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X-Comment:  Educacao em Matematica


A AMS-American Mathematical Society mantem um LISTSERV
(listserv@e-math.ams.org) onde se inclui uma lista (CALC-REFORM) com
discussoes sobre a Reforma do Calculo Diferencial e Integral (e outras
materias do primeiro ano da Universidade) nos Estados Unidos:

           CALC-REFORM : A network to assist in communication between
        friends and active developers of materials and projects aimed
        at reform of curriculum and pedagogy for calculus and
        elementary linear algebra, including differential equations.

Essas discussoes passaram a estar disponiveis em Coimbra num grupo de NEWS
criado especialmente para o efeito, chamado

uc.mat.reforma-calc

Penso que as pessoas de fora da Universidade de Coimbra poderao aceder a
este grupo de NEWS, se indicarem como servidor de news

news.mat.uc.pt

Se nao funcionar, poderao contactar o administrador das news da
Universidade de Coimbra (assistente do Departamento de Matematica), Rui
Salgueiro, em

rps@mat.uc.pt

ou o vosso administrador de NEWS.
Segue um exemplo de uma das mensagens desta lista:


>Date: Wed, 6 Sep 1995 13:24:30 -0400
>Reply-To: calc-reform@e-math.ams.org
>Originator: calc-reform@e-math.ams.org
>Sender: calc-reform@e-math.ams.org
>Precedence: bulk
>From: "David E. Thomas" <thomas@beta.centenary.edu>
>To: Multiple recipients of list <calc-reform@e-math.ams.org>
>Subject: [CALC-REFORM:2751] Re: Re: Goodbye, delta
>X-Comment: From the CALC-REFORM discussion list.
>
>        I have written a program for the TI-82 which allows students to
>choose a value of delta based on a given value of epsilon which works
>much like the technique Fred describes in his post.
>        The horizontal lines L-epsilon (where L is the limit) and
>L+epsilon are drawn on the screen as well as the vertical lines a-delta
>and a+delta (where a is the value x approaches).  As Fred points out
>students must have the curve enter and exit the rectangle from the
>sides.  A copy of this program, in both ASCII and UUEncoded forms, is
>included at the end of this post.
>
>Dr. David Thomas                        Centenary College of Louisiana
>Department of Mathematics               P. O. Box 41188
>thomas@beta.centenary.edu               Shreveport, LA 71134-1188
>voice    318 - 869 - 5035               fax    318 - 869 - 5026
>
>On Wed, 6 Sep 1995, Fred Worth wrote:
>
>> I continue to teach it but with decreasing emphasis.  I did it a
>> little differently this year, though.  I had them use their
>> calculator extensively.  For example, (using TI terminology)
>>
>> f(x) = sin x/ x as x->0.  This is one where it is NOT obvious.  They
>> can look at the graph as evidence of what it probably does, which is
>> the first thing I want them to do.  After all, even if you do epsilon-
>> delta you have to know the answer first.  Then I give them a
>> particular epsilon, say .05.  They set ymin = .95 and ymax = 1.05.
>> Now, can you find delta so that for xmin = -delta and xmax = delta,
>> the graph comes in the sides of the window and not the bottom or top.
>>  I explain, of course, why the bottom and top entrances are not
>> acceptable.  After a few like this I THINK they understood better
>> than usual.  Now, of course, I won't know for sure until after
>> Friday's test. :-)
>> ===================================================================
>> Dr. Fred Worth
>> Department of Mathematics
>> Henderson State University
>> Box 7783                            (501) 230-5079
>> Arkadelphia AR 71999-0001           worthf@holly.hsu.edu
>>
>>                         John 3:16
>> ===================================================================
>>
>
>\START82\
>\COMMENT=Program file dated 07/18/95, 11:58
>\NAME=EPSLNDLT
>\FILE=C:\WLINK82\PROGRAMS\EPSLNDLT.82P
>:ClrHome
>:ClrDraw
>:PlotsOff
>:Input "LIMIT VALUE? ",B
>:Input "X VALUE? ",A
>:Lbl 1
>:Input "EPSILON VALUE? ",E
>:B+E+.25*E\->\Ymax
>:B-E-.25*E\->\Ymin
>:.1\->\Yscl
>:Lbl 2
>:Input "DELTA VALUE? ",D
>:A+D+.25*D\->\Xmax
>:A-D-.25*D\->\Xmin
>:(Xmax-Xmin)/20\->\Xscl
>:Horizontal B-E
>:Horizontal B+E
>:Vertical A-D
>:Vertical A+D
>:DispGraph
>:Text(12,5,"Xscl = ")
>:Text(18,5,Xscl)
>:Pause
>:Menu("DIRECTIONS","NEW DELTA",2,"NEW EPSILON",1,"QUIT",3)
>:Lbl 3
>:ClrHome
>:Output(1,1,"DELTA")
>:Output(1,9,"EPSILON")
>:Output(2,1,D)
>:Output(2,8," ")
>:Output(2,9,E)
>:Output(3,1,"                ")
>:Output(4,1,"\Y1\(X+D)")
>:Output(4,9,"Y+E")
>:Output(5,1,\Y1\(A+D)
>:Output(5,8," ")
>:Output(5,9,B+E)
>:Output(6,1,"                ")
>:Output(7,1,"\Y1\(X-D)")
>:Output(7,9,"Y-E")
>:Output(8,1,\Y1\(A-D)
>:Output(8,8," ")
>:Output(8,9,B-E)
>:Stop
>\STOP82\
>
>
>begin 664 EPSLNDLT.82P
>M*BI423@R*BH:"@!0<F]G<F%M(&9I;&4@9&%T960@,#<O,3@O.34L(#$Q.C4X
>M```````````!`@L`\@$%15!33$Y$3%3R`?`!X3^%/^H_W"I,24U)5"E604Q5
>M1:\I*BM"/]PJ6"E604Q51:\I*BM!/]8Q/]PJ15!324Q/3BE604Q51:\I*BM%
>M/T)P17`Z,C6"101C#3]"<45Q.C(U@D4$8PP_.C$$8P,_UC(_W"I$14Q402E6
>M04Q51:\I*BM$/T%P1'`Z,C6"1`1C"S]!<41Q.C(U@D0$8PH_$&,+<6,*$8,R
>M,`1C`C^F0G%%/Z9"<$4_G4%Q1#^=07!$/]\_DS$R*S4K*F,"*6HI*A$_DS$X
>M*S4K8P(1/]@_YBI$25)%0U1)3TY3*BLJ3D57*41%3%1!*BLR*RI.15<I15!3
>M24Q/3BHK,2LJ455)5"HK,Q$_UC,_X3_@,2LQ*RI$14Q402H1/^`Q*SDK*D50
>M4TE,3TXJ$3_@,BLQ*T01/^`R*S@K*BDJ$3_@,BLY*T41/^`S*S$K*BDI*2DI
>M*2DI*2DI*2DI*2DJ$3_@-"LQ*RI>$!!8<$01*A$_X#0K.2LJ67!%*A$_X#4K
>M,2M>$!!!<$01/^`U*S@K*BDJ$3_@-2LY*T)P11$_X#8K,2LJ*2DI*2DI*2DI
>M*2DI*2DI*2H1/^`W*S$K*EX0$%AQ1!$J$3_@-RLY*RI9<44J$3_@."LQ*UX0
>>$$%Q1!$_X#@K."LJ*2H1/^`X*SDK0G%%$3_9/Z:,
>
>end
>

