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X-Comment:  Educacao em Matematica


O texto anterior sobre este mesmo assunto foi canibalizado por uma maquina
pouco amigavel para com os caracteres portugueses. Aqui vai uma nova
versao, mais legivel.

-------

Aqui vao mais alguns comenta'rios sobre a proposta de ajustamento dos programas.

1) Computadores e calculadoras

"E' irrealista pensar que o Ministerio vai colocar "software" e computadores
nas Escolas em tempo util. De qualquer modo a maioria dos objectivos
pedagogicos e cientificos que tornam o uso de tecnologia recomendavel estao
incluidos nas calculadoras graficas, ou nao sera'?"


Estamos a nao a discutir o programa de Matema'tica que vai vigorar ate' ao
final da de'cada? Se estamos, nao vejo como podemos dispensar de introduzir
finalmente os computadores na sala de aula: na geometria (programas como o
Cabri que podem ser importantes para a "resolucao de problemas segundo
multiplas perspectivas") e no ca'lculo alge'brico e na iniciacao 'a
ana'lise, onde Derive que e' um importante auxiliar.

As calculadoras sao um intrumento precioso, mas, com as capacidades que
teem neste momento, adaptam-se sobretudo ao estudo de funcoes e da
estatistica. Ora, a tecnologia deve ter tambe'm um papel importante na
aprendizagem das restantes mate'rias deste nivel de ensino.

Uma transformacao que penso que tera' de ocorrer nas escolas e' a de dotar
os grupos de Matema'tica com computadores pr=F3prios, um ou dois data-shows,
e o software essencial (meia duzia de programas sera' suficiente para
comecar). A este respeito, penso que e' uma ma' aposta pensar que a
disciplina de Matema'tica vai viver dos computadores da sala de
informa'tica da escola. Tal como as outras disciplinas cientificas (Fisica,
Quimica, Biologia), que precisam de ter os seus computadores no
laborat=F3rio, a matema'tica precisa de ter em cada escola o seu espaco
pr=F3prio com os seus computadores e o seu software.

E' 'a volta desse equipamento e desse espaco que se vai desenvolver (em
conversas e experimentacoes informais) grande parte a competeencia
profissional em lidar com estes instrumentos. E' ai que muitas ideias vao
germinar. E' essencial que os professores de Matema'tica percebam que nao
da' para adiar mais. Chegou a hora de tratar o computador por tu. Nao me
preocupa que algumas escolas comecem com dificuldades, com pouco material e
muitas queixas de que nao teem formacao.

Neste ponto penso que poderemos ter ate' algum optimismo. Conhecendo a
din=E2mica anteriormente gerada nas escolas com o computador e a
sensibilidade que certos sectores do Ministe'rio continuam (apesar de
tudo!) a ter nesta mate'ria, parece-me que dotar todas as escolas
secunda'rias com o equipamento e software necessa'rios em Setembro de 1997,
ou, o mais tardar em Setembro de 1998, nao e' de todo irrealista.


2) Conceito de correlacao

"A questao principal e': sera' possivel ensinar a correlacao de uma forma
eficaz ao nivel do 10=BA ano de forma a que os alunos fiquem com a nocao
minimamente dominada. Eu gostaria de ver uma abordagem satisfatoria e ainda
nao vi nenhuma."

O que se fez em muitas escolas com os conceitos de covari=E2ncia e correlaca=
o
foi uma barbaridade. Pegou-se na f=F3rmula e toca a fazer contas e mais
contas... 'a mao. Nos casos mesnos piores usou-se a calculadora para
adicionar as parecelas. 'A falta de outras ideias, fez-se a abordagem em
termos de ca'lculo puro.

Claro que esta experieencia e' muito negativa. Mas nao vejo que nao possa
ser facilmente alterada, se houver o desenvolvimento de materiais
deseja'vel e a correspondente formacao de professores. Nao e' neste mesmo
pressuposto que se avanca com a proposta do estudo de familias de funcoes?

Penso que tanto o conceito de correlacao como o de regressao podem ser
introduzidos como instrumento de interpretacao de relacoes entre
varia'veis, procurando-se ver como diferentes conjuntos de dados conduzem a
valores muito diferentes destes par=E2metros. A ana'lise das f=F3rmulas pode
num segundo momento esclarecer o porquee de certas variacoes. Trata-se de
abandonar o me'todo <primeiro: o ca'lculo; segundo: aplicacao>
para instituir em seu lugar a abordagem que comeca pela aplicacao e conduz
'a ana'lise e 'a investigacao, reduzindo o ca'lculo ao q.b. A calculadora
gra'fica (ou o uso do computador) pode representar neste t=F3pico uma
auteentica revolucao.

Os alunos teem andado a fazer histogramas e gra'ficos de barras ja' desde o
prima'rio. Ja' ouviram falar nao sei quantas vezes em me'dia, mediana e
moda. Nalguns casos (dependendo dos livros adoptados) trabalharam mesmo com
varia'veis continuas e com dados agrupados. O que lhes reserva de novo o
10=BA ano?

Introduzem-se os diagramas de extremos e quartis e as medidas de dispersao
(amplitude, vari=E2ncia e desvio-padrao). Nas aulas previstas no programa
ajustado podia-se fazer muito mais.

Na verdade, parece-me lamenta'vel que em termos de estatistica o programa
do secunda'rio pouco avance em relacao ao do 3=BA ciclo. O unico resultado
sera' o de desmotivar por completo os alunos em relacao a este tema.

3) E por hoje e' tudo. Os comenta'rios 'as outras questoes (nomeadamente a
ana'lise e a geometria) ficam para outra altura.

Joao Pedro

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X-Comment:  Educacao em Matematica


O subgrupo encarregado de elaborar o parecer que se segue, solicita
sugestoes de alteracao para as incorporar numa versao final.

As tabelas incluidas no parecer nao ficaram muito bem quando traduzidas
para texto corrido. Por isso poderei enviar por email (em "attachment") o
documento original (em Word/macintosh) a quem mo solicitar directamente
(jaimecs@mat.uc.pt)

Jaime Carvalho e Silva

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X-Comment:  Educacao em Matematica


Talvez fosse boa ideia fazer isto em Portugal:

> From: wertheim@oberon.pps.pgh.pa.us (Rick Wertheimer)
> Newsgroups: sci.math
> Subject: NCTM Survey
> ------------------------------

> Organization: Pittsburgh Public School District
> 
>         The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) has
> recently appointed a Task Force on Promising Students (Linda Sheffield,
> Chair; Jennie Bennett, Manuel Berriozabel, Margaret D'Armand, and Rick
> Wertheimer) to make recommendations on the best ways to serve the needs of
> our top students from elementary through high school. This might include
> students who have been identified with traditional tests of mathematics or
> students who show their talents and abilities in a number of other ways. 
> 
>         In light of the emphasis of the NCTM Standards on "Mathematics for
> All", we are looking for recommendations from teachers, administrators,
> parents, students, and other interested parties concerning ways to
> challenge and enrich the mathematics learning of these promising students. 
> Please be as creative as you wish in brainstorming ways to best serve
> these students.  Your response to the following survey would be
> greatly appreciated. 
> 
> 
> 
> 1. a.  What are some characteristics of good mathematics programs designed
> to challenge our most promising students at the elementary, middle
> school, and high school level? 
> 
> 
> 
> 
> b.  Please name any projects/programs that you know of that have some of
> the characteristics of good programs named above. 
> 
> 
> 
> 
> c.  Does your state, province, country, or local school or district have
> any policies that govern special programs for gifted and talented
> students? (Please identify useful policies as well as any policies that
> cause difficulties for these students.)
> 
> 
> 
> 
> 2.  a.  What measures might be used to identify talented students, and
> what measures might be used to assess the continuing progress of these
> students and the programs designed for them? 
> 
> 
> 
> b.  Please name any programs that use exemplary means of assessment. 
> 
> 
> 
> 
> 3.  a.  How might we ensure that underrepresented groups such as promising
> females and culturally diverse students are identified and encouraged to
> fully develop their talents in strong, challenging mathematics programs or
> other experiences? 
> 
> 
> 
> 
> b.  Please name any programs/other experiences that are especially
> successful in serving the needs of these students. 
> 
> 
> 4.  a.  What would you recommend for both preservice and inservice
> teachers to better prepare them to work with these top students? 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> b. Please name any exemplary teacher training programs that help teachers
> challenge their best students. 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 5.  a.  What would you like to see that would aid in supporting the
> development of promising mathematics students?  (This might include books,
> technology, Internet match-ups of mathematicians and talented students,
> position statements from professional organizations, support from the
> community, parents and school personnel, mentorship programs,
> competitions, after-school or summer programs, any other creative ideas
> that you may have.)
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> b.  Please list any books, technology, projects, materials, or other support
> that exemplifies these ideas. 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 6. a.  What do you see as major impediments in fully implementing good
> programs or other experiences for talented students? 
> 
> 
> 
> 
> 
> b.  What recommendations do you have for overcoming these obstacles?
> 
> 
> 
> 
> 7) Where did you see this survey?
> 
> 
> 8) What is your current professional position?
> 
> 
> Please send any documents you might have that would be useful for our
> committee to consider in making recommendations to the National Council
> of Teachers of Mathematics.  We would like to consider as much
> information as possible before our July meeting.

-- 
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica, Universidade de Coimbra
Apartado 3008, 3000 Coimbra
PORTUGAL
Phone(office): 351-39-28097/8/9, 351-39-29485, 351-39-29539, 351-39-29882                 Fax: 351-39-32568
E-mail:jaimecs@mat.uc.pt
WWW home page: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.htm
--

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'As 23:11 30/05/95, Eduardo Veloso disse:

<<Alguns comentarios:
<<
<<>>(1) O uso do computador nao deveria receber
<<mais enfase? As escolas que na=3D
<<o
<<>>tem esta tecnologia (ou que nao a tem
<<disponivel para a disciplina de
<<>>Matematica) devem no mais curto espaco de
<<tempo passar a ter! A unica form=3D
<<a
<<>> disso acontecer e' a sua enfase inequivoca
<<nos programas.(J.P.Ponte)
<<>
<<>E' irrealista pensar que o Ministerio vai
<<colocar "software" e computadores
<<>nas Escolas em tempo util. De qualquer modo a
<<maioria dos objectivos
<<>pedagogicos e cientificos que tornam o uso de
<<tecnologia recomendavel estao
<<>incluidos nas calculadoras graficas, ou nao
<<sera'? (J.C.Silva)
<<>
<<Julgo que nao devemos esperar ate que haja
<<computadores em todas as escolas
<<para comecar a dar maior enfase aos
<<computadores. Em muitas escolas ja
<<existem equipamentos que permitem fazer muita
<<coisa com computadores,
<<simplesmente estao reservados para as
<<disciplinas tecnologicas e os
<<professores de matematica teem dificuldades de
<<acesso. Se ao mesmo tempo os
<<programas dao pouca enfase as computadores, que
<<argumentacao teem os
<<professores de matematica para exigir condicoes
<<de acesso a essas salas
<<fechadas a sete chaves onde estao os
<<computadores. Estamos a perder muito
<<tempo e nao podemos deixar para o ano 2001
<<comecar a fazer propostas
<<concretas de utilizacao dos computadores em
<<certas partes do programa. O
<<Cabri 2.0 eh um programa muito bom para fazer
<<investigassoes em geometria
<<(e nesta versao nas ligacoes entre a geom.
<<sintetica e analitica e de
<<transformacoes). E nao vai ser substituivel
<<pela nova calculadora da
<<Texas,( que vai custar 40 contos, para onde
<<pode olhar um aluno e meio em
<<vez de tres ou quatro como num computador que
<<custa cento e tal e pode
<<fazer muito mais coisas). mesmo que tenha o
<<Cabri e se possam la fazer
<<triangulos com meio centimetro de lado. E ha
<<outros programas, como o
<<Geometry Inventor, que permitem a ligacao entre
<<a geometria e a analise de
<<uma maneira muito atractiva. Nao ha calculadora
<<que chegue para isso.

Nao devemos esperar pelos computadores nas
escolas. mas tambem nao devemos pensar que haver
computadores nas escolas nao e' o mesmo que
utilizar computadores nas escolas e muuito menos
utilizar computadores no ensino da Matematica.
Estou numa escola em que ha computadores (muitos,
relativamente). E nao ha computadores 'a porta
fechada. Ha' tres salas com cerca de 10
computadores cada. Duas delas s=E3o ocupadas
completamente com cursos tecnologicos -
informatica, mas tambem tecnologias de arte e de
comunicacao. E nao sobram horas de facto dessas
duas salas. Ha uma sala com 10 computadores
livres para serem utilizados por professores -
projecto ACOT. (mas ha computadores- varios - na
sala de professores e ha computadores varios em
sala pequena para comunicacoes e projectos e ha
computadores nos laboratorios, na secretaria, no
conselho directivo, na sala dos directores de
turma) Houve alguma formacao, ha alguma animacao,
houve mesmo investimentos em software educativo.
Algum desse investimento em software - Explorer -
falhou completamente. Ha um professor de
Matematica que utiliza computadores na maior
parte das suas aulas e tem apoiado outras
disciplinas, actividades de complemento
curricular e actividades de apoio pedagogico
acrescido. Quer dizer que, numa escola com 30
professores de matematica e afins, um professor
de matematica pode utilizar computadores
regularmente nas aulas. Alguns outros tambem
poderiam. Nada os impede a nao ser o que^?
A pouca  referencia aos computadores nao tem
impedido o trabalho desses poucos professores. E
vai ser com esses professores que se vao ganhando
outros, mas vai ser preciso tambem construir
muito com a formacao elementar dos professores no
dominio de actividades concretas em ambiente de
sala de aula. E vai ser preciso... A experiencia
neste campo nao da quaisquer indicacoes seguras
sobre o caminho a seguir. Ha mais experiencias
falhadas do que acertadas e ninguem acredita que
os professores precisam de ter enfase nos
programas para desenterrar computadores de salas
fechadas. Pode haver computadores fechados, mas
nao sao os programas que os vao abrir. Pode-se
fazer muita coisa com computadores, estamos todos
seguros disso. Mas e' preciso nao embandeirar em
arco - eu estive em escolas secundarias e
primarias e tive contactos com muitos professores
do mundo que utilizam computadores (fiz e faco
parte de um projecto internacional sobre isso) e
sao muitas as vozes e os foguetes a enfeitar a
realidade, tambem nos Estados Unidos. Nas
escolas, a vida e' muito mais sensaborona e as
dificuldades sao tao diversas que vale a pena vir
a pegar pelas pontas todas, para nao tomarmos as
duas coisas que fazemos aqui e ali pelo que pode
ou deve ser feito.

Eu acho que e' preciso equipar as escolas e ate
acho que se pode fazer muita coisa, ate vejo
fazer muita coisa - mas sei que e' coisa pouca. E
sei que posso ter 30 calculadoras por sala. Mas
nao tenho, nao terei nem salas nem computadores
para qualquer que seja o enfase programatico... A
solucao nao esta nesse armario.
(AM)
<<
<<>
<<>>(3)  Entre o tema das conicas e o tema dos
<<numeros complexos, a manutencao
<<>>do primeiro parece ser mais aconselhavel. O
<<estudo dos complexos facilment=3D
<<e
<<>>degenera em simples calculo e as conicas
<<podem ter um importante valor
<<>>formativo, ligando algebra e
<<geometria.(J.P.Ponte)
<<>
<<>Entre os dois "mon coeur balance". Se calhar o
<<melhor e' ficarem os dois
<<>sacrificando algum outro aspecto (qual?). Mas
<<a experiencia diz que o
<<>estudo das conicas e' que degenera mais
<<facilmente em simples calculo.
<<>Equacoes de todos os tipos, formulas para
<<vertices, focos, excentricidade,
<<>etc. Muito calculo existe tambem nos numeros
<<complexos mas desde a
<<>interpretacao geometrica 'a passagem para a
<<forma trigonometrica (em que se
<<>recorre 'a trigonometria) 'a descricao de
<<dominios planos usando numeros
<<>complexos acho que existe uma matematica muito
<<rica. Sem contar com a
<<>introducao historica dos numeros complexos em
<<que os alunos poderao ver uma
<<>ciencia em construcao, e com a possibilidade
<<de se fazerem demonstracoes de
<<>geometria usando numeros complexos (ultima
<<seccao introduzida na proposta
<<>de ajustamento).
<<>Uma possivel abordagem das conicas via seccoes
<<conicas nao parece simples a
<<>este nivel. Talvez a partir da propriedade
<<focal? (Como vem nos livros do
<<>Sebastiao e Silva?) (J. C. Silva)
<<
<<Eu tambem tenho imensa pena das conicas mas nem
<<pensar em deixar os
<<complexos e as conicas. Como eh absurdo dar
<<apenas quatro horas para a
<<matematica, entao eh natural que o programa
<<fique absurdo, por exemplo sem
<<conicas. Ah espera que o problema das horas
<<seja resolvido e possam entrar
<<outra vez. O pior que podemos fazer eh compor
<<um programa que nao pareca
<<absurdo, com um pouco de tudo. Eu acho que e
<<regra agora eh cortar a
<<direito e deixar um programa de tal modo curto
<<que possa ser dado em quatro
<<horas de uma maneira decente, ou seja seguindo
<<as opcoes metodologicas que
<<veem na terceira coluna e que me parecem
<<bastante aceitaveis como estao. Os
<<professores ficam pouco ansiosos com o tempo,
<<experimentam novos metodos, e
<<depois ah medida que se forem habituando e que
<<o tempo for aumentando,
<<poder-se-ah ir incluindo novos ou recuperando
<<antigos temas.

