Matemática I – Química, Química Medicinal

2 de dezembro de 2014

Duração: 2h 30m

Sem consulta de apontamentos ou textos

Tabela de primitivas autorizada

Calculadora científica ou gráfica autorizada

As questões podem ser resolvidas pela ordem que entender, devendo ficar devidamente assinaldas

1- Determina o domínio da função definida por .

2- a) Determina analiticamente a função inversa da função definida por:

b) Determina o domínio e contradomínio de .

3- Simplifica a expressão dada:

4- Resolve a equação seguinte em ordem à variável :

5- Calcula o seguinte limite usando a regra de l´Hôpital. Indica qual o tipo de indeterminação em causa.

6- Considera a função definida por . Faz o estudo (quase) completo desta função seguindo obrigatoriamente os passos seguintes:

a) domínio;

b) gráfico da função e da primeira derivada usando a calculadora (copia os gráficos obtidos para a folha de prova – não é preciso indicar as escalas, basta um esboço grosseiro indicando qual é a função e qual a sua derivada);

c) determinação aproximada dos zeros;

d) cálculo da primeira derivada;

e) estudo da monotonia da função, determinação dos extremos e traçado do quadro de variações;

f) determinação dos valores limites nas extremidades do domínio para completar o quadro de variações;

g) cálculo da segunda derivada;

h) construção do quadro de concavidades e determinação dos pontos de inflexão;

i) registo no papel de prova do gráfico final da função dada, assinalando devidamente o(s) zero(s), extremo(s) e ponto(s) de inflexão, indicando as escalas usadas (para indicar as escalas usadas basta colocar dois valores no eixo dos XX e dois valores no eixo dos YY).

7- Calcula as primitivas de duas e só duas das funções indicadas:

a) b) c)

8- Calcula sabendo que

.

9- A população P de uma certa cidade cresce exponencialmente com o tempo t (isto é, é descrita por

uma função definida por uma expressão da forma com C e K constantes). Dos registos feitos

a partir do ano de 1999, considerado o ano zero, obtivemos os seguintes resultados:

t anos	0	1	2	3	4
população P	826758	843293	860159	877361	894908

a) Será este um crescimento exponencial? Porquê?

b) Se se mantiver o mesmo tipo de crescimento, qual será a população no ano de 2016?

10- Indica (mas não calcules) os integrais que nos permitem calcular a área compreendida entre as retas verticais de abcissas -2 e 2 e limitada pelos gráficos das funções definidas por:

,

11- Certos aquíferos calcários como os da figura ao lado têm a forma de arcos circulares de que a figura representa uma secção que passa pelo centro do aquífero. Supondo que as curvas que delimitam o aquífero calcário são parábolas estabelece (mas não calcules) os integrais que nos permitem determinar a área da seção do depósito. Deves retirar os dados necessários da figura, usando a escala indicada, arredondando para a dezena de quilómetros.

12- Esboça, num gráfico adequado, os pontos cujas coordenadas polares são:

A ( 2, 5π) B ( -2, -5π) C ( -5, π/3)

D ( -5, 3π/2) E ( -5, 5π/4) F ( 5, 7π/4)