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X-Comment:  Educacao em Matematica
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    Volto mais uma vez para retomar alguns aspectos da nossa
discussao sobre o ajustamento e queria, em particular,  
apontar alguns aspectos da segunda versao do ajustamento 
que me parecem passiveis de melhoramento.



Documento que comeca com o historial

Das pags. 7 e 17 fica a impressao de que as Probabilidades e a
Estatistica sao incluidas na Matematica Finita, o que me parece
muito pouco razoavel. Sendo assim conviria clarificar este 
aspecto.

Na pag. 17 a inclusao da Teoria dos Algoritmos poderia ser 
substituida com vantagem por uma Introducao a Programacao
(em Pascal ou Basic), onde se poderiam programar alguns 
algoritmos matematicos. Discutir algoritmos do ponto de
vista teorico parece-me pouco motivante antes de se ter a 
pratica da programacao.



Uso de calculadoras graficas

Numa intervencao mais recente de Jaime Carvalho e Silva 
surgem dois paragrafos que me parecem importantes e
para os quais nao encontro paralelo na segunda versao:

"Contudo, a questao de fundo e' a mesma. Mesmo que o grafico esteja
certo, como e' que sabemos que esta' certo? Por isso e' que
aparece referido no Ajustamento para confrontar cada grafico com os
conhecimentos teoricos.
 