Do que eu tenho medo: nos tiramos aqui e ali para
ficarmos com um programa exequivel em 4 horas (4h
para quem? para os alunos? que tipo de alunos?
para que matematica? para que modo de aprender -
do que se fala ou que se pratica? para os
professores? quais professores? os nossos
amigos?) e depois virmos a tirar mais uns
capitulos porque  esse novo e' excessivo para as
4 horas e assim. Toda a gente esta de acordo que
a abordagem de um so conceito pode ser demais
para 100 horas. E que poderia valer a pena tratar
dele. Ha alguma presuncao nas escolhas que
fazemos. Complexos ou conicas? Porque e' que um
programa do secundario e' absurdo sem conicas, ou
porque e' que ele e' absurdo sem complexos?
Absurdo, relativamente a que^? O tempo tem sido
aumentado e tem sido reduzido e que e' que tem
concluido disso afinal? O que se tem concluido e'
sempre pela reducao dos temas classicos
efectivamente leccionados. Ja sem falar que nada
de moderno se tem introduzido. Reduziram-se os
temas, mas melhoraram-se as metodologias?
Melhoraram? Onde e' que ha' resultados de
investigacao que provem isso? O que ha' sao
estudos de casos que, no maximo da nossa boa
vontade, provam que ha maior ou menor satisfacao
dos docentes, no capitulo da realizacao
profissional e ha maior ou menor satisfacao dos
alunos e tantas vezes com tantas variaveis
parasitas a perturbar as coisas que nem sabemos
se ... Estou a falar do pouco que conheco. E o
escrito e' tantas vezes montado sobre condicoes
tao excepcionais que - tenham paciencia - nao
servem para generalizar. Sabem qual e' a
distancia entre o porto e o cabo do mundo? 30 km?
E' preciso fazer muito mais do que ajustamentos
dos programas. E e' preciso que nao se exija aos
programas o que eles nao podem dar. Se os
programas comecarem a pensar (livre-nos deus de
tal) e a pensar que podem dar, transformam-se em
papeis com papel. Sabemos que nao ha papeis que
prestem e sabemos que podemos ser prestaveis,
desempenhar papeis que valem a pena. Os
professores tem papeis a desempenhar e .... como
podem ser forcados a desempenha-los? Pelos papeis
dos programas? Por quem? Por quem teve a
presuncao de os escrever? Pelo governo?
Ha muito a fazer pela (re)construcao da
identidade dos professores, dentro de outras
identidades.... Que desconstrucoes houve? Que
reconstrucoes?
Os programas ajudam? Ajudam. Mas so' um programa
de festas pode ser verdadeiramente mobilizador e
penso que  mais importante  que o proprio
programa vai ser a animacao, esse arraial
matematico em volta, em que os professores e os
estudantes passeiam para cima e para baixo
catraspicando a matematica mais arisca.

Come=E7o a ficar com complexos por tirar as
conicas. Mas o Jaime tem razao. So que a razao
dele e' dramatica: pode ser aplicada a qualquer
capitulo, tema ou ate a qualquer metodologia.
Vasculhem bem, porque os fantasmas (de todos os
cortes que fizermos) estao disfarcados nos nossos
armarios (de culpas).

(A.M.)


<<
<<>A logica nao aparece como capitulo organizado.
<<A logica aparece integrada
<<>num capitulo onde se abordam axiomaticas e
<<resolucao de problemas 'a la
<<>Polya e se estuda uma axiomatica concreta
<<(probabilidades). E os conceitos
<<>logicos ja' aparecem antes no 10 e 11=3D3DBA
<<anos (uso de "condicoes",
<<>"proposicoes", etc) (J. P. Ponte)
<<>
<<>Mas entao eu pergunto: como se vao fazer
<<demonstracoes no Ensino Secundario
<<>sem um estudo mesmo que rudimentar da logica?
<<Parto aqui obviamente do
<<>principio que uma formacao do Ensino
<<Secundario ficara' gravemente
<<>incompleta se os alunos nao contactarem com
<<uma demonstracao que seja mais
<<>do que um simples raciocinio correcto.
<<>Contudo note-se que nao e' um "regresso" pois
<<a logica estava nos Novos
<<>Programas integrada no capitulo de numeros
<<reais. (J. C. Silva)
<<
<<Eu acho que deve haver demonstracoes ao longo
<<do decimo e do decimo
<<primeiro, e nao apenas no decimo segundo. Mas
<<ao mesmo tempo penso que
<<acumular a logica toda no decimo segundo eh um
<<erro. Demonstracoes simples
<<podem fazer-se logo na geometria do decimo, por
<<exemplo. Ao fazer uma
<<investigacao sobre cortes feitos por um plano
<<num cubo, um aluno conjectura
<<que nunca pode obtar pentagonos regulares como
<<corte. Pede-se-lhe que
<<demonstre, e se for preciso da-se-lhe a
<<sugestao que utilize o facto de que
<<num  pentagono regular nao existem lados
<<paralelos. Ele, passado um pouco,
<<aparece com as seguintes frases:
<<- para um plano cortar um cubo segundo um
<<pentagono, tem que cortar 5 faces;
<<- em 5 faces de um cubo, ha sempre quatro
<<paralelas duas a duas
<<- se um plano corta dois planos paralelos,
<<obteem-se rectas paralelas
<<- entao o pentagono que se obtem no corte tem
<<quatro lados paralelos dois a =3D
<<dois
<<- logo nao pode ser regular
<<Pois bem, isto e uma demonstracao, acho eu.
<<Qual a logica que e necessaria
<<para chegar a esta demonstracao? A que ele
<<aprendeu com a mae, quando era
<<pequenino e ela lhe dizia frases como a
<<seguinte: ou te portas bem ou nao
<<vais ao cinema! Mas esta claro que eu acho que
<<depois de um aluno ter
<<feito, mesmo com alguma ajuda, esta
<<demonstracao, deve haver uma reflexao
<<sobre a construcao em sequencia daqueles frases
<<e ai eh que pode comecar a
<<falar-se um pouco de logica. mas a proposito e
<<de modo nenhum por atacado
<<no decimo segundo ano.

Eu tambem acho que deve haver demonstracoes (de
forca, tambem) desde sempre. E estou de acordo
que uma afirmacao seguida de um exemplo que a
"comprove" e' uma demonstracao. E estou de acordo
que se deve treinar a argumentacao (escrita e
falada) em matematica e digo isto em sentido
estrito e rigoroso. Do ponto de vista das pessoas
civilizadas e letradas, convencer o colega ou
convencer o professor da justeza de uma assercao
e' uma demonstracao. E isso tem de ser feito
desde sempre. Alias eu tenho mais pena que se
tenha perdido a arte de falar e escrever para
convencer com justeza e clareza e rigor, passo
por passo, do que a arte de demonstracao de que
falamos quando falamos do ajustamento do 12, ano.
Escrever coisas sem sentido tornou-se uma
desgraca da matematica - os estudantes e os
professores pensam que em matematica se podem
portar como extra-terrestres. E' tempo de retomar
a tradicao de falarmos de matematica, deste
modo.... para falarmos bem matematicamente
falando.
Ha um equilibrio a tentar ...ha um treino e um
regresso da normalidade da argumentacao corrente
(em lingua de gente) 'as trocas da matematica
para que se compreenda como a amtematica organiza
isso, ajuda a organizacao disso, como contribui
para a construcao do mundo ...tambem do
pensamento. Tenho muitas duvidas sobre tudo, mas
nao tenho duvidas sobre a necessidade de haver
demonstracoes em todo o tempo  - mas nao, pelo
amor de deus, nao ... o que eu estou a pensar.
Eu aceito que se fale e se escreva de modo a que
haja comunhao, a que se torne comum o que e comum
- as coisas que os meus alunos me escrevem,
muitas vezes sobre os assuntos mais comezinhos,
nao soam bem, nao se percebem, nao sao comuns,
nao sao lingua de gente,... nao tem sentido. Como
eu gostaria que, ao menos, os estudantes
tentassem escrever (e falar) com o cuidado de se
respeitarem a si mesmos e aos professores de
matematica e a matematica perceberem que nao e
bom para a saude dos humanos vasos comunicantes.
E preciso reinventar o respeito natural pela
matematica como coisa natural em que se comunica.


Eu ligo sempre os modos de raciocinar aos modos
de comunicar. Assim demonstro que.

(AM)

<<
<<
<<Continuarei noutro dia, se Deus quiser...
<<
<<Eduardo Veloso
<<
<<
<<
<<Eduardo Veloso
<<Av. D. Rodrigo da Cunha, 11 3=3DBA D
<<1700 Lisbon
<<Portugal
<<tel. & Fax.: (351) (1) 8483046
<<e-mail: veloso@telepac.pt


**********************************
Arselio de Almeida Martins
**********************************
Escola Secundaria de  Jose' Estevao
Avenida 25 de Abril 3810 AVEIRO PT
Ph: 351 34 23813 Fax 351 3423813
**********************************
Urb Chave, Lote 18, 3. Dir.
3810 AVEIRO PT Ph: 351 34 26439
**********************************

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Esta mensngem e enviada por Arselio Martins:

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Um.
Pode parecer uma tolice, mas tenho de dizer que me apetece dar os parabens
a SEM da SPCE pelo forum SEM. Parabens.
Tenho andado com problemas no computador e, em consequencia, de modem. Por
isso e porque ha sempre algum receio em todos os principios, e' que so'
apareco num domingo, tarde, pela tarde. E para dizer principalmente que li
o que me foi dado a ler do forum e estou a gostar de ler.

Dois.
Labirinto Foco. Depois de um primeiro ano de euforia despesista, o segundo
ano nao existiu e o terceiro esta' no que se pode ver. Forcados a recomecar
do zero com todos os projectos, os Centros de formacao (e todas as
entidades formadoras) culminam o seu primeiro trienio de acreditacao com um
desalento maior do que o alento que os animou a arrancar. Deste ano, as
unicas noticias s=E3o: O CCPFC acreditou algumas accoes e a administracao
manda arquivar todo o trabalho com um despacho que so' considera
publicaveis (e realizaveis?) as iniciativas depois de acreditadas e
financiadas. E como nao ha financiamento...
Para muitos centros, com poucos graus de liberdade na sua autonomia(?),
isto significa um segundo ano em que nao acontece.
O governo que tornou a formacao continua obrigatoria como requisito para a
progressao na carreira docente, com uma ineficacia brutal na realizacao e
uma voracidade no controle, acabou por transformar o sistema de formacao
continua numa gigantesca maquina de produzir papeis a declarar que os
professores nao tem acesso a formacao, por motivos que lhe nao sao
imputaveis, e nao devem, por isso, ser prejudicados na progressao.
Alguns de nos, portugueses e professores, tinham a esperanca que este
sistema (tutelado e livre do controle mais tolo) poderia criar uma animacao
da formacao de tal modo que, quando secasse, como se previa, a fonte de
todos os financiamentos, os professores tivessem integrado a formacao como
parte da vida, habito, valencia da funcao docente e da vida. Pensava-se
que, mesmo os professores mais "afastados", teriam, pela obrigacao, chegado
ao convivio agradavel dos colegas que se transformam todos os dias e teriam
ficado viciados no sistema de trocas. A situacao actual esta a destruir
todas as ilusoes e pode aocntecer que, ao contrario das previsoes, este
sistema venha a ter efeitos nefastos para aquilo que era suposto criar e
desenvolver.
Seja tudo pelas almas. Quanto a mim, como director de um centro de formacao
e no CCFCP, fiz o que pude para que a realidade fosse outra. Mas cheguei ao
fim do mandato e vou continuar a defender a formacao sem foco, desfocada
dos sistemas de financiamento e focada em si mesma, na saude dos
professores e na melhoria do sistema de ensino.

Tres.
Um ajustamento nunca e' mais do que um
ajustamento. Como todos reconhecem. Tem a importancia que tem. E =E9 feito
sobre o que existe: muitas reclamacoes serias, mas com fundamentos curtos,
curtos resultados de investigacao. E e' aos debates e 'a discussao publica
que se vai tentar buscar o que nos falta em fundamentacao coerente.


A importancia politica que pode ter resulta mais do risco do que do
aproveitamento do
Departamento do Ensino Secund=E1rio. O DES podia simplesmente ter adoptado
a tecnica do corte com comunicacao curta as escolas - que sobreviveria as
reclamacoes das organizacoes, mas responderia aos problemas dos professores
(que nao sabem o que cortar e foram convencidos do progressismo dos
programas, principalmente pelas organizacoes que os combatem na
especialidade!!) da mesma forma que se respondeu as dificuldades que houve
nas anteriores reformas - retalho a retalho. Ao ter encomendado um
ajustamento mais
substantivo que um corte e dadas as
caracteristicas da equipa - em especial do Jaime, que e sempre um risco
publico - o Departamento mostrou estar disposto a correr alguns riscos e a
suportar uma discussao mais aberta e prolongada, capaz de envolver o ensino
superior e capaz de, a prazo, vir a por definitivamente em causa o programa
de 4 horas. Porque e preciso dizer que ha um programa de 4 horas semanais
distribuidos por tres anos (veja-se o que diz o meu amigo sanchez, e mesmo
que ele nao tenha razao, temos de reconhecer que ele tem memoria) e que
outros maiores ja foram leccionados em 2 anos (5 horas). E vale a pena
esclarecer as reais diferencas que existem entre os tempos: ao nivel do
ensino, mas tambem dos publicos escolares, etc. E de tal modo que todos
fiquemos a saber das coisas diferentes que dizemos quando dizemos a mesma
coisa ou coisas que, afinal, so na aparencia sao
diferentes.

Podemos discutir este assunto mais
prolongadamente e de outros pontos de vista. Mas do ponto de vista
politico, esta solucao de risco do DES revela que ha exercicios de alguma
autonomia contraditorios com uma politica geral de desrespeito pelo ensino
da matematica, pela educacao matematica, pela investigacao
matematica, pela matematica. A politica
autoritaria tem-se servido da matematica e a importancia que lhe atribui
tem sido por sistema injuriosa para a matematica (quando lhe atribui
funcoes especial de seleccao social, ou lhe atribui ignominiosas
prioridades que a
matematica bem dispensaria, ate porque nunca foram acompanhadas de
verdadeiras medidas que beneficiassem o ensino e a investigacao).

Teremos de discutir de qualquer modo os modelos e os modos de avaliacao
dentro do sistema, em especial temos de comecar a discutir a avaliacao em
matematica escolar, o que nao valera a pena se partirmos de pressupostos
que nos sirvam de proteccao contra a discussao sobre o real, como por
exemplo, fingir a sociedade portuguesa como um oasis da matematica sem
"exames" e provas e ...


Dito tudo isto, fica claro que penso que a importancia da investigacao e
decisiva, mas tambem e importante que se concretizem algumas das propostas
do Veloso, capaz de produzir consensos entre os professores sobre normas e
etica, mas tambem sobre questoes fundamentais do ensino - de modo a que,
por exemplo, quando um grupo de professores diz que sao precisas 5 ou 6
horas semanais de matematica, saiba de que matematica se trata e para que.
De alguns debates que se tiveram sobre cortes, horas, cumprimento de
programas, etc, as conclusoes nao sao pobres - antes sao ricas, mas de
desorientacao,
descoordenacao, incompreensao, ........
corporativismo. Tudo se compreende, mas talvez tivessemos podido dar alguns
passos em frente. A APM e a SPM, a SPCE/SEM, etc devem continuar a
trabalhar, de um modo geral, mas tambem devem procurar ir de encontro a
algumas dificuldades elementares politicas e procurar ensaiar propostas de
resolucao.

Quatro.
=46iquei-me pela politica.
Ainda me interessava falar na questao dos computadores no ensino, mas se o
fizer agora nao faco o que tenho de fazer. Prometo que vou defender a minha
opiniao - como professor do ensino secundario, numa escola secundaria do
litoral deste jardim.

Continuarei, logo que possivel ... se o
computador me ajudar e o forum ainda la estiver.



Arselio Martins


**********************************
Arselio de Almeida Martins
**********************************
Escola Secundaria de Jose' Estevao
Avenida 25 de Abril 3810 AVEIRO PT
Ph: 351 34 23813 Fax 351 3423813
****************: 351 34 26439
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A discussao realizada ate neste FORUM acerca do ajustamento dos programas
do secundario parece-me indicativa do seguinte:

1) No que respeita ao ensino secundario, torna-se manifesta a existencia
sobretudo de dois pontos polemicos: (a) geometria e o (b) uso das
tecnologias. Tanto num ponto como no outro parecem haver ideas
interessantes, mas alguma incerteza relativamente a sua concretizacao.
Surge com toda a clareza a necessidade de projectos de desenvolvimento
curricular nestas areas, e era bom que em Portugal o desenvolvimento
curricular deixasse de ser uma especie de parente pobre da investigacao
para passar a ser uma actividade respeitada e com a devida prioridade a
nivel de financiamento oficial (em especial da JNICT e IIE).

2) Parece haver um consenso sobre a necessidade de dar maior importancia a
Matematica discreta. As 4 horas semanais nao dao margem para grandes
aventuras, e por isso vamos ficar pelo habitual. Mas se se pudesse criar
uma disciplina de opcao neste dominio, ja seria um excelente passo em
frente.

3) Ha um ponto acerca do qual a minha perplexidade cresceu
substancialmente: a velha questao das 4 horas. Vendo certas reacoes de
elementos do Ministerio, fico com a sensacao de que tudo nao passa dum
monumental equivoco. Vendo a frase dum parecer sobre os programas
"Prioritariamente a discussao da carga horaria da disciplina de Matematica
(4 ou 5 horas semanais) impoe-se um balanco urgente da qualidade dos
manuais escolares", fico sem perceber (a) o que tem uma coisa a ver com a
outra e (b) se isto significa que afinal esta questao e secundaria.

E de caminho gostaria de recordar que se se considera que ha manuais
escolares que sao de qualidade duvidosa (ou ma), quem deve tomar posicao
sao as associacoes profissionais respectivas. (Ou sera que alguns gostariam
de ver ressurgir um index estatal??!!)

4) Toda a gente parece estar de acordo quanto a importancia da formacao de
professores. Vamos a ver se deste vez se leva a pratica um plano decente
nesta materia.

5) Ha um numero significativo de pessoas que gostam de ver os outros
conversar, mas que nao se mobilizaram ainda para dar a sua opiniao. Seria,
no entanto, interessante conhecer outros pontos de vista e alargar o debate
noutras direccoes.

