12(o) ANO:Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial II

12(o) ANO
Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial II (36 aulas)
Aqui são estudados de forma mais rigorosa conceitos já utilizados antes de forma intuitiva: limite, continuidade e derivada.
O estudo das funções é ampliado com as funções exponencial e logarítmica.

Pré-requisitos:
Tema II - Funções e Gráficos do 10(o) ano. Tema II - Introdução ao Cálculo Diferencial I do 11(o) ano.

Desenvolvimento
*Função exponencial de base superior a um.
*Crescimento exponencial. Estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definida por [Picture parte18rtf]

com a > 1.
*Função logarítmica de base superior a um.
*Estudo das propriedades analíticas e gráficas da família de funções definida por [Picture parte18rtf]

com a > 1.
*Regras operatórias de exponenciais e logaritmos.
*Aplicações concretas de exponenciais e logaritmos.
*Limite de função segundo Heine. Propriedades operatórias sobre limites (informação); limites notáveis (informação). Indeterminações. Assímptotas. Continuidade.
*Teorema de Bolzano-Cauchy (informação) e aplicações numéricas.

*Funções deriváveis. Regras de derivação (demonstração da regra da soma e do produto; informação das restantes regras). Derivadas de funções elementares (informação baseada em intuição numérica e gráfica). Segunda definição do número e. Teorema da derivada da função composta (informação).
*Segundas derivadas e concavidade (informação baseada em intuição geométrica).

Indicações Metodológicas
As indeterminações são referidas apenas para mostrar as limitações dos teoremas operatórios. Apenas se devem levantar as indeterminações em casos simples. Dificuldade a não exceder:
[Picture parte18rtf] ; ;

Os alunos devem experimentar numérica e graficamente a relação entre os limites no infinito da exponencial, da potência e dos logaritmos.

Derivada da função composta: grau de dificuldade a não ultrapassar
f(ax), f(x+b), f(xk)

Em todos os teoremas se deve analisar a necessidade das condições do enunciado através de contra-exemplos.

Deve ser adoptada a definição: f é derivável quando a derivada existe (isto é, é um número real); limites infinitos não existem, +(inf) e -(inf) não devem nunca ser considerados como números reais.

e é o único número real tal que [Picture parte18rtf]

Desenvolvimento
*Estudo de funções em casos simples.

*Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico.

*Problemas de optimização.

(*) Demonstração de alguns teoremas elementares do cálculo diferencial.

Indicações Metodológicas
Dificuldade a não ultrapassar:
[Picture parte18rtf] , ,

Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo de História do Cálculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. Uma referência obrigatória é a de José Anastácio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de história da Matemática em Portugal desde o tempo dos descobrimentos até à actualidade.

Os problemas de optimização devem ser escolhidos de uma forma a que um aluno trabalhe de uma forma tão completa quanto possível a modelação. É uma boa oportunidade para discutir com os alunos o processo de modelação matemática e a sua importância no mundo actual.

(*) Os teoremas a demonstrar devem incluir: continuidade implica limitação numa vizinhança; continuidade e f(x0 ) <> 0 implicam permanência de sinal numa vizinhança de x0 ; derivabilidade implica continuidade; derivada da potência inteira e racional e do quociente.

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