1- O termo geral da sucessão associada de uma série é dado por .

a) A série converge? Porquê?

b) Determine .

c) Determine .

2- Seja

a) Escreva o polinómio de Taylor de grau n para a função no ponto zero;

b) Escreva os respectivos restos de Lagrange e de Taylor-Young;

c) Usando a fórmula de Taylor-Young já obtida, com um valor adequado para n, levante a indeterminação

3- Seja

a) Prove que, para todo o x do intervalo fechado [-1,1],

b) Verifique que

c) Calcule .

4- Considere as curvas definidas em coordenadas polares por

a) Esboce a região do plano que é interior a ambas as curvas;

b) Determine os pontos de intersecção das duas curvas;

c) Estabeleça (mas não calcule) os integrais que nos permitem calcular a área da região referida na primeira alínea.

5- Uma das previsões mais espectaculares de Einstein foi a de que a luz viajando de estrelas distantes descreveria uma trajectória encurvada quando chegasse à Terra por via da atracção gravitacional do Sol. Os seus cálculos envolviam a resolução da equação

onde b é uma constante positiva muito pequena.

a) Justifique que a equação tem pelo menos uma solução em relação a , perto de zero.

b) Usando as séries de Taylor para as funções envolvidas, resolva a equação dada, em relação a , desprezando os termos com ou potências de ordem superior de .

6- Determine a natureza das séries numéricas

a) b)

Sugestão: Prove primeiro que

a partir da seguinte versão da fórmula de Wallis:

7- a) Defina sucessão de funções pontualmente convergente e uniformemente convergente; indique, graficamente, dois exemplos de sucessões pontualmente convergentes, mas em que uma seja uniformemente convergente e a outra não.

b) Sejam e duas séries numéricas convergentes. Prove, usando a definição, que

é uma série numérica convergente.