Joao Pedro da Ponte-DEFCUL


***************************************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
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X-Comment:  Educacao em Matematica

>A discussao realizada ate neste FORUM acerca do ajustamento dos programas
>do secundario parece-me indicativa do seguinte:
>
>1) No que respeita ao ensino secundario, torna-se manifesta a existencia
>sobretudo de dois pontos polemicos: (a) geometria e o (b) uso das
>tecnologias. Tanto num ponto como no outro parecem haver ideas
>interessantes, mas alguma incerteza relativamente a sua concretizacao.(J.
>Pedro Ponte)

1.Inteiramente de acordo. Mas julgo que uma discussao, que n=E3o tem que ser
exaustiva e totalmente pr=E9via, sobre a quem se destina e para que serve o
ensino secundario, eh necessaria para que esta polemica possa ser frutuosa.

2.Em rela=E7=E3o a geometria (e n=E3o so, esta claro) temos que ver para o f=
uturo
se tem sentido continuar a basear o elenco do programa em sequencias de
conceitos a aprender e tecnicas a dominar, nao falando do espartilho das
tres colunas, que foi uma invencao da anterior equipa mas que julgo que nao
e um dogma.
No caso da geometria, em vez de geometria plana, ou do espaco, e em vez de
quadrilateros, ou de perpendicularidade, deviam aparecer talvez como temas
a dimensao, a forma, a simetria (no seu aspecto geral, nao a simetria
axial...), etc. E as transforma=E7oes geometricas, as coordenadas, os
vectores, os teoremas sobre triangulos e quadrilateros, etc. deviam ser
relegados para metodos de entender e resolver problemas e fazer
investigacoes sobre a dimensao, a forma, etc. E sobretudo tirar a geometria
do seu guetto e liga-la efectivamente a analise, as probabilidades, aos
numeros, a matematica discreta (e vice-versa, esta claro). O 'apport' da
geometria tem que ser as questoes de visualizacao, tanto no sentido de
imagens mentais como no de representacao visual de conceitos que a primeira
vista nao tem caracter visual. E aqui que os computadores e os seus ecrans
entram fortemente.

3. Eu percebo que nao e possivel fazer isto de um dia para o outro, e que
agora, no ajustamento, temos que adoptar uma posicao pragmatica, que
permita aos professores se irem preparando para essas novidades que nao
poderemos adiar por muito mais tempo. Mas daqui a quatro ou cinco anos
estaremos na mesma posicao que hoje se nao iniciamos uma discussao
sistematica e calma sobre estes pontos,depois de termos atamancado o actual
programa o melhor possivel.

Eduardo Veloso

Eduardo Veloso
Av. D. Rodrigo da Cunha, 11 3=BA D
1700 Lisbon
Portugal
tel. & Fax.: (351) (1) 8483046
e-mail: veloso@telepac.pt

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Comentarios e Sugestoes a Proposta de Ajustamento dos Novos Programas

        Relativamente ao numero de aulas para leccionar os Temas I, II e III
sao necessarias, segundo a proposta da equipa, 92 horas. No entanto, e
preciso nao esquecer que sao necessarias ainda:
        - 18 horas para avaliacao dos alunos, dado que 2 testes por trimestre
representam, para cada teste, uma aula de revisoes, uma aula para admnistracao
do teste e uma aula para correccao do mesmo;
        - 3 horas, uma por trimestre, para avaliacao ao professor e ao
rendimento das aulas;
        - 6 horas cedidas para Area-Escola;
        - 6 horas necessarias para a participacao do professor em encontros
profissionais.
        As horas necessarias somam um total de 125 horas, o que torna a
execucao do programa "apertada" senao impossivel de levar a cabo. Por
deliberacao do Ministerio, o numero de horas semanais para leccionar a
disciplina de Matematica foi reduzido para 4 horas. A exeguidade deste horario
deveria motivar os professores do Ensino Secundario e Superior a recusar tal
reducao.

        Relativamente aos "cortes" propostos pela equipa gostaria de comentar
e propor o seguinte:
        - a retirada de "O Conjunto R" deve pressupor que os conteudos deste
item sejam organizados em termos de "Prerequesitos para" e deve ser
indicado ao professor em que alturas devem ser apresentados aos alunos. De
igual modo deve ser exemplificada a forma instrumental de apresentacao dos
conteudos referidos para evitar perdas de tempo ou um ensino formalizado do
conteudo deste item que nao servira o objectivo instrumental pretendido;
        - relativamente 'a retirada do estudo da sucessao (1+1/n)^n, e' uma
perda para os alunos nao terem outro conhecimento do numero 'e' que nao seja
o da maquina de calcular e por conseguinte discordo da retirada deste item;
        - considero igualmente uma perda para os alunos a retirada do
programa das derivadas das funcoes trigonometricas, logaritmica e exponencial.
A forma como uma funcao varia faz parte do estudo dessa funcao. A retirada da
derivada das funcoes contribuira para um conhecimento pouco profundo das
funcoes em questao.

        Relativamente ao plano de metodologia que esta' inserido nos programas
da reforma, e sem o qual o programa nao pode ser implementado, e' necessario
garantir o seu aprofundamento, como e' referido no texto elaborado pela equipa
tecnica. Sem que a metodologia subjacente ao programa seja implementada, o
programa parecera tanto a professores como a alunos desconexo e pontual e
estara condenado, 'a partida, o seu sucesso. Sugere-se, por conseguinte, que
sejam tomadas medidas para uma real implementacao do programa, nomeadamente
que sejam promovidas sessoes de formacao atraves de exemplificacoes feitas
por professores que estiverem verdadeiramente envolvidos na implementacao do
programa durante a sua fase experimental.

                                                Eduarda Moura

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1. Posicaeo importante (para mim), mas facil: 
    a) Mobilizar protesto contra 4 horas ;

    b) Formacaeo de professores (inicial, continua,...) seria - vamos 
        a isso.

2.  Mais dificil (muito mais) - posicaeo da equipa tecnica, que, 
        pragmaticamente, decidiu tentar arranjar uma solucaeo viavel a 
        curto prazo.   O meu sincero respeito.

     Joaeo D. Vieira
                         
+----------------------------------
| Joao Carlos David Vieira
| Dep. Matematica
| Universidade de Aveiro
| Email : jdvieira@samantha.mat.pt
| Fax   : (034) 382014
| Telef : 370200 EXT 3407
+----------------------------------

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Joaeo D. Vieira dixit algures no ciberspaco:

>1. Posicaeo importante (para mim), mas facil:
>    a) Mobilizar protesto contra 4 horas ;

Facil? n anos desde a publicacao do Decreto da Reforma Curricular provam
que nao e' uma luta nada facil.
E' preciso mesmo mobilizar! Mas como?

>
>    b) Formacaeo de professores (inicial, continua,...) seria - vamos
>        a isso.

Mais uma vez e' preciso mobilizacao para isso!
Em particular das Instituicoes de Ensino Superior!
Pressionar os responsaveis do FOCO por um lado, e tomar outra iniciativas
por outro lado.
Nao deveriam por exemplo as Universidades editar publicacoes numa coleccao
do tipo "Fundamentos da Matematica Elementar" como fez a Sociedade
Barsileira de Matematica? Para isso nao e' preciso autorizacao
ministerial...

>
>2.  Mais dificil (muito mais) - posicaeo da equipa tecnica, que,
>        pragmaticamente, decidiu tentar arranjar uma solucaeo viavel a
>        curto prazo.   O meu sincero respeito.


Dificil? Impossivel? Nao sei. O que sei e' que se nada for feito o proximo
ano sera' ja' um verdadeiro fim do mundo! E os alunos?

Jaime


/////////////////////////////////////////////////////////////////////
Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
PORTUGAL
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Eduarda Moura dixit algures no ciberspaco:

>        As horas necessarias somam um total de 125 horas, o que torna a
>execucao do programa "apertada" senao impossivel de levar a cabo.

Apertada nao e' sinonimo de impossivel.
A Equipa Tecnica concorda com aqueles que acham a proposta actual extensa e
por isso ira' proceder a mais cortes, mas nao na ideia do "tudo ou nada"
que estava um pouco subjacente na 1a versao. Inclusivamente outros topicos
suprimidos poderao aparecer mas *sempre* de modo diferente, para garantir
uma aprendizagem efectiva por um lado, e por outro para limitar cavalgadas
em temas menores, essencialmente de calculo rotineiro desinteressante. Por
exemplo, nao tem sentido aparecer o limite de senx/x para depois calcular
toda uma parafernalia de limites baseados naquele. Mas ja' estamos
sensiveis 'a reintroducao deste limite num contexto de derivacao (que e'
onde o limite interessa efectivamente); por exemplo usando a calculadora
grafica com ampliacoes sucessivas no grafico de sen x constatar que obtemos
"quase rectas" de declive aproximadamente igual a um; diz-se que nao se
demonstrou para que nao surjam confusoes (mas que se pode demonstrar - pode
vir em apendice ao livro para os alunos mais interessados - embora a
demonstracao rigorosa exija a nocao de integral para definir comprimento de
uma curva); por fim concluir que
sen'(0)=1; dai' obter que sen'x=cos x. Por fim comparar os dois graficos e
observar como o grafico de um descreve o comportamento do outro.
Assim, o numero de horas em relacao ao desenvolvimento do programa nao deve
ser olhado apenas como o somatorio dos conteudos olhados de modo classico e
estamos a trabalhar esforcadamente para que o programa seja cumprivel e por
consequencia se possa exigir que seja rigorosamente cumprido para evitar
laxismos e prejuizos 'a formacao dos alunos.

>Por
>deliberacao do Ministerio, o numero de horas semanais para leccionar a
>disciplina de Matematica foi reduzido para 4 horas. A exeguidade deste horario
>deveria motivar os professores do Ensino Secundario e Superior a recusar tal
>reducao.

Recusar? Como? Esta' legislado ha' n anos que assim e'! Desobediencia
organizada 'a lei?

Entendo que e' necessario sair do torpor do passado recente e tomar accoes
consequentes para que o Decreto da Reforma Curricular seja revisto e que
nessa revisao a Matematica seja mais bem tratada do que e' actualmente (e
nao diminua ainda mais, o que nem seria inedito em Portugal!). Todas as
Instituicoes e Associacoes devem actuar de forma mais consequente. Nao se
pode esperar que o Decreto se reveja sozinho!

A Equipa Tecnica esta' a pensar defender de forma mais vigorosa (e com uma
justificacao mais detalhada do que anteriormente) uma carga horaria de 6
horas para os Agrupamentos Cientifico-Tecnologicos.
Que pensam sobre isto?


>        Relativamente aos "cortes" propostos pela equipa gostaria de comentar
>e propor o seguinte:
>        - a retirada de "O Conjunto R" deve pressupor que os conteudos deste
>item sejam organizados em termos de "Prerequesitos para" e deve ser
>indicado ao professor em que alturas devem ser apresentados aos alunos. De
>igual modo deve ser exemplificada a forma instrumental de apresentacao dos
>conteudos referidos para evitar perdas de tempo ou um ensino formalizado do
>conteudo deste item que nao servira o objectivo instrumental pretendido;

A diluicao de um capitulo faz com que se gaste menos tempo com ele. Nao so'
nao ha' a tentacao de fazer exerciciozitos sem fim, como a integracao
noutro tema facilita a compreensao e e' possivel avancar mais depressa.

>        - relativamente 'a retirada do estudo da sucessao (1+1/n)^n, e' uma
>perda para os alunos nao terem outro conhecimento do numero 'e' que nao seja
>o da maquina de calcular e por conseguinte discordo da retirada deste item;

Muitas pessoas fizeram a mesma objeccao. Possivelmente o topico vai
reaparecer, mas de modo nenhum como actualmente. Talvez num contexto de
modelacao matematica (juros por exemplo) e sem demonstracao alguma.

>        - considero igualmente uma perda para os alunos a retirada do
>programa das derivadas das funcoes trigonometricas, logaritmica e exponencial.
>A forma como uma funcao varia faz parte do estudo dessa funcao. A retirada da
>derivada das funcoes contribuira para um conhecimento pouco profundo das
>funcoes em questao.

Outro topico que podera' reparecer mas num contexto totalmente diferente.
Talvez ligado ao trabalho com graficos via calculadora grafica (sem
demonstracoes que aqui parecem totalmente deslocadas e improdutivas).

Mas atencao, acrescenta-se num lado, corta-se no outro.
O programa e' para 4 horas!

>        Relativamente ao plano de metodologia que esta' inserido nos programas
>da reforma, e sem o qual o programa nao pode ser implementado, e' necessario
>garantir o seu aprofundamento, como e' referido no texto elaborado pela equipa
>tecnica.

Um ideia e' acrescentar uma lista de sugestoes metodologicas, com
referencias 'a literatura actual onde se poderao apontar exemplos
concretos. E ja' ha' um numero razoavel de pulbicacoes em portugues, e nao
ha' razao alguma para nao se usar bibliografia em lingua castelhana.

Outra ideia e' recuperar as Normas para o Ensino do inicio do 1o volume do
Guia para a utilizacao do Compendio de Matematica de Sebastiao e Silva.

>Sem que a metodologia subjacente ao programa seja implementada, o
>programa parecera tanto a professores como a alunos desconexo e pontual e
>estara condenado, 'a partida, o seu sucesso. Sugere-se, por conseguinte, que
>sejam tomadas medidas para uma real implementacao do programa, nomeadamente
>que sejam promovidas sessoes de formacao atraves de exemplificacoes feitas
>por professores que estiverem verdadeiramente envolvidos na implementacao do
>programa durante a sua fase experimental.

Formacao de professores, sim, claro, obviamente, forcosamente.
Mas as instituicoes de Ensino Superior tambem devem tomar inciativas nesse
sentido, nao acham?

Jaime



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Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
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X-Comment:  Educacao em Matematica


Joao Pedro da Ponte dixit algures no ciberspaco:

>E de caminho gostaria de recordar que se se considera que ha manuais
>escolares que sao de qualidade duvidosa (ou ma), quem deve tomar posicao
>sao as associacoes profissionais respectivas. (Ou sera que alguns gostariam
>de ver ressurgir um index estatal??!!)

A questao dos manuais escolares e' importante a curto prazo.
A dois niveis pelo menos:
-erros cientificos (nao gralhas ou imprecisoes) sao inadmissiveis
-subversoes do programa sao inadmissiveis (se o program diz que nao se deve
transformar a unidade de calculo integral numa unidade de calculo de
primitivas e um manual o faz..., ou se faz a quadratura da parabola de
Arquimedes com rectangulos quando ela foi feita com triangulos...)

Segundo a Lei deveria existir uma Comissao Cientifico-Pedagogica de analise
de manuais escolares. E' urgente que a Lei seja aplicada por quem a fez!
Esta Comissao deveria ser formada com pessoas independentes (representantes
nomeados por diversas entidades, nomeadamente SPM, APM, SPE,...) e deveria
analisar os manuais de modo a garantir o cumprimento dos dois pontos acima.
Recomendando a revisao do livro, antes da publicacao, nos pontos polemicos,
nao se limitando a reprovar a publicacao. Nao se trataria obviamente de
concordar ou discordar com estrategias de apresentacao ou perspectivas
pedagogicas, mas sim garantir uma uniformidade minima de leccionacao a
nivel nacional.

A actual impunidade nao deveria ser permitida.

Mas nao considero minimamente que a questao dos manuais escolares se
sobreponha 'a da problematica das 4 horas (ou antes, das 6 horas para o
Agrupamento Cintifico-Tecnologico)! A questao das horas e' mesmo
prioritaria, sob pena de sermos responsaveis pela cristalizacao da formacao
matematica dos alunos portugueses do ensino secundario.

>5) Ha um numero significativo de pessoas que gostam de ver os outros
>conversar, mas que nao se mobilizaram ainda para dar a sua opiniao. Seria,
>no entanto, interessante conhecer outros pontos de vista e alargar o debate
>noutras direccoes.

Seria mesmo muito interessante!

Jaime


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Jaime Carvalho e Silva
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X-Comment:  Educacao em Matematica


Eduardo Veloso dixit algures no ciberspaco:

>1.Inteiramente de acordo. Mas julgo que uma discussao, que n=E3o tem que ser
>exaustiva e totalmente pr=E9via, sobre a quem se destina e para que serve o
>ensino secundario, eh necessaria para que esta polemica possa ser frutuosa.

Inteiramente de acordo. Mas como esta discussao nao foi feita ate' hoje, e
como a Equipa Tecnica verificou que a interseccao de expectativas dos
ensinos secundario e superior (politecnico e universitario) e' o conjunto
vazio devido 'a grande diversidade de opinioes inclusive' dentro de cada
nivel de ensino, muito ha' a fazer nesta direccao.

>conceitos a aprender e tecnicas a dominar, nao falando do espartilho das
>tres colunas, que foi uma invencao da anterior equipa mas que julgo que nao
>e um dogma.

As tres colunas nao foram invencao da anterior equipa, mas sim um modelo
utilizado em todas as disciplinas excepto aquelas da responsabilidade do
ex-GETAP que tinham so' duas colunas. Nos preferiamos as duas colunas, mas
nao sabemos se os puristas dos objectivos nos vao autorizar.

>No caso da geometria, em vez de geometria plana, ou do espaco, e em vez de
>quadrilateros, ou de perpendicularidade, deviam aparecer talvez como temas
>a dimensao, a forma, a simetria (no seu aspecto geral, nao a simetria
>axial...), etc. E as transforma=E7oes geometricas, as coordenadas, os
>vectores, os teoremas sobre triangulos e quadrilateros, etc. deviam ser
>relegados para metodos de entender e resolver problemas e fazer
>investigacoes sobre a dimensao, a forma, etc.

Nem tanto ao mar nem tanto 'a terra. Estamos a tentar equilibrar as duas
coisas e a 2a versao devera' ver bastantes voltas nesta area. Estamos neste
momento a ruminar no seguinte: nao dar tanto relevo 'a geometria analitica
(muitas pessoas entendem que nao vale sequer a pena dar a geometria
analitica no espaco antes do ensino superior) de modo a evitar a tentacao
de reduzir tudo a calculos sem fim. Nem cair na tentacao da geometria
exclusivamente axiomatica de modo a evitar malabarismos equivalentes.
Comecando com resolucao de problemas de geometria no plano e no espaco,
trabalhar na geometria analitica elementar (talvez ate' 'a recta no
espaco...) tentando tambem desenvolver a capacidade de visualizacao
espacial recorrendo a outros topicos (simetrias no plano e no espaco sem
geometria analitica? alguma referencia a no's?...?).
Agradecia comentarios nesta area, agora ou quando sair a segunda versao.

