1- Considere a função f definida por:

f(x) =

a) Calcule f’(x);

b) Determine os extremos locais de f, caso existam (Nota: deve usar as derivadas laterais);

c) Esboce um gráfico de f;

d) Calcule e faça uma figura elucidativa.

2- Calcule:

a)

b)

3- Determine a solução y(x) da equação diferencial

que verifica a condição y(0) = .

4- Considere a função f, real de variável real, assim definida:

f(x) =

a) Determine f’(x);

5- A taxa a que uma fábrica está a poluir um lago é dada por

onde P é o total de poluentes, em quilos, presentes no lago no instante t (medido em meses) por via da actividade da fábrica.

a) Exprima, por meio de um integral, a quantidade de poluentes enviados para o lago, pela fábrica, entre o instante t₀ e o instante t₁.

b) Quantos poluentes entram no lago entre o início do 6º mês e o fim do 21º mês de actividade?

c) Um especialista de ambiente diz que a fábrica terá de activar procedimentos de limpeza se forem lançados para o lago mais de 2500 quilos de poluente por ano. Indique em que medida, a contar do início do funcionamento, a fábrica deverá ter de activar tais procedimentos.

a) para dois números reais a e b tem-se que f(a) . f(b) < 0

b) f é ímpar

c) f’ tem três e só três zeros.

Justifique que f tem exactamente dois zeros.

7- Deduza a fórmula da primitivação por partes.