Análise Matemática I

1(o) semestre:

• 1a. aula, 11/10/96: Considerações gerais sobre a disciplina
• 2a. aula, 14/10/96: Funções inversas; funções trigonométricas inversas.
• 3a. aula, 18/10/96: Relações entre as várias funções trigonométricas inversas; funções hiperbólicas e funções hiperbólicas inversas.
• 4a. aula, 21/10/96: Definição de limite de função segundo Cauchy; interpretação geométrica.
• 5a. aula, 23/10/96: Duas propriedades dos limites de funções. Limites infinitos.
• 6a. aula, 25/10/96: Derivadas. A derivada como aproximação da função (condição necessária).
• 7a. aula, 28/10/96: Derivadas. A derivada como aproximação da função (condição suficiente). Derivabilidade e continuidade: exemplos, referência ao exemplo de Weierstrass. Derivada da função composta e derivada da função inversa.
• 8a. aula, 30/10/96: A derivada como taxa de variação. Primeiro exemplo do crescimento populacional.
• 9a. aula, 4/11/96: Introdução à primitivação. Propriedades.
• 10a. aula, 6/11/96: Primitivação por substituição.
• 11a. aula, 8/11/96: Primitivas de fracções racionais.
• 12a. aula, 11/11/96: Equações Diferenciais; definição. Interpretação geométrica; campos de direcções.
• 13a. aula, 13/11/96: Equações Diferenciais de variáveis separadas e separáveis; segundo exemplo do crescimento populacional.
• 14a. aula, 15/11/96: Equações Diferenciais lineares de 1a. ordem. Exemplo da queda de um grave; velocidade terminal.
• 15a. aula, 18/11/96: Modelação Matemática. Exemplos.
• 16a. aula, 22/11/96: Cálculo integral: cálculo de áreas de figuras irregulares.
• 17a. aula, 25/11/96: Cálculo integral: definição de integral definido e primeiros exemplos.
• 18a. aula, 2/12/96: Cálculo integral: integral definido de funções descontínuas.
• 19a. aula, 6/12/96: Cálculo integral: Observações sobre o cálculo do integral definido. Propriedades do integral definido.
• 20a. aula, 9/12/96: Cálculo integral: Generalização da noção de integral definido. Teorema fundamental do cálculo integral.
• 21a. aula, 11/12/96: Cálculo integral: integração por partes, mudança de variável, cálculo aproximado de integrais (regra do trapézio e regra de Simpson).
• 22a. aula, 13/12/96: Integrais impróprios: definição para o caso de intervalos não limitados, valor principal de Cauchy.
• 23a. aula, 16/12/96: Integrais impróprios: definição para o caso de funções não limitadas, valor principal de Cauchy. Mudança de variável.
• 24a. aula, 18/12/96: Integrais impróprios: critérios de convergência.
• 25a. aula, 20/12/96: Aplicações do cálculo integral: valor médio de uma função; áreas; volumes do sólidos de revolução.
• 26a. aula, 6/1/97: Aplicações do cálculo integral: comprimento de curvas. Coordenadas polares: definição; estudo de curvas em coordenadas polares, simetrias.
• 27a. aula, 8/1/97: Coordenadas polares: intersecção de curvas, a circunferência, cálculo de áreas.
• 28a. aula, 10/1/97: O traçado numa calculadora gráfica de curvas definidas em coordenadas polares. Alguns problemas: o caso da lemniscata.
• 29a. aula, 13/1/97: Coordenadas paramétricas: definição, estudo de curvas, simetrias.
• 30a. aula, 15/1/97: Principais diferenças entre os diversos sistemas de coordenadas: o caso da simetria de uma figura em relação ao eixo dos XX.
• 31a. aula, 17/1/97: Coordenadas paramétricas: estudo da ciclóide; comprimento de curvas em coordenadas paramétricas; relação entre coordendas polares e paramétricas.

Fim do 1. semestre

2(o) semestre:

• 32a. aula, 24/2/97: Propriedades de funções contínuas: teorema de Bolzano-Cauchy, teorema de Weierstrass.
• 33a. aula, 26/2/97: Propriedades de funções deriváveis: extremos, teorema de Rolle.
• 34a. aula, 28/2/97: Propriedades de funções deriváveis: teorema de Lagrange e consequências.
• 35a. aula, 3/3/97: Propriedades de funções deriváveis: derivação implícita e taxas relacionadas. Propriedades de funções integráveis: desigualdades.
• 36a. aula, 7/3/97: Propriedades de funções integráveis: desigualdades; teoremas da mŽdia.
• 37a. aula, 10/3/97: Propriedades de funções integráveis: derivação de integrais indefinidos; integrais não exprimíveis como soma finita de funções elementares.
• 38a. aula, 12/3/97: Fórmula de Taylor: introdução.
• 39a. aula, 14/3/97: Polinómios de Taylor: existência e unicidade.
• 40a. aula, 17/3/97: Propriedades do operador de Taylor; o resto da fórmula de Taylor.
• 41a. aula, 19/3/97: Aplicações da fórmula de Taylor à determinação de extremos e ao cálculo de limites.
• 42a. aula, 21/3/97: O que é uma série numérica? Série geométrica; série de Mengoli ou telescópica. Propriedades elementares das séries numéricas.
• 43a. aula, 7/4/97: Condição necessária de convergência. 1(o) critério de comparação.
• 44a. aula, 9/4/97: 2(o) critério de comparação. Critério de Cauchy ou da raiz.
• 45a. aula, 11/4/97: Critério de d'Alembert ou da razão. Critério de Raabe. Teorema de Cunha-Bolzano-Cauchy. Séries absolutamente convergentes.
• 46a. aula, 14/4/97: Séries alternadas: critério de Leibniz.
• 47a. aula, 16/4/97: Critério do Integral. Teorema de Riemann das sŽries simplesmente convergentes.
• 48a. aula, 18/4/97: Cálculo aproximado da soma de séries.
• 49a. aula, 21/4/97: Sucessões de funções: definição, convergência pontual e convergência uniforme.
• 50a. aula, 23/4/97: Sucessões de funções: propriedades da convergência uniforme.
• 51a. aula, 28/4/97: Séries de funções.
• 52a. aula, 30/4/97: Séries de potências de x; teorema de Abel.
• 53a. aula, 5/5/97: Séries de potências de x: raio de convergência.
• 54a. aula, 7/5/97: Operações com séries de potências. Séries de potências de x - a.
• 55a. aula, 19/5/97: Derivação e integração de séries de potências.
• 56a. aula, 21/5/97: Séries de Taylor: definição e exemplos elementares.
• 57a. aula, 23/5/97: Desenvolvimentos em séries de potências: exemplos.
• 58a. aula, 28/5/97: Mais exemplos de desenvolvimentos em séries de potências.
• 59a. aula, 30/5/97: Mais exemplos de desenvolvimentos em séries de potências. Séries de potências e equações diferenciais.
• 60a. aula, 2/6/97: Séries de potências e integrais definidos. Teorema de Abel das séries uniformemente convergentes.
• 61a. aula, 4/6/97: Séries de Fourier: definição; cálculo dos coeficientes.
• 62a. aula, 6/6/97: Séries de Fourier: condições suficientes de convergência.
• 63a. aula, 9/6/97: Séries de Fourier: séries de senos, séries de co-senos. O caso de um período arbitrário.
• 64a. aula, 11/6/97: Séries de Fourier: representação gráfica. Fenómeno de Gibbs. Cálculo prático sem integrais (caso de funções com ramos polinomiais).
• 65a. aula, 13/6/97: Séries de Fourier.

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