>E sobretudo tirar a geometria
>do seu guetto e liga-la efectivamente a analise, as probabilidades, aos
>numeros, a matematica discreta (e vice-versa, esta claro).

Esta ligacao devera' ser feita, na minha opiniao, com referencias
explicitas noutros capitulos; estamos a tentar (ja' estavamos), mas estamos
abertos a mais sugestoes.

>O 'apport' da
>geometria tem que ser as questoes de visualizacao, tanto no sentido de
>imagens mentais como no de representacao visual de conceitos que a primeira
>vista nao tem caracter visual. E aqui que os computadores e os seus ecrans
>entram fortemente.

Mas nao podemos esperar a curto prazo mais do que "data-shows"... na
generalidade das escolas.

>Mas daqui a quatro ou cinco anos
>estaremos na mesma posicao que hoje se nao iniciamos uma discussao
>sistematica e calma sobre estes pontos,depois de termos atamancado o actual
>programa o melhor possivel.

Nem mais. Seria essencial que se aproveitasse a embalagem desta discussao,
para que se discutisse muito profundamente o ensino secundario em Portugal.

E apoio enfaticamente o apelo do Joao Pedro da Ponte no sentido da
necessidade de uma maior participacao dos subscritores deste forum (e de
fazer passar a palavra da existencia deste forum para que outros se tornem
assinantes).

Jaime




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Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
PORTUGAL
Phone(office): 351-39-28097/8/9,351-39-29485,351-39-29539,351-39-29882
Fax: 351-39-32568
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X-Comment:  Educacao em Matematica


A Equipa Tecnica esteve presenta num painel de discussao da 1a versao do
Ajustamento no dia 13 de Junho no Porto com a presenca de Escolas
Superiores (Mat. Pura e Mat. Aplicada do Porto, Aveiro, Minho, Politecnico
do Porto e ESEP) e Secundarias (Coimbra, Porto, Gaia, Ovar e Povoa de
Varzim).

A questao mais levantada pelos representantes das Escolas Secundarias foi a
da Avaliacao. Que fazer aos alunos que aparecem no 10 ano e que reprovaram
no 9 ano a Matematica, ou aqueles que tendo obtido aprovacao apresentam na
realidade lacunas basicas enormes.
Aparentemente o Apoio Pedagogico Acrescido-APA nao funciona muito bem.
Varias pessoas disseram que enquanto o problema da avaliacao nao for
resolvido nem vale a pena discutir programas.

Acham que a Equipa Tecnica deve fazer mais recomendacoes do que aquelas que
aparecem na 1a versao (essencialmente de recomendar o APA aos alunos que
revelarem lacunas)?

Jaime




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Jaime Carvalho e Silva
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X-Comment:  Educacao em Matematica

>Eduardo Veloso dixit algures no ciberspaco:
>>No caso da geometria, em vez de geometria plana, ou do espaco, e em vez de
>>quadrilateros, ou de perpendicularidade, deviam aparecer talvez como temas
>>a dimensao, a forma, a simetria (no seu aspecto geral, nao a simetria
>>axial...), etc. E as transforma=3DE7oes geometricas, as coordenadas, os
>>vectores, os teoremas sobre triangulos e quadrilateros, etc. deviam ser
>>relegados para metodos de entender e resolver problemas e fazer
>>investigacoes sobre a dimensao, a forma, etc.

Jaime C. S. respondeu:

>Nem tanto ao mar nem tanto 'a terra. Estamos a tentar equilibrar as duas
>coisas e a 2a versao devera' ver bastantes voltas nesta area.

Apenas uma r=E1pida observa=E7=E3o agora, que n=E3o tenho tempo para mais:
Com certeza. Aquelas minhas propostas eram dirigidas n=E3o para o ajustament=
o
actual mas como indica=E7=E3o de um caminho de discuss=E3o para o futuro. O =
texto
antes dizia:temos que ver para o futuro se tem sentido continuar a basear o
elenco do programa em sequencias de conceitos a aprender e tecnicas a
dominar... Eu nao tenho duvidas que fazer agora no ajustamento coisas desse
tipo seria ir para o mar r e morrer afogado. Por isso e=B4 que o ajustamento
e=B4 dif=EDcil de fazer... e nunca ficara=B4 verdadeiramente satisfato=B4rio=
, esta=B4
claro.
>/////////////////////////////////////////////////////////////////////
>Jaime Carvalho e Silva
>Departamento de Matematica
>Universidade de Coimbra
>Apartado 3008
>3000 Coimbra
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>Phone(office): 351-39-28097/8/9,351-39-29485,351-39-29539,351-39-29882
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> *Vale mais a queda do que a seguranc,a de estar parado* - "O Mocho"
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Eduardo Veloso
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X-Comment:  Educacao em Matematica

'As 15:06 13/06/95, Joao David Vieira disse:

<<1. Posicaeo importante (para mim), mas facil:
<<    a) Mobilizar protesto contra 4 horas ;

De algum modo, a questao do ajustamento veio
levantar alguns problemas interessantes e um
deles e' esta velha questao das horas. Por um
lado, muitas pessoas estao agora a admitir que
nao se discutiu suficientemente  a reforma
curricular, na altura em que ela esteve em
discussao. Talvez nao tivesse podido ser de outro
modo.
Mas a Reforma Curricular - em Decreto-lei -
determina, desde a generalidade ate' 'a
especialidade, o conjunto das formacoes gerais,
especificas, tecnicas e tecnologicas  que os
ensinos basico e secundario fornecem ou
representam.. Ela representa concepcoes sobre a
formacao dos cidadaos, para que possam
desempenhar os diversos papeis sociais que e'
preciso cumprir, de acordo com  projectos de
sociedade. Em muitos aspectos, ela representa um
consenso possivel entre as varias intencoes em
presenca.
Na especialidade, ela define pesos, conteudos,
formas e modalidades das diversas componentes da
formacao escolar dos cidadaos. Ha um projecto
global que determina, para um suposto equilibrio,
os diversos programas escolares. E e' por isso
que eu nao me vejo a discutir problemas de cargas
horarias. Porque os programas sao compostos tanto
de cargas horarias, como de temas de estudo ou de
metodologias, etc.

Como cidadao, discordo do consenso que foi
conseguido. E, dentro dessa discordancia de
fundo, posso discordar do programa de matematica
- parte desse consenso e desse equilibrio
entendido como formacao integral do cidadao. Na
altura, tinha reservas pouco fundamentadas
'aquilo que eu considerava distorcoes a favor das
explicacoes globais ou globalizantes - por
exemplo, ciencias do ambiente, ciencias
experimentais, artes, ciencias humanas, saude e
conhecimento do corpo, etc - sem que houvesse
garantias de serem reportadas (e suportadas por)
a conjuntos de conhecimentos basicos, aquisicoes
basicas, capacidades basicas, ferramentas basicas
(que se perdiam numa massa informe de informacoes
mal tratadas).
No meu entender, o desenvolvimento das sociedades
humanas baseia-se no principio de fazer forca
pela consciencia da fraqueza, isto e', na
necessidade do treino prolongado e aprofundado
dos humanos. Escrevo treino num sentido tao amplo
do termo que inclui a matematica como coisa
concebida da necessidade humana de sobrevivencia
ultima, para alem das pequenas contingencias que
as geracoes de humanoterraqueos sao.

Devemos continuar a discussao dos programas, mas
sabendo que eles estao contidos numa reforma
curricular (que ja nem tem nada de nacional) que
tem a ver com projectos de sociedade de
humanoides, ja um pouco conscientes da
necessidade de haver humanos livres, autonomos e
independentes, capazes do livre arbitrio balizado
pela solidariedade para a sobrevivencia da
especie humana, das outras especies, do mundo,
capazes de compreender que, estando tudo em
mudanca, tudo e' efemero incluindo o conhecimento
da especie e a especie, que o que fazemos hoje e
nos parece bem, pode bem ser criminoso... que e'
preciso fazer regressos, que e' preciso estarmos
preparados para fazer coisas que nem os sonhos
previram.

Ha quem me diga que ao empalear deste modo tao
geral, nao quero mudar nada em particular. Podia
aceitar esta mentira piedosa e converter-me a
defender 6 horas para uma matematica basica, sem
saber qual, so eficaz e necessaria para a
seguranca de emprego dos meus iguais no tempo que
me foi dado viver mesmo que contra, quem sabe?, o
tempo por vir. Assim pensam muitas vezes os
politicos em educacao que sao aqueles que nao
correm quaisquer riscos - os resultados das suas
iniciativas politicas (como por exemplo a reforma
curricular) demoram tanto tempo a serem
denunciadas pela vida - demoram geracoes - que
eles podem acabar tranquilamente as suas
carreiras que sao afinal a unica coisa que lhes
interessa. Andamos sempre a dizer que e' preciso
estarmos conscientes das mudancas e a defender a
educacao para a mudanca, mas embarcamos em todas
as manobras horarias para que as coisas fiquem
como estao e de tal modo que nao enfrentemos a
possibilidade de alguns (que podem ser nos)
termos de ir aprender e fazer outra coisa.
Ja tenho idade para ser compassivo - para
compreender as sabias, mas rasteiras posicoes de
cada concha de nos e dos politicos nossos amigos
- mas tambem para relativizar a minha passagem
por este mundo e deixar perigar a  comoda
passadeira que me leva desde o presente ate ao
futuro dos outros.

Dito de outro modo, so me interessa discutir
cargas horarias se isso significar discutir
programas, reformas curriculares, papeis que
prestem para  cidadaos que prestem para algo mais
do que um projecto desenhado pelos interesses de
uma ou outra parcela de uma outra geracao, sempre
em nome do presente e.... do futuro, mas a quem
nao desdenham mandar "presentes" envenenados.

E' por isso que, embora nao possa dar grande
contributo, acho excelente a ideia do Paulo
Abrantes de comecar a discutir ja no proximo
ProfMat o que e' ou pode ser a Matematica de um
cidadao que faz o seu percurso de treino escolar
secundario na nossa sociedade. E, se me permitem
uma sugestao, valeria a pena ouvir pessoas como o
Arala Chaves do Porto. Para comecarmos a ver
algumas verdadeiras licoes de humildade e de
verdadeiras pequenas ligacoes  que constroem uma
matematica de tematicas, metodos, ... sem que
sejamos obrigados a escrever as 3 colunas que nao
existem senao como espartilho para a facilidade
da escrita e da compreensao mais estreita. Do
mesmo modo, valeria a pena ouvir o Veloso, o
Ponte, o Joao Rui, o Jaime.... Comeco a
proximar-me de todos e de cada um pelos caminhos
invios de quem escuta. Assim houvesse tempo e
dinheiro para alargar o tempo.

Assim houvesse imaginacao e jeito para escrever o
que a compreensao atinge e os mecanismos da
expressao nao garantem.

E continuo convencido, cada vez mais convencido
que a discussao em geral nos ajuda a ter
resultados em particular - mais ricos e mais
rapidos.... mais serios. Mais limitados, mas
tambem capazes de fabricar a tesoura que rompe as
redes em que estamos limitados.


Tudo o que parece facil esconde a maior das
dificuldades - sem deixar de ser facil.

<<
<< Arselio Martins
<<
<<+----------------------------------
<<| Joao Carlos David Vieira
<<| Dep. Matematica
<<| Universidade de Aveiro
<<| Email : jdvieira@samantha.mat.pt
<<| Fax   : (034) 382014
<<| Telef : 370200 EXT 3407
<<+----------------------------------


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Arselio de Almeida Martins
**********************************
Escola Secundaria de  Jose' Estevao
Avenida 25 de Abril 3810 AVEIRO PT
Ph: 351 34 23813 Fax 351 3423813
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Urb Chave, Lote 18, 3. Dir.
.3810 AVEIRO PT Ph: 351 34 26439
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X-Comment:  Educacao em Matematica

'As 0:07 15/06/95, Eduardo Veloso disse:

<<>Eduardo Veloso dixit algures no ciberspaco:
<<>>No caso da geometria, em vez de geometria
<<plana, ou do espaco, e em vez de
<<>>quadrilateros, ou de perpendicularidade,
<<deviam aparecer talvez como temas
<<>>a dimensao, a forma, a simetria (no seu
<<aspecto geral, nao a simetria
<<>>axial...), etc. E as transforma=3DE7oes
<<geometricas, as coordenadas, os
<<>>vectores, os teoremas sobre triangulos e
<<quadrilateros, etc. deviam ser
<<>>relegados para metodos de entender e resolver
<<problemas e fazer
<<>>investigacoes sobre a dimensao, a forma, etc.
<<
<<Jaime C. S. respondeu:
<<
<<>Nem tanto ao mar nem tanto 'a terra. Estamos a
<<tentar equilibrar as duas
<<>coisas e a 2a versao devera' ver bastantes
<<voltas nesta area.
<<
<<Apenas uma r=E1pida observa=E7=E3o agora, que
<<n=E3o tenho tempo para mais:
<<Com certeza. Aquelas minhas propostas eram
<<dirigidas n=E3o para o ajustament=
<<o
<<actual mas como indica=E7=E3o de um caminho de
<<discuss=E3o para o futuro. O =
<<texto
<<antes dizia:temos que ver para o futuro se tem
<<sentido continuar a basear o
<<elenco do programa em sequencias de conceitos a
<<aprender e tecnicas a
<<dominar... Eu nao tenho duvidas que fazer agora
<<no ajustamento coisas desse
<<tipo seria ir para o mar r e morrer afogado.
<<Por isso e=B4 que o ajustamento
<<e=B4 dif=EDcil de fazer... e nunca ficara=B4
<<verdadeiramente satisfato=B4rio=
<<, esta=B4
<<claro.
+++++++++

O ajustamento de um programa de Matematica nao
pode sequer ter a presuncao de  tornar
satisfatorio um  programa que nao e'
satisfatorio.Quando ate' estamos a comecar a
vislumbrar que a razao porque ele nao nos
satisfaz rasga alguns dos seus fundamentos.
Mas podemos comecar a ter a presuncao de
tornarmos obrigatorio qualquer coisa que permita
que cada cidadao possa saber que se considera que
uma determinada formacao e' b'asica e a ela tem
direito. A extensao do programa e' uma forma de
escamotear (e impedir a reclamacao sobre)  um
direito fundamental. Permitir aos professores que
trabalhem com um programa exequivel e', afinal de
contas, retirar-lhes  a possibilidade de, sem
qualquer fundamento e estudo, decidirem que a
formacao escolar matematica dos cidadaos e'
aquela que mais lhes agrada (esta e' uma
explicacao entre muitas outras que nao explica o
actual embaraco em que estamos metidos) e de
decidirem que esta lei nao se cumpre, embora
clamem aqui d'el rei pelo cumprimento de outras.

Temos de deixar muitas coisas claras, porque isto
do cumprimento e' sempre discutivel. Uns dizem:
cumpro a lei quando me esforco por respeitar as
metodologias e logo pouca coisa dou (nao e'
contraditorio?). Outros dizem: cumpro a lei
porque falo de todos os assuntos, esquecendo as
metodologias. Outros deviam dizer: nao sabendo do
que estamos a falar, porque nao falar do tempo
que faz? que interesse pode ter o que eu trabalho
com os meus alunos?


+++++++++++
A Geometria e' um terreno minado. Ja' viaja'mos
por vinte concepcoes sobre a coisa: Mais
geometria sintetica e menos analitica, mais
analitica e menos sintetica, so analitica,
geometrias euclideanas e tambem as nao
euclideanas, geometria projectiva, ...  Ha-de
haver um tempo em que vamos falar da geometria
escolar sem a termos de estar sempre a
esquartejar - para que os conceitos, as
capacidades e as habilidades fundamentais  passem
a ser propriedade de todos.
Neste ajustamento, ainda vamos utilizar a tecnica
do talhante. Ainda nao estamos em condicoes de
introduzir a geometria para explicar e resolver
situacoes, vivendo toda a liberdade dos
professores e alunos. Mas comeca a aparecer algum
consenso sobre os equilibrios a manter, embora eu
continue a pensar que o ensino da geometria
fundamental nao depende da definicao de uma
abordagem em detrimento de outra. Pelo meu lado,
ate agora, o que gostei  mais de fazer foi
geometrias intuitivas ou quase - a partir das
formas, das transformacoes e dos seus
invariantes - utilizando os materiais em presenca
e os materiais usuais, desde as mesas e janelas,
lampadas e a luz, ate as toucas de banho ou
baloes e tenho tambem a ideia que essa foi a mais
desastrada tentativa de ensino de professores
basicos e educadores....

De qualquer modo, me parece que a construcao da
geometria analitica e', ou pode ser, uma coisa
rica em aprendizagens com significado e
transferiveis.


++++++++++++++++++++
Tenho de sair. Estao a chamar-me para uma visita
'a (geome)TIA.
++++++++++++++++++++

Arselio.


**********************************
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X-Comment:  Educacao em Matematica

Alguem poderia colaborar?
Antecipadamente agrademos a divulgacao!
Marisa

>
>On June, 21st, at ten o'clock (local time), the first Municipal Public
>School of Salvador, Bahia (Brasil) will join the Internet.
>Other 24 schools will also join it in a coming months.
>The project is part of a big effort for the improvement of the quality of
>the services of the public education.
>
>We would appreciate any greetings that could be sent to the Mayor Mrs.
>Lidice da Matta, who will be present at the event.
>
>Our electronic address is fialho@ufba.br
>
>Thanks for your time.
>Sergio Fialho
>
>///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
>Marisa Lucena
>KIDLINK KIDFORUM Assistant Coordinator
>mwlucena@inf.puc-rio.br
>///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
>
>

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X-Comment:  Educacao em Matematica
Status: O


Avaliacao ou Diferenciacao do Ensino?

Diz o Jaime:

>A questao mais levantada pelos representantes das Escolas Secundarias foi a
>da Avaliacao. Que fazer aos alunos que aparecem no 10 ano e que reprovaram
>no 9 ano a Matematica, ou aqueles que tendo obtido aprovacao apresentam na
>realidade lacunas basicas enormes.

