas a partir de outras mais simples igualmente convergentes.
A convergência das sucessões monótonas e limitadas. Exemplos de sucessões monótonas não convergentes. Exemplos de sucessões limitadas não convergentes.
Resultados e determinação de limites por comparação de sucessões.
Problemas de limites com progressões .

(*) Estudo de casos simples de caos usando sucessões definidas por recorrência

Indicações Metodológicas
Depois de se terem introduzido as noções de sucessão como função de variável natural, de ordem, de termo geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucessões definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora gráfica, através de cálculos e representações gráficas de sequências de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno, de limite de uma sucessão. Cada definição deve ser suportada por exemplos e contra-exemplos que esclareçam as ideias imediatas e corrijam eventuais concepções alternativas e erradas. Deste modo, os estudantes ganham confiança nos seus próprios saberes e compreendem as novas aquisições como complementares e facilitadoras, aprofundamentos das suas competências para dar respostas a situações cada vez mais complexas.

As definições são estabelecidas em linguagem corrente seguindo as conclusões a tirar de cada exemplo e contra-exemplo.
Após cada redacção em linguagem corrente deve ser estabelecida uma redacção em simbologia matemática e devem então ser aplicados exercícios rápidos em que as definições simbólicas sejam testadas.

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