>Aparentemente o Apoio Pedagogico Acrescido-APA nao funciona muito bem.
>Varias pessoas disseram que enquanto o problema da avaliacao nao for
>resolvido nem vale a pena discutir programas.
>
>Acham que a Equipa Tecnica deve fazer mais recomendacoes do que aquelas que
>aparecem na 1a versao (essencialmente de recomendar o APA aos alunos que
>revelarem lacunas)?
>

Parece-me que nao se trata de um problema de avaliacao mas de um problema
do que fazer com estes alunos que trazem graves deficiencias em matematica
(deficiencias, eventualmente menos graves todos trazem!)

Entendo que estes alunos merecem que lhes seja dada uma oportunidade. Se
eles quizerem fazer um esforco razoavel, estara muito provavelmente ao
alcance da grande maioria conseguir um aproveitamento aceitavel.

Na minha opiniao, o que a escola deveria fazer era comecar por misturar
estes alunos tanto quanto possivel com os restantes, em turmas normais.
Nada de os meter em guettos.

No enatnto, deveria haver um trabalho especifico desenvolvido com eles.
Aqui o APA pode ser um instrumento fundamental. Em pequenos grupos, e
possivel fazer um diagnostico dos sesu conhecimentos e dificuldades e
definir um programa de accao. Deste modo os alunos podem perceber que a
escola esta interessada no seu sucesso, mas que eles tambem tem que fazer
um esforco claro nesse sentido.

E evidente que os professores terao que gastar algum tempo a pensar, a
diagnosticar dificuldades e a conceber alternativas (que nao sejam
simplesmente mais do mesmo, nem longas listas de exercicios). Nao tenho
duvidas que ha imensos professores com capacidade para o fazer, se
entenderem que esses alunos merecem esse tipo de atencao.

Considero que e fundamental que a escola de sinais inequivocos de se
interessar pelo destino dos alunos; e a escola nao e o Ministerio
(felizmente!).

Assim, resumindo:

1) Insercao nas turmas normais do decimo ano.

2) APA especifico para esses alunos, logo desde o inicio do ano, com

a) diagnostico
b) estabelecimento de um plano de accao envolvendo co-responsabilizacao do
proprio aluno e do professor
c) avaliacao periodica (trimestral?) da execucao desse plano, com eventual
reformulacao.

***************************************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
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X-Comment:  Educacao em Matematica
Status: O

1.Enquanto nao vem a segunda versao do Ajustamento, talvez seja altura de
se pensar um pouco por onde devemos comecar, na tal discussao de fundo
sobre o ensino secundario da matematica que ha que iniciar, nao para fazer
um programa para Outubro mas para perceber melhor qual devera ser a linha
de evolucao das mudancas a fazer dentro de tres ou quatro anos.

2. Se olharmos um pouco para tras, talvez possamos fazer corresponder o
periodo da Matematica Moderna como aquele em que a preocupacao era 'o que
ensinar', a reaccao dos anos 80 correspondendo a preocupacoes mais ligadas
ao 'como ensinar', e talvez estejamos ja a viver o periodo em que a questao
fundamental a responder eh o 'para que^ ensinar matematica'. O 'para quem'
tera necessariamente tambem que estar ligado ao 'para que^'.

3. Os promotores da Matematica Moderna ofender-se-iam connosco se
dissessemos que eles nao se preocupavam com os metodos, e sao conhecidas as
afirmacoes do Sebastiao e Silva sobre que de nada vale a pena mudar os
conteudos se nao mudarmos os metodos. Mas Sebastiao e Silva era uma grande
excepcao entre os professores universitarios da epoca, e ainda seria hoje
excepcao, infelizmente. Tal como hoje -- mas hoje com mais
responsabilidade, pois o mundo mudou realmente neste aspecto -- os
professores universitarios de Matematica da epoca, entre eles os que que
introduziram a MM, nao se interessavam minimamente pelas questoes
pedagogicas. Dieudonne=B4 disse-o expressamente, de resto. A grande
preocupacao era o atrazo em que se estava, do ponto de vista dos conteudos,
da Matematica que se ensinava. Em Portugal, isso nao era apenas no ensino
secundario, era tambem na Universidade. Os professores da FC de Lisboa
davam uma matematica do sec. XIX, salvo rarissimas excepcoes (Sebastiao e
Almeida e Costa). O que mais espantava era que todas a gente dizia que
tinham sido professores optimos, actualizados, no inicios das suas
carreiras. Talvez seja uma sina da nossa universidade deixar-se atrazar, e
os professores progressivos numa epoca transformarem-se em retrogrados 30
anos depois. Por vezes penso se certas reaccoes `as calculadoras graficas e
aos computadores nao serao ja um sintoma de que parte do corpo docente da
=46C ja esta a comecar a atrazar-se, a ignorar as ultimas tendencias e a
cristalizar.
A preocupacao nos anos sessenta era portanto ensinar uma matematica mais
actual, que nao fosse uma manta de retalhos feita de resultados e de nocoes
ad hoc mas com uma unidade interna, com uma estrutura, etc. etc. E tambem
outras preocupacoes de conteudos: a introducao da estatistica, da
programacao linear, das aplicacoes a realidade.

4. 20 anos depois, nos anos 80, parece-me que todo o movimento de renovacao
do ensino da matematica gira fundamentalmente, explicitamente ou nao, em
torno da questao das metodologias. Tudo esta relacionado esta claro, mas
quando se defende a resolucao de problemas como agenda para a accao eh
claro que a pontaria esta assestada na defesa de uma metodologia e nao de
alteracoes de conteudos. Todo este movimento culmina de certa maneira nas
normas, e para mim eh claro que as normas sao sobretudo inovadoras ao nivel
das metodologias, da reflexao sobre a aprendizagem da matematica, e nao ao
nivel dos conteudos, em que nao adianta muito -- mais nas propostas de
cooordenacao entre conteudos, ou de abordagens especiais de certos
conteudos. Tambem ao nivel dos objectivos, as normas nao correspondem a
mudancas qualitativas -- apenas, mantendo uma feicao utilitaria da
matematica, se actualizam os objectivos para o fim do milenio. Nada de
muito excitante.

5. A questao do 'para que^' nao esteve ausente durante estas duas reformas,
o que me parece eh que foi assumido que nao havia nada a discutir. O que,
esta claro, nao e verdade. E talvez muitas das contradicoes e divergencias
que continuam a existir sobre conteudos, e sobre metodologias, radiquem
finalmente em concepcoes opostas sobre para que eh que andamos a ensinar
matematica aos desgracados dos nossos alunos durante tantos anos e durante
tantas horas, que parece que ainda sao poucas.
Eh certo que o Dewey ja dizia em 1898 que a 'escola nao era uma preparacao
para a vida', mas isso nunca foi tomado a serio e muito menos pelos
professores de matematica.
Nos ultimos programas, considera-se que foi um grande passo em frente o
facto de se ter incluido nos conteudos as atitudes e as capacidades. E
portanto os objectivos da matematica nao teriam so a ver com a aprendizagem
de conhecimentos mas com a modificacao de atitudes e a aquisicao de
capacidades. Mas note-se que o caracter eminentemente utilitario -- e nao
cultural -- da educacao matematica permanece intacto.
Sem nos entendermos e sobretudo esclarecermos as varias opcoes sobre o que
se pretende com o ensino da matematica no ensino nao superior, julgo que as
restantes questoes -- que conteudos e que metodologias -- nao poderao
avancar muito mais. Por isso parece-me que nao devemos escamotear essa
questao, mas sim coloca-la no centro das discussoes a fazer nos proximos
anos.
Eduardo Veloso

Eduardo Veloso
Av. D. Rodrigo da Cunha, 11 3=BA D
1700 Lisbon
Portugal
tel. & Fax.: (351) (1) 8483046
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X-Comment:  Educacao em Matematica




Vou dividir este meu comentario em duas partes. Na parte UM abordo a
questao do que deve ser o centro do debate para melhorar o ensino da
Matematica. Na parte DOIS darei uma opiniao sobre os grandes objectivos do
ensino desta disciplina.

PONTO UM.

Diz o Eduardo Veloso no fim da da sua prosa de 18 Jun 95, texto alias muito
interessante:

"Sem nos entendermos e sobretudo esclarecermos as varias opcoes sobre o que
se pretende com o ensino da matematica no ensino nao superior, julgo que as
restantes questoes -- que conteudos e que metodologias -- nao poderao
avancar muito mais. Por isso parece-me que nao devemos escamotear essa
questao mas sim coloca-la no centro das discussoes a fazer nos proximos
anos"

A quest=E3o do para que^ ensinar Matematica esta' sempre presente, explicita
ou implicitamente, em todas as discussoes sobre o ensino da Matematica. O
proprio Sebastiao e Silva, por exemplo, era muito claro nos seus escritos
acerca das suas preocupacoes com a prepararacao dos alunos para o ensino
superior... Neste ponto parece-me que todos estaremos de acordo.

Agora o Eduardo Veloso propoe que esta questao seja colocada como tema
central a debater. Argumenta que so uma resposta clara e inequivoca
permitira a construcao de um curriculo, nomeadamente a nivel do ensino
secundario (sera que o problema nao se poe para os outros niveis de
ensino?). Sou de opiniao que a questao do "para que^" e' daquelas que tem
de estar sempre a ser discutida e rediscutida. Trata-se de uma actividade
sempre saudavel e revigorante. Penso, no entanto, que sera uma discussao
sempre inacabada e nao estou mauito optimista quanto a possibilidade de
obtermos grandes consenso.

Alem disso nao me parece que a chave para o progresso do ensino da
Matematica esteja num prolongado debate mais ou menos teorico sobre os
respectivos objectivos. Isso por tres grandes razoes:

(a) A batalha das metodologias esta longe de ter chegado ao fim. Enquanto
que a matematica moderna (mais a mal do que a bem) ganhou a batalha dos
conteudos, introduzindo toda uma serie de temas novos, no que respeita a
renovacao metodologica estamos ainda no principio - em grande medida porque
comecamos muito mal, julgando que a questao se resolvia com slogans do tipo
"a resolucao de problemas no eixo de curriculo" e "ensino centrado no
aluno", etc.

(b) A questao dos objectivos remete em ultima analise para a visao do papel
da escola, dos objectivos mais gerais da educacao, e para toda a
organizacao curricular. Ou seja, estravasamos muito da didactica para
entrar em materia de teoria e politica educativa. Ou seja, entramos em
seara alheia. E' evidente que toda a abordagem didactica nao vive fechada
sobre si mesma e assenta em pressupostos teoricos e ideologicos varios-mas
quando saimos da didactica devemos ter consciencia que mudamos de estatuto:
deixamos de ser especialistas e passamos a ser no maximo "cidadaos
informados"

(c) E final e principalmente porque objectivos, conteudos e metodologias so
fazem sentido se equacionados em conjunto (e apoiados num sistema coerente
de avaliacao). Nao serve de nada passar longas horas (ou dias ou anos) a
tentar estabelecer grandes acordos em termos de objectivos se depois nao se
sabe se sao concretizaveis - ou se a sua concretizacao caminhar nas
direcoes mais desencontradas...

Na minha opiniao o nosso grande problema situa-se no campo dos professores
e da sua cultura profissional-marcada pelo emprego paralelo, pelo
individualismo, pela reduzida criatividade curricular, pela oposicao
passiva ou declarada a inovacao. Se esta cultura nao mudar, tornando-se
numa cultura de verdadeiro profissionalismo, nao teremos nenhum progresso
significativo. Nao ganharemos nem a guerra das metodologias nem a dos
objectivos e os alunos nao ganharao a guerra dos conteudos (ou seja, da
aprendizagem, atitudes e valores).

Portugal tera estado a par do resto do mundo nos anos 30, mas perdemos
muito terreno nos anos 50 (resultado da politica isolacionista da epoca).
Tentamos recuperar nos anos 60 mas o Sebastiao e Silva foi um one-man-show
que fez um vistaco para consumo interno e externo mas foi muito mal
assimiliado pelo sistema. Ficamos a marcar passo e so no fim dos anos 80
comecamos a recuperar. Estamos muito atrazados em quase tudo.

Se descontarmos um ou outro aspecto de pormenor, os programas em vigor sao
muito avancados em relacao a realidade de pratica pedagogica e o grande
desafio e' fazer todo o sistema aprender a concretiza-los. A simples ideia
de incluir as atitudes e valores nos conteudos dos programas e' algo que
ainda nao passou 'a pratica e que em boa verdade ninguem sabe muito bem
como fazer, para nao falar dos famosos metodos alternativos de avaliacao...

A minha proposta e portanto a de fazer a proxima decada a decada dos
professores:

--valorizar a criatividade curricular, em termos de propostas e em termos
da sua concretizacao
--valorizar a capacidade de identificar, propor e avaliar solucoes para
problemas educativos concretos
--valorizar a criacao de um clima de profissionalismo e cooperacao nas escol=
as

Isso tera de passar naturalmente por uma outra politica educativa e um
muito maior investimento de recursos na educacao. E impossivel nas
circunstancias actuais. Mas a sociedade, mais cedo ou mais tarde ha-de
descobrir que caminha para o suicidio colectivo se nao encarar a escola de
modo radicalmente diferente.

PONTO DOIS

No mesmo texto, o Eduardo Veloso avanca igualmente com o seu grande
objectivo preferido para o ensino da Matematica:

"O caracter eminentemente utilitario -- e nao cultural -- da educacao
matematica permanece intacto"

Mas o que e' um caracter "imientemente cultural" para a educacao
matematica? E' deixar de ensinar Matematica para ensinar historia da
Matematica? E=B4passar a fazer sobretudo critica social como sugerem o Phili=
p
Davis e outros? Nao sera esta mais uma das tais frases soantes que afinal
nao dizem muito?...

Nao me parece que, no ensino secundario (10-11-12), a Matematica tenha de
significar o mesmo para todos os alunos. Penso que pode representar
prioridades muito diferenciadas. E penso tambem que dificilmente
resolveremos o problema so' com um objectivo. Retomando o "Reshaping the
secondary school mathematics curriculum" (p. 7) proponho varios objectivos,
admitindo que o seu peso possa variar consante os interesses e capacidades
dos alunos:

--um objectivo pr=E1tico: ajudar as pessoas a serem capazes de usar conceito=
s
e metodos matematicos para formular e resolver os problemas da sua vida de
todos os dias, ou seja, adquirirem uma competencia matematica minima;
--um objectivo civico: permitir aos cidadaos participar inteligentemente
nos assuntos publicos (Veja-se a discussao acerca do famoso estudo do
Ministerio das Financas sobre as propostas do PS)
--um objectivo profissional: preparar os alunos para empregos, vocacoes ou
profissoes
--um objectivo cultural: dar a conhecer um elemento fundamental da cultura
humana

Joao Pedro da Ponte

***************************************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
tel. home 3630861
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Vou dividir este meu comentario em duas partes. Na parte UM abordo a
questao do que deve ser o centro do debate para melhorar o ensino da
Matematica. Na parte DOIS darei uma opiniao sobre os grandes objectivos do
ensino desta disciplina.

PONTO UM.

Diz o Eduardo Veloso no fim da da sua prosa de 18 Jun 95, texto alias muito
interessante:

"Sem nos entendermos e sobretudo esclarecermos as varias opcoes sobre o que
se pretende com o ensino da matematica no ensino nao superior, julgo que as
restantes questoes -- que conteudos e que metodologias -- nao poderao
avancar muito mais. Por isso parece-me que nao devemos escamotear essa
questao mas sim coloca-la no centro das discussoes a fazer nos proximos
anos"

A quest=E3o do para que^ ensinar Matematica esta' sempre presente, explicita
ou implicitamente, em todas as discussoes sobre o ensino da Matematica. O
proprio Sebastiao e Silva, por exemplo, era muito claro nos seus escritos
acerca das suas preocupacoes com a prepararacao dos alunos para o ensino
superior... Neste ponto parece-me que todos estaremos de acordo.

Agora o Eduardo Veloso propoe que esta questao seja colocada como tema
central a debater. Argumenta que so uma resposta clara e inequivoca
permitira a construcao de um curriculo, nomeadamente a nivel do ensino
secundario (sera que o problema nao se poe para os outros niveis de
ensino?). Sou de opiniao que a questao do "para que^" e' daquelas que tem
de estar sempre a ser discutida e rediscutida. Trata-se de uma actividade
sempre saudavel e revigorante. Penso, no entanto, que sera uma discussao
sempre inacabada e nao estou mauito optimista quanto a possibilidade de
obtermos grandes consenso.

Alem disso nao me parece que a chave para o progresso do ensino da
Matematica esteja num prolongado debate mais ou menos teorico sobre os
respectivos objectivos. Isso por tres grandes razoes:

(a) A batalha das metodologias esta longe de ter chegado ao fim. Enquanto
que a matematica moderna (mais a mal do que a bem) ganhou a batalha dos
conteudos, introduzindo toda uma serie de temas novos, no que respeita a
renovacao metodologica estamos ainda no principio - em grande medida porque
comecamos muito mal, julgando que a questao se resolvia com slogans do tipo
"a resolucao de problemas no eixo de curriculo" e "ensino centrado no
aluno", etc.

(b) A questao dos objectivos remete em ultima analise para a visao do papel
da escola, dos objectivos mais gerais da educacao, e para toda a
organizacao curricular. Ou seja, estravasamos muito da didactica para
entrar em materia de teoria e politica educativa. Ou seja, entramos em
seara alheia. E' evidente que toda a abordagem didactica nao vive fechada
sobre si mesma e assenta em pressupostos teoricos e ideologicos varios-mas
quando saimos da didactica devemos ter consciencia que mudamos de estatuto:
deixamos de ser especialistas e passamos a ser no maximo "cidadaos
informados"

(c) E final e principalmente porque objectivos, conteudos e metodologias so
fazem sentido se equacionados em conjunto (e apoiados num sistema coerente
de avaliacao). Nao serve de nada passar longas horas (ou dias ou anos) a
tentar estabelecer grandes acordos em termos de objectivos se depois nao se
sabe se sao concretizaveis - ou se a sua concretizacao caminhar nas
direcoes mais desencontradas...

Na minha opiniao o nosso grande problema situa-se no campo dos professores
e da sua cultura profissional-marcada pelo emprego paralelo, pelo
individualismo, pela reduzida criatividade curricular, pela oposicao
passiva ou declarada a inovacao. Se esta cultura nao mudar, tornando-se
numa cultura de verdadeiro profissionalismo, nao teremos nenhum progresso
significativo. Nao ganharemos nem a guerra das metodologias nem a dos
objectivos e os alunos nao ganharao a guerra dos conteudos (ou seja, da
aprendizagem, atitudes e valores).

Portugal tera estado a par do resto do mundo nos anos 30, mas perdemos
muito terreno nos anos 50 (resultado da politica isolacionista da epoca).
Tentamos recuperar nos anos 60 mas o Sebastiao e Silva foi um one-man-show
que fez um vistaco para consumo interno e externo mas foi muito mal
assimiliado pelo sistema. Ficamos a marcar passo e so no fim dos anos 80
comecamos a recuperar. Estamos muito atrazados em quase tudo.

Se descontarmos um ou outro aspecto de pormenor, os programas em vigor sao
muito avancados em relacao a realidade de pratica pedagogica e o grande
desafio e' fazer todo o sistema aprender a concretiza-los. A simples ideia
de incluir as atitudes e valores nos conteudos dos programas e' algo que
ainda nao passou 'a pratica e que em boa verdade ninguem sabe muito bem
como fazer, para nao falar dos famosos metodos alternativos de avaliacao...

A minha proposta e portanto a de fazer a proxima decada a decada dos
professores:

--valorizar a criatividade curricular, em termos de propostas e em termos
da sua concretizacao
--valorizar a capacidade de identificar, propor e avaliar solucoes para
problemas educativos concretos
--valorizar a criacao de um clima de profissionalismo e cooperacao nas escol=
as

Isso tera de passar naturalmente por uma outra politica educativa e um
muito maior investimento de recursos na educacao. E impossivel nas
circunstancias actuais. Mas a sociedade, mais cedo ou mais tarde ha-de
descobrir que caminha para o suicidio colectivo se nao encarar a escola de
modo radicalmente diferente.

PONTO DOIS

No mesmo texto, o Eduardo Veloso avanca igualmente com o seu grande
objectivo preferido para o ensino da Matematica:

"O caracter eminentemente utilitario -- e nao cultural -- da educacao
matematica permanece intacto"

Mas o que e' um caracter "imientemente cultural" para a educacao
matematica? E' deixar de ensinar Matematica para ensinar historia da
Matematica? E=B4passar a fazer sobretudo critica social como sugerem o Phili=
p
Davis e outros? Nao sera esta mais uma das tais frases soantes que afinal
nao dizem muito?...

Nao me parece que, no ensino secundario (10-11-12), a Matematica tenha de
significar o mesmo para todos os alunos. Penso que pode representar
prioridades muito diferenciadas. E penso tambem que dificilmente
resolveremos o problema so' com um objectivo. Retomando o "Reshaping the
secondary school mathematics curriculum" (p. 7) proponho varios objectivos,
admitindo que o seu peso possa variar consante os interesses e capacidades
dos alunos:

--um objectivo pr=E1tico: ajudar as pessoas a serem capazes de usar conceito=
s
e metodos matematicos para formular e resolver os problemas da sua vida de
todos os dias, ou seja, adquirirem uma competencia matematica minima;
--um objectivo civico: permitir aos cidadaos participar inteligentemente
nos assuntos publicos (Veja-se a discussao acerca do famoso estudo do
Ministerio das Financas sobre as propostas do PS)
--um objectivo profissional: preparar os alunos para empregos, vocacoes ou
profissoes
--um objectivo cultural: dar a conhecer um elemento fundamental da cultura
humana

Joao Pedro da Ponte

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Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
tel. home 3630861
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X-Comment:  Educacao em Matematica


   Respondendo ao apelo que aqui tem sido feito, junto envio algumas=20
reflexoes. Para este ajustamento ou para a discussao de fundo.
=20



   Ajustamento dos novos programas de Matematica



Coordenacao interdisciplinar


Para alem da Fisica e da Quimica, pergunto-me se seria possivel explorar
a ligacao com as disciplinas de linguas estrangeiras. Um dos problemas
que surgem nas faculdades e' que, quando se da' uma bibliografia que inclui
livros em Ingles ou Frances, uma grande parte dos alunos reclama que nao
consegue ler essas linguas. Se o habito de consultar bibliografia=20
estrangeira viesse do secundario, nao so' seria maior o interesse dos=20
alunos pelas linguas estrangeiras como seria maior a sua autonomia=20
intelectual.



Uso de calculadoras graficas e de computadores


1 - Parece-me adequada a utilizacao e estudo da calculadora no ensino
    secundario por duas ordens de razoes:
    a) a calculadora e' um instrumento usado no dia-a-dia, de modo que nao
       faz sentido ignora-lo no curriculo da matematica;
    b) ha' estudos e experiencias que apontam vantagens pedagogicas na=20
       utilizacao de calculadoras.
=20

2 - Nao creio que a introducao da calculadora cientifica e/ou grafica
    no ensino secundario esteja a ser feita da melhor maneira:

    a) A calculadora cientifica e' um instrumento simultaneamente muito
       potente e muito limitado; muito potente porque pode realizar
       calculos muito rapidamente e com grande precisao; muito limitado
       porque trabalha sempre com um subconjunto dos racionais e porque=20
       as suas operacoes so' aproximadamente verificam as propriedades=20
       dos racionais. Assim, creio que para uma correcta introducao da=20
       calculadora cientifica no secundario haveria que dar os rudimentos
       do calculo numerico aproximado (o primeiro capitulo de qualquer=20
       livro de analise numerica).

    b) A calculadora grafica tem sido apresentada como um objecto onde
       podemos "ver" os graficos das funcoes. Tratar-se-ia entao de=20
       demonstrar (ou dizer que se poderia demonstrar) as propriedades
       "observadas" no visor da calculadora. Isto parece-me errado,
       ainda que possa parecer motivante para os alunos o dizermos que
       estao efectivamente a "ver" o grafico. Um grafico numa calculadora
       (ou mesmo num computador) tem uma quantidade de informa=E7=E3o muito
       limitada (correspondente a uma tabela da funcao, calculada em=20
       algumas dezenas de pontos, com 2 decimais) mas apresentada de uma=20
       forma que podemos captar rapidamente. Sugerir algo mais do que isto=
=20
       pode induzir todo o tipo de utilizacoes erradas das maquinas.=20
=09  Que informa=E7=E3o podemos tirar ent=E3o destes gr=E1ficos? Fazer um=
=20
       gr=E1fico de uma fun=E7=E3o com uma dada resolu=E7=E3o s=F3 nos most=
ra as=20
       propriedades vis=EDveis a essa escala. Tudo o que se passa nas=20
       escalas mais finas ou mais largas fica completamente invis=EDvel no=
=20
       gr=E1fico. =C9 por isso que um dos pontos mais sens=EDveis no uso da=
=20
       calculadora gr=E1fica =E9 a escolha do "range" para o gr=E1fico. Sem=
=20
       qualquer conhecimento pr=E9vio sobre uma fun=E7=E3o nunca poderemos =
saber=20
       se devemos usar um "range" mais largo (podemos estar a ver apenas um=
=20
       pequeno pormenor do gr=E1fico da fun=E7=E3o) ou se devemos fazer um =
"zoom"=20
       (e neste caso onde devemos fazer esse "zoom"?)
          Em contrapartida sugiro que a calculadora grafica surja como uma=
=20
       forma de visualizar rapidamente uma serie de pontos isolados do=20
       grafico de uma funcao. A partir dai pode desenvolver-se um processo=
=20
       dinamico no estudo da funcao em que ha' aspectos analiticos que=20
       sugerem escolhas de "range" para gerar graficos e ha' imagens=20
       que sugerem resultados teoricos.
          A calculadora pode assim ser usada para o estudo de uma fun=E7=E3=
o e=20
       pode revelar-nos muita informa=E7=E3o =FAtil, mas nunca pode substit=
uir=20
       outros estudos (derivadas, limites, majora=E7=F5es e minora=E7=F5es,=
 etc.)=20
       e, sobretudo, nunca pode substituir o espirito critico de quem a=20
       vai usar. Uma fun=E7=E3o que n=E3o esteja j=E1 estudada e classifica=
da=20
       exige sempre uma abordagem sob diversos pontos de vista.
          Uma forma de compreender a calculadora grafica pode ser o estudo
       do processo de criacao de uma imagem. O tema e' suficientemente=20
       elementar para poder ser abordado no ensino secundario e envolve
       simultaneamente questoes numericas e de geometria analitica=20
       (transformacoes de coordenadas em R^2).=20

    c) O estudo breve da calculadora cientifica e/ou grafica que proponho
       teria, a meu ver, dois tipos de vantagens:
       i)  ajudaria a uma muito melhor utilizacao da calculadora pelos
           alunos, quer para a execucao do calculo rotineiro, quer para um=
=20
           uso esclarecido da calculadora como apoio a estudos teoricos=20
           (ex. estudo de uma funcao ou de um limite);
       ii) ajudaria a desmistificar a tecnologia, numa epoca em que a
           opiniao publica encara a informatica como um rito que alguns
           sacerdotes praticam em templos.=20


3 - No dominio da representacao grafica, penso que as calculadoras=20
    graficas nao podem ainda substituir os computadores. Para dar uma ideia=
=20
    do estado primitivo das calculadoras graficas basta compara-las com as=
=20
    resolucoes de diversas geracoes de computadores pessoais, desde 1980=20
    ate' hoje:

  -------------------------------------------------------------------------=
---
    Maquina             Resolucao (pixels)              Capacidades de cor
  -------------------------------------------------------------------------=
---

    ZX-81                 64 * 44     (     2 816 )            2 cores

    TI-81                 96 * 64     (     6 144 )            2 cores
    TI-85                128 * 64     (     8 192 )            2 cores

    ZX-Spectrum          256 * 176    (    45 056 )          2-8 cores
   =20
    PC-Placa CGA         320 * 200    (    64 000 )            4 cores
    PC-Placa CGA         640 * 200    (   128 000 )            2 cores
  =20
    PC-Placa Hercules    720 * 348    (   250 560 )            2 cores

    PC-Placa EGA         640 * 350    (   224 000 )           16 cores
    PC-Placa VGA         640 * 480    (   307 200 )           16 cores

    PC-Placa SuperVGA    800 * 600    (   480 000 )   16 milhoes cores
    PC-Placa SuperVGA   1240 * 1024   ( 1 269 760 )          256 cores

  -------------------------------------------------------------------------=
---

       Por esta tabela vemos que as capacidades graficas das calculadoras=
=20
    estao muito longe das dos computadores. Para quem ja trabalhou com=20
    representacoes graficas em computador, as actuais calculadoras graficas
    parecem muito primitivas (mais de 10 anos de atraso relativamente 'a
    tecnologia dos computadores).
=09Assim, dos dez tipos de actividades matematicas propostas para a=20
    calculadora grafica, os numeros iii), vi) e ix) parecem-me pouco
    razoaveis com o estado actual de desenvolvimento das calculadoras
    graficas, porque os elementos de imagem (pixels) sao muito grandes e=20
    muito poucos. Em qualquer caso haveria que discutir antes com os alunos
    as questoes relativas 'a imagem da calculadora, nomeadamente o caracter
    aproximado e fortemente dependente da escala que se observa.


4 - Embora seja tentador apresentar a calculadora aos alunos (e aos=20
    professores) como a maquina para todos os calculos e que nos da'
    os graficos das funcoes, isso nao leva a uma boa utilizacao da maquina.
    Antes pelo contrario. E tambem nao resistira aos alunos e professores
    com maior espirito critico.=20
       Em contrapartida propomos uma abordagem critica das calculadoras, em=
=20
    todos os seus pontos fortes e fracos. Desta forma sera' possivel criar=
=20
    bons habitos para o relacionamento e trabalho com as calculadoras e=20
    tambem com instrumentos tecnologicos em geral.
       Quanto 'a Matematica, o seu valor sai realcado desta ligacao a
    tecnologia e desta clarificacao de possibilidades e limites, sendo de
    notar que, nos nossos dias, uma parte importante da investigacao em
    Matematica em diversas areas se faz em torno da utilizacao dos=20
    computadores (ciencia da computacao, logica, analise numerica,=20
    matematica discreta, investigacao operacional, sistemas dinamicos, etc.=
)=20


                                        Carlos Albuquerque




  ----------------------------------
    Carlos Albuquerque
    CMAF - Univ. Lisboa
    Av. Prof. Gama Pinto, 2
    1699 Lisboa Codex

    Tel. 7950790   Fax. 7954288
    e-mail: albuquer@lmc.fc.ul.pt
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X-Comment:  Educacao em Matematica

   Como puderam notar a mensagem anterior tinha uma serie
de problemas com origem na conversao de ficheiros. Com as minhas=20
desculpas junto envio uma versao corrigida.



   Respondendo ao apelo que aqui tem sido feito, junto envio algumas=20
reflexoes. Para este ajustamento ou para a discussao de fundo.
=20



   Ajustamento dos novos programas de Matematica



Coordenacao interdisciplinar


Para alem da Fisica e da Quimica, pergunto-me se seria possivel explorar
a ligacao com as disciplinas de linguas estrangeiras. Um dos problemas
que surgem nas faculdades e' que, quando se da' uma bibliografia que inclui
livros em Ingles ou Frances, uma grande parte dos alunos reclama que nao
consegue ler essas linguas. Se o habito de consultar bibliografia=20
estrangeira viesse do secundario, nao so' seria maior o interesse dos=20
alunos pelas linguas estrangeiras como seria maior a sua autonomia=20
intelectual.



Uso de calculadoras graficas e de computadores


1 - Parece-me adequada a utilizacao e estudo da calculadora no ensino
    secundario por duas ordens de razoes:
    a) a calculadora e' um instrumento usado no dia-a-dia, de modo que nao
       faz sentido ignora-lo no curriculo da matematica;
    b) ha' estudos e experiencias que apontam vantagens pedagogicas na=20
       utilizacao de calculadoras.
=20

2 - Nao creio que a introducao da calculadora cientifica e/ou grafica
    no ensino secundario esteja a ser feita da melhor maneira:

    a) A calculadora cientifica e' um instrumento simultaneamente muito
       potente e muito limitado; muito potente porque pode realizar
       calculos muito rapidamente e com grande precisao; muito limitado
       porque trabalha sempre com um subconjunto dos racionais e porque=20
       as suas operacoes so' aproximadamente verificam as propriedades=20
       dos racionais. Assim, creio que para uma correcta introducao da=20
       calculadora cientifica no secundario haveria que dar os rudimentos
       do calculo numerico aproximado (o primeiro capitulo de qualquer=20
       livro de analise numerica).

    b) A calculadora grafica tem sido apresentada como um objecto onde
       podemos "ver" os graficos das funcoes. Tratar-se-ia entao de=20
       demonstrar (ou dizer que se poderia demonstrar) as propriedades
       "observadas" no visor da calculadora. Isto parece-me errado,
       ainda que possa parecer motivante para os alunos o dizermos que
       estao efectivamente a "ver" o grafico. Um grafico numa calculadora
       (ou mesmo num computador) tem uma quantidade de informa=E7=E3o muito
       limitada (correspondente a uma tabela da funcao, calculada em=20
       algumas dezenas de pontos, com 2 decimais) mas apresentada de uma=20
       forma que podemos captar rapidamente. Sugerir algo mais do que isto=
=20
       pode induzir todo o tipo de utilizacoes erradas das maquinas.=20
=09  Que informacao podemos tirar entao destes graficos? Fazer um=20
       grafico de uma funcao com uma dada resoluao so nos mostra as=20
       propriedades visiveis a essa escala. Tudo o que se passa nas=20
       escalas mais finas ou mais largas fica completamente invisivel no=20
       grafico. E' por isso que um dos pontos mais sensiveis no uso da=20
       calculadora grafica e a escolha do "range" para o grafico. Sem=20
       qualquer conhecimento previo sobre uma funcao nunca poderemos saber=
=20
       se devemos usar um "range" mais largo (podemos estar a ver apenas um=
=20
       pequeno pormenor do grafico da funcao) ou se devemos fazer um "zoom"=
=20
       (e neste caso onde devemos fazer esse "zoom"?)
          Em contrapartida sugiro que a calculadora grafica surja como uma=
=20
       forma de visualizar rapidamente uma serie de pontos isolados do=20
       grafico de uma funcao. A partir dai pode desenvolver-se um processo=
=20
       dinamico no estudo da funcao em que ha' aspectos analiticos que=20
       sugerem escolhas de "range" para gerar graficos e ha' imagens=20
       que sugerem resultados teoricos.
          A calculadora pode assim ser usada para o estudo de uma funcao e=
=20
       pode revelar-nos muita informacao util, mas nunca pode substituir=20
       outros estudos (derivadas, limites, majoracoes e minoracoes, etc.)=
=20
       e, sobretudo, nunca pode substituir o espirito critico de quem a=20
       vai usar. Uma funcao que nao esteja ja' estudada e classificada=20
       exige sempre uma abordagem sob diversos pontos de vista.
          Uma forma de compreender a calculadora grafica pode ser o estudo
       do processo de criacao de uma imagem. O tema e' suficientemente=20
       elementar para poder ser abordado no ensino secundario e envolve
       simultaneamente questoes numericas e de geometria analitica=20
       (transformacoes de coordenadas em R^2).=20

    c) O estudo breve da calculadora cientifica e/ou grafica que proponho
       teria, a meu ver, dois tipos de vantagens:
       i)  ajudaria a uma muito melhor utilizacao da calculadora pelos
           alunos, quer para a execucao do calculo rotineiro, quer para um=
=20
           uso esclarecido da calculadora como apoio a estudos teoricos=20
           (ex. estudo de uma funcao ou de um limite);
       ii) ajudaria a desmistificar a tecnologia, numa epoca em que a
           opiniao publica encara a informatica como um rito que alguns
           sacerdotes praticam em templos.=20


3 - No dominio da representacao grafica, penso que as calculadoras=20
    graficas nao podem ainda substituir os computadores. Para dar uma ideia=
=20
    do estado primitivo das calculadoras graficas basta compara-las com as=
=20
    resolucoes de diversas geracoes de computadores pessoais, desde 1980=20
    ate' hoje:

  -------------------------------------------------------------------------=
---
    Maquina             Resolucao (pixels)              Capacidades de cor
  -------------------------------------------------------------------------=
---

    ZX-81                 64 * 44     (     2 816 )            2 cores

    TI-81                 96 * 64     (     6 144 )            2 cores
    TI-85                128 * 64     (     8 192 )            2 cores

    ZX-Spectrum          256 * 176    (    45 056 )          2-8 cores
   =20
    PC-Placa CGA         320 * 200    (    64 000 )            4 cores
    PC-Placa CGA         640 * 200    (   128 000 )            2 cores
  =20
    PC-Placa Hercules    720 * 348    (   250 560 )            2 cores

    PC-Placa EGA         640 * 350    (   224 000 )           16 cores
    PC-Placa VGA         640 * 480    (   307 200 )           16 cores

    PC-Placa SuperVGA    800 * 600    (   480 000 )   16 milhoes cores
    PC-Placa SuperVGA   1240 * 1024   ( 1 269 760 )          256 cores

  -------------------------------------------------------------------------=
---

       Por esta tabela vemos que as capacidades graficas das calculadoras=
=20
    estao muito longe das dos computadores. Para quem ja trabalhou com=20
    representacoes graficas em computador, as actuais calculadoras graficas
    parecem muito primitivas (mais de 10 anos de atraso relativamente 'a
    tecnologia dos computadores).
=09Assim, dos dez tipos de actividades matematicas propostas para a=20
    calculadora grafica, os numeros iii), vi) e ix) parecem-me pouco
    razoaveis com o estado actual de desenvolvimento das calculadoras
    graficas, porque os elementos de imagem (pixels) sao muito grandes e=20
    muito poucos. Em qualquer caso haveria que discutir antes com os alunos
    as questoes relativas 'a imagem da calculadora, nomeadamente o caracter
    aproximado e fortemente dependente da escala que se observa.


4 - Embora seja tentador apresentar a calculadora aos alunos (e aos=20
    professores) como a maquina para todos os calculos e que nos da'
    os graficos das funcoes, isso nao leva a uma boa utilizacao da maquina.
    Antes pelo contrario. E tambem nao resistira aos alunos e professores
    com maior espirito critico.=20
       Em contrapartida propomos uma abordagem critica das calculadoras, em=
=20
    todos os seus pontos fortes e fracos. Desta forma sera possivel criar=
=20
    bons habitos para o relacionamento e trabalho com as calculadoras e=20
    tambem com instrumentos tecnologicos em geral.
       Quanto 'a Matematica, o seu valor sai realcado desta ligacao a
    tecnologia e desta clarificacao de possibilidades e limites, sendo de
    notar que, nos nossos dias, uma parte importante da investigacao em
    Matematica em diversas areas se faz em torno da utilizacao dos=20
    computadores (ciencia da computacao, logica, analise numerica,=20
    matematica discreta, investigacao operacional, sistemas dinamicos, etc.=
)=20


                                        Carlos Albuquerque




  ----------------------------------
    Carlos Albuquerque
    CMAF - Univ. Lisboa
    Av. Prof. Gama Pinto, 2
    1699 Lisboa Codex

    Tel. 7950790   Fax. 7954288
    e-mail: albuquer@lmc.fc.ul.pt
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X-Comment:  Educacao em Matematica

As 7:26 PM 6/14/95, Jaime Carvalho e Silva escreveu:

 * Eduarda Moura dixit algures no ciberspaco:

 * Formacao de professores, sim, claro, obviamente, forcosamente.
 * Mas as instituicoes de Ensino Superior tambem devem tomar inciativas ness=
e
 * sentido, nao acham?
 *
 * Jaime
 *
 Que iniciativas? Ensinar mais Matem=E1tica com os metodos de ensino que t=
=EAm
=20sido aplicados at=E9 agora no ensino superior? N=E3o obrigado! N=E3o tem =
dado
=20resultado... A maioria dos professores do secund=E1rio que saiem das
=20licenciaturas dos departamentos de matematica n=E3o sabem basicamente nad=
a
=20sobre resolu=E7=E3o de problemas, por exemplo... Mas sabem o que =E9 um e=
spa=E7o
=20de Hilbert... quer dizer "deram" espacos de Hilbert...=E9 natural, portan=
to,
=20que n=E3o se sintam =E0 vontade para ensinar os novos programas.
Concordo que os professores se actualizem nas novas =E1reas da matematica,
mas o que necessitam agora =E9 de captar o esp=EDrito que est=E1 subjacente =
aos
novos programas e para isso podem aprender com os colegas que se empenharam
em ensinar da nova forma.

                                        Eduarda Moura


 ------------------------------------------------
| Antonio Machiavelo                             |
| Grupo de Matematica Pura                       |
| Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto |
| Pr. Gomes Teixeira                             |
| 4050 Porto, PORTUGAL                           |
|                                                |
| e-mail: ajmachia@fc.up.pt                      |
 ------------------------------------------------

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X-Comment:  Educacao em Matematica


O subgrupo encarregado de elaborar o parecer sobre as habilitacoes para a
docencia da disciplina de Matematica
nos Ensinos Basico e Secundario elaborou a versao final do documento que
lhe foi pedido. Esse documento e' agora divulgado neste forum.

As tabelas incluidas no parecer nao ficaram muito bem quando traduzidas
para texto corrido. Por isso poderei enviar por email (em "attachment") o
documento original (em Word/macintosh) a quem mo solicitar directamente
(jaimecs@mat.uc.pt). O mesmo documento esta' disponivel no endereco WWW
seguinte:

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/index.html

Jaime Carvalho e Silva

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X-Comment:  Educacao em Matematica

na arte, na tecnica, na vida.
(...)
Capacidades/Aptidoes
-Desenvolver a capacidade de resolver problemas.
-Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos,
esbocos, factos conhecidos, propriedades relacoes.
-Tirar conclusoes a partir de graficos, figuras e esquemas, para resolver
problemas ou para desenvolver conceitos.
-Discutir e utilizar raciocinios dedutivos e indutivos
-Ler e interpretar textos de Matematica.
-Transcrever mensagens matematicas da linguagem corrente para a linguagem
simbolica (graficos, diagramas, formulas, tabelas,...) e vice-versa.
-Matematizar situacoes da vida real e reconhecer que fenomenos
aparentemente dispares podem ser interpretados pelo mesmo modelo.
-Relacionar etapas da historia da Matematica com a evolucao da humanidade.
-Utilizar correctamente instrumentos de medicao e de desenho.
-Utilizar adequadamente a calculadora, e sempre que possivel meios
informaticos tirando partido das suas potencialidades.
(...)
Conhecimentos
-Representar numeros reais sob diversas formas e utiliza-los para
interpretar situacoes da vida corrente.
-Dominar o calculo com numeros racionais, por escrito, mentalmente ou
usando calculadora, conforme seja mais conveniente.
-Utilizar, de acordo com a situacao, valores exactos ou aproximados,
escolhendo a aproximacao adequada.
-Utilizar o conceito de funcao para descrever e estudar fenomenos do
quotidiano, da matematica e de outras ciencias.
-Interpretar criticamente estatisticas correntes que aparecem no dia-a-dia
do cidadao comum.
-Realizar construcoes geometricas usando instrumentos adequados.
(...)

Por um lado estes programas tiveram uma grande aceitacao, nao se prevendo
que programas futuros sejam menos exigentes em termos de conhecimentos e
capacidades.
Por outro lado a formacao inicial devera ser suficientemente abrangente e
equilibrada de modo a permitir ao futruro professor a necessaria visao
critica sobre o programa que devera leccionar.
=46inalmente a formacao inicial para um programa com esta orientacao devera
incidir tanto em aspectos cientificos como didacticos.
Poderemos assim enunciar os requisitos minimos da formacao inicial:

Conhecimentos estritamente cientificos
Base: cada disciplina semestral tera 3 unidades de credito (45 horas
teoricas ou 30 horas teoricas e 30 horas praticas, ou 15 horas teoricas e
60 horas praticas, ou 90 horas praticas )

Area cientifica Temas envolvidos        Unidades de credito
Analise Analise de uma variavel, elementos de varias variaveis e variavel
complexa        9
Algebra Algebra Linear e abstracta      6
Geometria       Geometria euclidiana, nao euclidiana, afim e projectiva 12
Probabilidades e Estatistica            6
Analise Numerica                3
Matematica Finita       problemas de contagem, grafos   3
Algoritmos e computacao Metodos de programacao e teoria dos algoritmos  3
Logica e teoria de conjuntos            3
Teoria de numeros       Construcao dos numeros inteiros, racionais, reais. Teoria
dos numeros inteiros.   3
Historia e Filosofia da Matematica      Historia da Algebra, da Analise, da
Geometria, das Probabilidades e Estatistica, etc. O problema da natureza da
matematica e da actividade Matematica   6
=46isica                3
        TOTAL   57

Conhecimentos didacticos
Base: cada disciplina semestral tera 3 unidades de credito (45 horas
teoricas ou 30 horas teoricas e 30 horas praticas, ou 15 horas teoricas e
60 horas praticas, ou 90 horas praticas )

Area cientifica Temas envolvidos        Unidades de credito
Didactica da Algebra e da Analise       Didactica das funcoes, dos metodos
numericos, das estruturas numericas     6
Didactica da Geometria  Didactica da Geometria Elementar        6
Didactica da matematica finita  Didactica da estatistica, probabilidades e
matematica finita propriamente dita     3
Tecnologia no ensino da Matematica      Uso de calculadoras e computadores na
aula de Matematica do 3. ciclo  3
Didactica da resolucao de problemas     a resolucao de problemas de matematica
na sala de aula (pode assumir a forma de um seminario de resolucao de
problemas - neste caso 30 horas valem uma unidade de credito)   3
        TOTAL   21

Nestes quadros nao se pretende que as Areas Cientificas determinem uma
estrutura rigida em termos de disciplinas: tanto podem existir disciplinas
que abranjam mais do que uma Area, como podem existir disciplinas que
incluam uma parte de duas ou mais Areas. Podera por exemplo existir uma
disciplina de "Topicos de Algebra" com 9 U.C. que inclua os temas de
Algebra Linear e Abstracta assim com os de Logica e Teoria de Conjuntos.
Podera tambem existir uma disciplina de Algebra com 7 U.C. que inclua 1
U.C. de Historia da Algebra. Podera ainda existir uma disciplina de
Didactica da Geometria com 7 U.C. que inclua 1 U.C. de Tecnologia no ensino
da Matematica.

O programa do 3. ciclo por Unidades Capitalizaveis-Ensino Recorrente (com
data de 1991) e bastante diferente. Esta estruturado em 13 unidades:
Unidade 1 - O conjunto dos numeros racionais.
Unidade 2 - Polinomios. Equacoes do 1. grau.
Unidade 3 - Aplicacoes. Graficos.
Unidade 4 - Elementos de Geometria.
Unidade 5 - O conjunto dos numeros reais. Enquadramentos. Valores aproximado=
s.
Unidade 6 - Polinomios. Equacoes do 1. grau. Inequacoes do 1. grau.
Unidade 7 - Isometrias
Unidade 8 - Sistemas de duas equacoes do 1. grau com duas incognitas.
Sistemas de duas inequacoes do 1. grau com uma incognita.
Unidade 9 - Elementos de Estatistica
Unidade 10 - O conjunto dos numeros reais. Radicais quadraticos.
Unidade 11 - Semelhancas. Trigonometria.
Unidade 12 - Polinomios. Equacoes do 2. grau. Expressoes com variaveis.
Unidade 13 - Geometria no espaco. Posicoes relativas de rectas e planos.
Areas e volumes de solidos geometricos.

Em face deste panorama podemos afirmar que a formacao desses professores
nao devera ser inferior 'a atras mencionada.

___ensino secundario___

Este perfil de formacao devera incluir:
- a disciplina de Matematica do ensino secundario.
- a disciplina de Metodos Quantitativos do ensino secundario.
- a disciplina de Matematica do Ensino Secundario Recorrente (programa de 19=
94).

Neste nivel de ensino a situacao e mais complexa pois os Novos Programas de
Matematica do Ensino Secundario foram violentamente contestados e
encontra-se em curso uma discussao nacional que levara ao Ajustamento
desses programas. =C9 preciso entao analisar o que se encontra nos actuais
Novos Programas e o que e proposto na actual fase de discussao do
Ajustamento desses Novos Programas.

Nos novos programas de Matematica do ensino secundario verifica-se que
existem os seguintes capitulos na disciplina de Matematica:

10. ano
Nocoes Basicas de Estatistica
O conjunto R. Nocoes de Logica.
Geometria Analitica(introducao ao metodo cartesiano)
=46uncoes(Generalidades, funcao quadratica, funcao modulo)
Geometria Analitica(vectores, paralelismo)

11. ano
Probabilidades
=46uncoes racionais
Trigonometria
Geometria Analitica(produto escalar, perpendicularidade no plano)
Sucessoes
=46uncoes(Limites, derivadas)

12. ano
Combinatoria e Probabilidades
Geometria Analitica(Conicas, rectas e planos no espaco)
=46uncoes(integracao)
=46uncoes trigonometricas
=46uncoes exponencial e logaritmica
Grupos e corpos

Na actual versao da proposta de Ajustamento dos novos programas de
Matematica do ensino secundario verifica-se que existem os seguintes
capitulos na disciplina de Matematica:

10. ano
Tema I          Geometria no Plano
Tema II         Funcoes e Graficos I (Funcoes polinomiais, funcao modulo)
Tema III        Estatistica

11. ano

Tema I          Geometria no espaco
Tema II          Funcoes e Graficos II (Funcoes racionais, irracionais,
exponencial e logaritmica)
Tema III        Sucessoes

12. ano
Tema I          Matematica Finita(Logica, teoria de conjuntos, probabilidades e
combinatoria)
Tema II         Calculo Diferencial
Tema III        Numeros complexos

Os "Objectivos Gerais" da disciplina de Matematica no Ensino Secundario sao
mantidos na actual versao da proposta de Ajustamento pelo que a tarefa fica
facilitada. Ai se indica que se devem desenvolver nos alunos:
Atitudes/Valores
-Apreciar o contributo da Matematica para a compreensao e resolucao de
problema do Homem atraves do tempo.
-Interessar-se por noticias e publicacoes relativas 'a matematica e a
descobertas cientificas e tecnologicas.
(...)
Capacidades/Aptidoes
-Desenvolver a capacidade de utilizar a Matematica na interpretacao e
intervencao no real.
-Analisar situacoes da vida real identificando modelos matematicos que
permitam a sua interpretacao e resolucao.
-Seleccionar estrategias de resolucao de problemas.
-Resolver problemas nos dominios da Matematica, da Fisica, das Ciencias Huma=
nas.
-Fazer raciocinios demonstrativos usando metodos adequados.
-Exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens.
-Compreender a relacao entre o avanco cientifico e o progresso da humanidade=
.
(...)
Conhecimentos
-Aperfeicoar o calculo em R e usar a calculadora tirando partido das suas
potencialidades.
-Aplicar conhecimentos de Analise Infinitesimal no estudo de funcoes de
variavel real.
-Conhecer aspectos da Historia da Matematica.
(...)

Na Orientacao Metodologica dos novos programas do Ensino Secundario,
retomadas pela proposta de Ajustamento, e afirmado que:
"Tendo como pressuposto ser o aluno agente da sua propria aprendizagem,
propoe-se uma metodologia em que:
(a) os conceitos sao construidos a partir da experiencia de cada um e de
situacoes concretas;
(b) os conceitos sao abordados segundo diferentes pontos de vista e
progressivos niveis de rigor e formalizacao;
(c) se estabelece maior ligacao da Matematica com a vida real, com a
tecnologia e com as questoes abordadas noutras disciplinas e que enquadra o
conhecimento numa perspectiva historico-cultural."
E mais adiante:
"A utilizacao obrigatoria da calculadora que, alem de ferramenta, e fonte
de actividade, de investigacao e de aprendizagem, (...) A resolucao de
problemas, meio privilegiado para desenvolver o espirito de pesquisa, deve
contemplar, alem de situacoes do dominio da Matematica, outras, da Fisica,
da Economia, da Geografia,... (...) o aluno sera solicitado frequentemente
a justificar processos de resolucao, a encadear raciocinios, a confirmar
conjecturas, a demonstrar formulas e alguns teore=1Fmas."
A proposta de Ajustamento preconiza o uso regular da calculadora grafica e
recomenda "enfaticamente o uso de computadores nas escolas onde tal
equipamento esteja disponivel, tanto em salas onde os alunos poderao ir
realizar trabalhos praticos, como em salas com condicoes para se dar uma
aula em ambiente computacional, ou ainda para o professor usar como
ferramenta de demonstracao na sala de aula (data-show com retroprojector)"

Por um lado existe uma grande pressao para que a carga horaria da
disciplina de Matematica no Ensino Secundario aumente para 6 horas por
semana (para o Agrupamento Cientifico-Natural). Nao se preve assim que
programas futuros sejam menos exigentes em termos de conhecimentos e
capacidades.
Por outro lado a formacao inicial devera ser suficientemente abrangente e
equilibrada de modo a permitir ao futruro professor a necessaria visao
critica sobre o programa que devera leccionar.
=46inalmente a formacao inicial para um programa com esta orientacao devera
incidir tanto em aspectos cientificos como didacticos.
Poderemos assim enunciar os requisitos minimos da formacao inicial:


Conhecimentos estritamente cientificos
Base: cada disciplina semestral tera 3 unidades de credito (45 horas
teoricas ou 30 horas teoricas e 30 horas praticas, ou 15 horas teoricas e
60 horas praticas, ou 90 horas praticas )

Area cientifica Temas envolvidos        Unidades de credito
Analise Analise de uma variavel, de varias variaveis e da variavel
complexa. Equacoes Diferenciais Ordinarias.     15
Algebra Algebra Linear e abstracta      12
Geometria       Geometria euclidiana, nao euclidiana, afim, projectiva e
diferencial.    12
Probabilidades e Estatistica            6
Analise Numerica                6
Matematica Finita       analise combinatoria, grafos    3
Algoritmos e computacao Metodos de programacao e teoria dos algoritmos  3
Logica e teoria de conjuntos            3
Teoria de numeros       Construcao dos numeros inteiros, racionais, reais. Teoria
dos numeros inteiros.   3
Historia e Filosofia da Matematica      Historia da Algebra, da Analise, da
Geometria, das Probabilidades e Estatistica, etc. O problema da natureza da
matematica e da actividade Matematica   6
Geometria Descritiva            3
=46isica                6
        TOTAL   78

Conhecimentos didacticos
Base: cada disciplina semestral tera 3 unidades de credito (45 horas
teoricas ou 30 horas teoricas e 30 horas praticas, ou 15 horas teoricas e
60 horas praticas, ou 90 horas praticas )

Area cientifica Temas envolvidos        Unidades de credito
Didactica da Algebra e da Analise       Didactica das funcoes, do calculo
diferencial, dos metodos numericos, das estruturas numericas    6
Didactica da Geometria  Didactica da Geometria Elementar        6
Didactica da matematica finita  Didactica da estatistica, probabilidades e
matematica finita propriamente dita     3
Tecnologia no ensino da Matematica      Uso de calculadoras e computadores na
aula de Matematica do ensino secundario 3
Didactica da resolucao de problemas     a resolucao de problemas de matematica
na sala de aula (pode assumir a forma de um seminario de resolucao de
problemas - neste caso 30 horas valem uma unidade de credito)   3
        TOTAL   21

Nestes quadros nao se pretende que as Areas Cientificas determinem uma
estrutura rigida em termos de disciplinas: tanto podem existir disciplinas
que abranjam mais do que uma Area, como podem existir disciplinas que
incluam uma parte de duas ou mais Areas. Podera por exemplo existir uma
disciplina ou grupo de disciplinas de "Topicos de Algebra" com 15 U.C. que
inclua os temas de Algebra Linear e Abstracta assim com os de Logica e
Teoria de Conjuntos. Podera tambem existir uma disciplina ou grupo de
disciplinas de Algebra com 13 U.C. que inclua 1 U.C. de Historia da
Algebra. Podera ainda existir uma disciplina de Didactica da Geometria com
7 U.C. que inclua 1 U.C. de Tecnologia no ensino da Matematica.

O programa da disciplina de Metodos Quantitativos inclui os seguintes capitu=
los:
Nocoes basicas de Estatistica
Nocoes basicas de logica
Evolucao do conceito de numero
Probabilidades
=46uncoes

Esta disciplina tem sido bastante contestada pela sua exiguidade (3 horas
por semana apenas durante um dos tres anos do Ensino Secundario) e
inadequacao ao tipo de alunos a que se destina, com o inexplicavel
"esquecimento" da Geometria. A proposta de Ajustamento avanca que seja
transformada numa disciplina de 2 horas por semana durante os tres anos do
Ensino Secundario. A variedade de conteudos sera certamente reforcada numa
eventualidade destas pelo que podemos concluir que nao poderia ser
leccionada com uma pessoa de formacao inferior ao que e preconizado para a
disciplina de Matematica do Ensino Secundario.

O programa da disciplina de Matematica do Ensino Secundario Recorrente (com
data de 1994) nao e muito diferente da disciplina de Matematica normal.
Esta estruturado em 3 temas e em 13 unidades:
Tema A - Funcoes, Analise Infinitesimal, Trigonometria e Metodos Algebricos.
Unidade A1 - Os numeros reais.
Unidade A2 - Funcoes 1 (afim e quadratica).
Unidade A3 - Funcoes 2 (polinomiais, racionais e irracionais).
Unidade A4 - Sucessoes.
Unidade A5 - Trigonometria e Funcoes trigonometricas.
Unidade A6 - Funcoes 3 (limites, continuidade, derivadas).
Unidade A7 - Funcoes 4 (exponencial e logaritmica).
Unidade A8 - Funcoes 5 (trigonometricas).
Unidade A9 - Calculo integral.

Tema B - Estatistica, Probabilidades e Calculo Combinatorio.
Unidade B1 - Estatistica.
Unidade B2 - Probabilidades.

Tema C - Geometria Analitica.
Unidade C1 - Geometria Analitica 1 (geometria no plano, vectores)
Unidade C2 - Geometria Analitica 2 (Conicas).

Os objectivos gerais e as indicacoes metodologicas sao semelhantes 'as
preconizadas para a disciplina de Matematica.
Em face deste panorama podemos afirmar que a formacao desses professores
nao devera ser inferior 'a atras mencionada.



Coimbra, 27 de Junho de 1995

O Subgrupo de Trabalho

Jaime Carvalho e Silva, Dep. de Matematica da Universidade de Coimbra
(coordenador)
Maria de Lurdes Serrazina, Escola Superior de Educacao de Lisboa
=46ernando Jacinto Mario Morais, Escola Secundaria Filipa de Vilhena, Porto
Idalia Silva, Departamento do Ensino Basico, Lisboa

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'As 12:50 26/06/1995, Joao Pedro da Ponte disse:

<<Vou dividir este meu comentario em duas partes.
<<Na parte UM abordo a
<<questao do que deve ser o centro do debate para
<<melhorar o ensino da
<<Matematica. Na parte DOIS darei uma opiniao
<<sobre os grandes objectivos do
<<ensino desta disciplina.
<<
Eu fico-me hoje pelo
<<PONTO UM.

<<(c) E final e principalmente porque objectivos,
<<conteudos e metodologias so
<<fazem sentido se equacionados em conjunto (e
<<apoiados num sistema coerente
<<de avaliacao). Nao serve de nada passar longas
<<horas (ou dias ou anos) a
<<tentar estabelecer grandes acordos em termos de
<<objectivos se depois nao se
<<sabe se sao concretizaveis - ou se a sua
<<concretizacao caminhar nas
<<direcoes mais desencontradas...

Estou de acordo com esta ideia. Temos assistido a
grandes incoerencias neste campo: Pessoas ha que
falam de metodologias no ensino da Matematica,
sem falar de matematica. Outras pessoas falam de
objectivos do ensino de matematica sem
esclarecerem qual matematica (?) e sem nos
dizerem nada sobre o m=E9todo (e este =E9 um eixo
fundamental de toda a aprendizagem da vida...).
Outras pessoas nos falam do ensino a matematica
como se tratassemos da matematica enquanto tal,
como coisa em si, sem ligacoes a coisa alguma e
como se a sua aprendizagem pudesse justificar-se
por ela mesma ou pela sua beleza. Mais: algumas
pessoas falam-nos do ensino como uma transmissao
de pensamento, recusam-nos a maquina como nos
recusariam o lapis, ... nao conseguem vislumbrar
que vale a pena escrever, por razoes
metodol=F3gicas f(x)>0 e f(x)>g(x) (como coisas
metodologicamente nao equivalentes), e
chamando-nos ignorantes e partindo do principio
que nao sabemos da equivalencia que supoem  so
existir nas suas brilhantes ( da brilhantina)
cabecas; as mesmas pessoas nao podem aceitar que
se ponham os alunos a pensar e a tirar conclusoes
sobre os graficos.
A vida esta mesmo dificil para todos. Continuo a
pensar que para o ensino da matematica o
essencial sao os conceitos e que sao os
conceitos,na sua genese, desenvolvimento,
aplicacao e historia, as fontes primeiras da
sabedoria metodologica e que e por cada um deles
que podemos perseguir cada um dos objectivos....
A formacao dos professores deve ser sempre
referida, em primeiro lugar, as fontes.  Conhecer
tudo o resto... tem a ver com deter os materiais
mais adequados a cada situacao - para  poder
escolher o meio ou o caminho mais adequado, para
ser livre e preciso dominar o manejo dos
equipamentos, mas tambem o manejo didactico, a
planificacao, as ciencias das relacoes humanas,
as ciencias da comunicacao, as ciencias do
desenvolvimento humano, as ciencias e as
artes....
<<
<<Na minha opiniao o nosso grande problema
<<situa-se no campo dos professores
<<e da sua cultura profissional-marcada pelo
<<emprego paralelo, pelo
<<individualismo, pela reduzida criatividade
<<curricular, pela oposicao
<<passiva ou declarada a inovacao. Se esta
<<cultura nao mudar, tornando-se
<<numa cultura de verdadeiro profissionalismo,
<<nao teremos nenhum progresso
<<significativo. Nao ganharemos nem a guerra das
<<metodologias nem a dos
<<objectivos e os alunos nao ganharao a guerra
<<dos conteudos (ou seja, da
<<aprendizagem, atitudes e valores).
<<
<<Portugal tera estado a par do resto do mundo
<<nos anos 30, mas perdemos
<<muito terreno nos anos 50 (resultado da
<<politica isolacionista da epoca).
<<Tentamos recuperar nos anos 60 mas o Sebastiao
<<e Silva foi um one-man-show
<<que fez um vistaco para consumo interno e
<<externo mas foi muito mal
<<assimiliado pelo sistema. Ficamos a marcar
<<passo e so no fim dos anos 80
<<comecamos a recuperar. Estamos muito atrazados
<<em quase tudo.

Concordo. Mas as vezes parece-me que estamos a
recuperar complicando o que e simples,
separando-nos por coisas e ideias de segunda...
quando, pelo menos em palavras estamos todos de
acordo no essencial - quer no diagnostico da
desgraca, quer na necessidade de encontrar vias
de resolucao. Ha varias vias para a resolucao do
problema do ensino da matematica?  Ha muitas e
nenhuma sera solucao definitiva porque o problema
e ... para toda a eternidade. Vamos ao menos
aproximar-nos do problema e fingir que nos
aproximamos de uma solucao possivel para o
momento que as nossas vidas sao! Discutamos com
forca as diversas vias que, senao realizarmos
grande coisa.... realizamos uma aproximacao entre
as pessoas que querem ajudar a resolver o
problema.
<<
<<Se descontarmos um ou outro aspecto de
<<pormenor, os programas em vigor sao
<<muito avancados em relacao a realidade de
<<pratica pedagogica e o grande
<<desafio e' fazer todo o sistema aprender a
<<concretiza-los. A simples ideia
<<de incluir as atitudes e valores nos conteudos
<<dos programas e' algo que
<<ainda nao passou 'a pratica e que em boa
<<verdade ninguem sabe muito bem
<<como fazer, para nao falar dos famosos metodos
<<alternativos de avaliacao...
<<
<<A minha proposta e portanto a de fazer a
<<proxima decada a decada dos
<<professores:
<<
<<--valorizar a criatividade curricular, em
<<termos de propostas e em termos
<<da sua concretizacao
<<--valorizar a capacidade de identificar, propor
<<e avaliar solucoes para
<<problemas educativos concretos
<<--valorizar a criacao de um clima de
<<profissionalismo e cooperacao nas escol=3D
<<as
<<
Acrescento que os resultados (programas) devem
ser simples e claros. Actualmente, para ver se
chegamos a consensos e acordos (com vista a
satisfazer mesmo que aparentemente e mesmo que em
parte cada uma das opcoes), estamos a escrever
florestas de papel em que cada um se perde e em
que cada um perde a sua liberdade. Deviamos
escrever cada vez menos normas e inventar cada
vez mais exemplos, cada vez mais trocas, cada vez
mais ... Receio que nao consigamos substituir a
nossa tentacao pelas normas legais (completas,
complexas, ...) mais avancadas para fazermos
pouco delas. Preferia pensar que tinhamos poucas
normas e que era a pratica dos professores que
era avancada. Portugal esta a habituar-se a ter
leis muito avancadas para pratica recuadas....
direitos das criancas versus maus tratos e
trabalho infantil.... direitos das mulheres
versus....programas avancados versus pratica
recuadas. Ha sempre dois papeis: o papel pintado
(das leis, dos copistas), o papel que e o papel
que devemos desempenhar...
No dealbar da republica, o movimento pedagogico e
reivindicativo dos professores amoleceu a sombra
das leis avancadas da republica. E hoje? Como
acordar?

Se houvesse ponto dois era so para dizer ao JPP,
que nos enviou documentos sobre a matematica nos
curriculos  nacionais do pa=EDs de gales e da
Inglaterra,
Obrigado.

Temos tambem que ver como foi inserida a
matematica no nosso curriculo nacional. Para
vermos como dar uma volta  com sentido e
consentida socialmente (porque necessaria e
util...)

Arselio.


**********************************
Arselio de Almeida Martins
**********************************
Escola Secundaria de  Jose' Estevao
Avenida 25 de Abril 3810 AVEIRO PT
Ph: 351 34 23813 Fax 351 3423813
**********************************
Urb Chave, Lote 18, 3. Dir.
.3810 AVEIRO PT Ph: 351 34 26439
**********************************

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X-Comment:  Educacao em Matematica

Segunda a Eduarda Moura

 A maioria dos professores do secund=E1rio que saiem das
>licenciaturas dos departamentos de matematica nao sabem basicamente nada
>sobre resolucao de problemas, por exemplo... Mas sabem o que =E9 um e=
>spa=E7o
>=20de Hilbert... quer dizer "deram" espacos de Hilbert...=E9 natural, portan=
>to,
>=20que n=E3o se sintam =E0 vontade para ensinar os novos programas.

Nao so nao sabem nada sobre resolucao de problemas como muitas vezes tem
enormes lacunas relativamente a pontos elementares da matematica, do ambito
dos programas do ensino basico e secundario. Tenho tido alunos no quarto
ano que

--nao sao capazes de descrever verbalmente o comportamento do grafico duma
funcao polinomial de grau tres (e se mete modulos entao e um desatre!)
--me dizem que nunca na vida ouviram falar em transformacoes geometricas
--acham que so podem haver valores aproximados com erro inferior a um
decima, uma milesima,...
-- etc etc

Isto e fruoto de um ensino mal orientado, que previligia os aspectos
tecnicos e nao se preocupa se os alunos adquiriram a comprensao das coisas
essenciais. Infelizmente ha exemplos deste (mau) ensino tanto no superior
como no nao superior.


>Concordo que os professores se actualizem nas novas =E1reas da matematica,
>mas o que necessitam agora e de captar o espirito que esta subjacente aos
>novos programas e para isso podem aprender com os colegas que se
>empenharam
>em ensinar da nova forma.
>

A troca de experiencias (especialmente das "boas" experiencias) e um
mecanismo fundamental de formacao e desenvolvimento profissional. Mas e
tambem preciso que os professores percebam que e altura de arregacar as
mangas e comecar a assumir uma responsabilidade diferente na sua preparacao
cientifica e na preparacao das suas aulas

Se os matematicos quizerem dar contributos positivos, relativamente a novos
temas e formas interessantes de os explorar, penso que terao um papel
importante. Para fazer mais do mesmo que tem feito sempre nao vale a pena
macarem-se.

Joao Pedro.

***************************************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
tel. home 3630861
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X-Comment:  Educacao em Matematica



Esta carta foi recentemente enviada pela SEM-SPCE ao Director do
Departamento do Ensino Secunda'rio



Lisboa, 26 de Junho de 1995


Assunto: Planos de estudo do Ensino Secunda'rio


Exmo Senhor:


        A discussao pubica sobre o ajustamento dos programas de Matema'tica
do Ensino Secunda'rio veio recolocar de novo na ordem do dia o problema da
carga lectiva desta disciplina neste nivel de ensino. Na realidade, a
situac,ao que se vive em Portugal, definida atraves do Decreto-Lei 286/89
de 29 de Agosto que consagra 4 horas lectivas semanais para a Matema'tica
nos 10-, 11-, e 12- anos de escolaridade nao encontra paralelo em nenhum
outro pais da Uniao Europeia e nao pode deixar de trazer graves
inconvenientes para a formac,ao dos alunos destinados a cursos com forte
componente matema'tica como Engenharia, Fisica, Quimica, Biologia, Geologia
e, com maioria de razao, Informa'tica, Estatistica e Matema'tica.
        A situac,ao presente baseia-se, no nosso entender, em dois
pressupostos igualmente incorrectos:

a) A nivel de Ensino Secunda'rio, todos os alunos devem receber a mesma
formac,ao matema'tica (salvargurdando apenas os alunos que frequentam
Metodos Quantitativos);

b) Essa formac,ao matema'tica deve ser nivelada por baixo, nao pelas
necessidades e padroes dos alunos que se destinam a cursos com forte
componente matema'tica, mas pelas dos restantes.

        A continuacao indefinida do sistema actual, mesmo com o ajustamento
dos programas que agora se desenha, nao pode deixar de conduzir a graves
distorcoes, e isso a dois niveis. Por um lado,  levando muitos alunos
(destinados a cursos com forte componente matema'tica) a nao receber a
formac,ao que poderiam a deveriam, posicionando-os da pior forma para o
inicio dos seus cursos superiores. Por outro lado, levando muitos outros
alunos a receber uma formacao desadequada 'as suas capacidades e
interesses, com graves consequencias para as suas possibilidades futuras em
termos de escolhas academicas, e proporcionar-lhes um contacto com a
Matema'tica que dificilmente podera' ter outro resultado senao o de lhes
dar uma visao completamente distorcida desta disciplina e de os fazer
engrossar as fileiras das pessoas com fobia matema'tica.
        No nosso etender, em vez da situacao actual, deveriamos ter uma
variedade de alternativas, conforme os objectivos escolares e os interesses
dos alunos. Enquanto que alguns poderiam ter uma escolaridade maior nesta
disciplina --  6 horas seria provavelmente o adequado - outros teriam uma
escolaridade menor -- 4 horas ou mesmo 2 (ou 3 durante dois anos, o 10- e o
11-).
        Na certeza de que nao existem decretos inaltera'veis, e que nesta
materia se joga tanto a formac,ao e desenvolvimento dos jovens como o
fututo do desenvolvimento cientifico e tecnico do pais, venho alertar V. Ex
para a necessidade imperiosa de proceder com urg=EAncia 'a reformulacao do
referido diploma legal.


O Coordenador da Secc,ao de Educac,ao e Matema'tica da
Sociedade Portuguesa de Ci=EAncias de Educac,ao


Joao Pedro Mendes da Ponte

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Joao Pedro da Ponte
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Universidade de Lisboa

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