E esta e' uma das principais razoes porque a tecnologia deve
ser usada na aula de matematica. Os alunos precisam de saber
dominar uma tecnologia que cada vez se apresenta mais
desenvolvida. E nao e' uma tarefa nada facil utiliza'-la
como deve ser. Domina'-la nao tem a ver com saber carregar nos
botoes certos ou saber programar. E' uma questao muito
mais funda, profundamente matematica (em que obviamente,
a sua discussao ao mesmo tempo desenvolve as capacidades
matematicas do aluno). Tem a ver com saber se o que maquina faz
num abrir e fechar de olhos, e no's nunca teremos paciencia nem
tempo de fazer 'a mao, merece confianca. E isso so' se pode
fazer dominando os conceitos matematicos envolvidos, nao de uma
forma abstracta mais ou menos formalizada, mas no confronto
permanente com a pratica numerica e grafica."


Das recomendacoes de Sebastiao e Silva sao destacados
os aspectos ligados `a analise numerica e `a matematica
experimental. Para concretizar esses aspectos aproveitando
minimamente a calculadora  e' necessario desenvolver
seriamente a sua programacao. Parece-me redutor ficarmos so'
com os graficos.



Grafico completo


Esta nocao parece-me nao ter qualquer interesse, ja' que ou fica 
definida de uma forma vaga e nao conseguimos entender-nos,
ou se lhe da' uma definicao mais concreta e entao fica 
complicada e inutil. A expressao "todas as caracteristicas 
importantes de uma funcao" levanta demasiadas questoes: o
que e' caracteristica importante? Os zeros? Os pontos 
criticos? Os pontos de inflexao? Os pontos onde a derivada 
e' 1? Tudo depende do que esta' em estudo. Alem disso a 
auto semelhanca nao resolve todos os problemas, ja' que
no intervalo [0,2.5] posso ter os graficos completos de
sin(Pi*x) e exp(cos(3*x)), mas essa completude nao me
permite estudar a sua interseccao. Embora haja sempre formas
de contornar a questao, nao me parece que essas formas 
ajudem a clarificar alguma coisa.

Quanto `as funcoes continuas sem derivada em nenhum ponto
e aos fractais, a resposta anterior de Carvalho e Silva
 parece entrar  em contradicao com a propria proposta 
de ajustamento.
O estudo de sistemas dinamicos e' apresentado como devendo
fazer parte do ensino secundario. No anexo II. pp. 22 e 23,
a proposito de sucessoes e caos, surge a referencia APM,1994
onde aparece a curva de von Koch. Nas aplicacoes dos
logaritmos aparece a medicao da dimensao fractal. Diga-se ja' 
agora que, dado um grafico de uma funcao continua sem derivada
em nenhum ponto, e' possivel fazer uma medicao experimental
de uma dimensao fractal. Quanto `a questao de sabermos se 
desenhamos o grafico de uma funcao ou da soma de uma serie,
o mesmo problema coloca-se para qualquer funcao transcendente
(seno, por exemplo),ja' que a calculadora so' determina 
aproximacoes.
Daqui parece-me resultar que a nocao de grafico completo 
se tornaria impraticavel pouco depois de ser introduzida
e nao anos depois.



Zoom

Embora seja facil de fazer, um zoom leva tempo e so' podemos
fazer um de cada vez. Alem disso, para termos uma imagem
global do grafico da funcao temos que ter na memoria (na nossa)
as imagens de todos os zooms que fomos vendo. Mas isto 
significa desperdicar o potencial da visualizacao, que e' 
o podermos captar muita informacao numa so imagem. Se a 
quantidade de informacao em cada imagem e baixa (porque a
resolucao e baixa), entao subaproveitamos a visao e 
esforcamos a memoria. Assim, insisto que a resolucao das
calculadoras e muito baixa. Muito melhor seria usar 
computadores.

A resolucao de equacoes com zoom, se quisermos um erro 
pequeno e o problema for mal condicionado, pode ser
extremamente lenta e seria naturalmente substituida
por um pequeno programa usando os metodos numericos 
elementares (bisseccao, newton, etc., que alem de usarem
a calculadora fazem apelo `a intuicao geometrica).

Outro problema do zoom e' saber onde faze-lo. Como podemos
saber a priori onde fazer zoom para encontrar o que 
queremos? A interligacao teoria - calculadora que e'
proposta parece-me estar no bom caminho.

Convem ainda referir a questao das transformacoes afins
e dos seus efeitos nas imagens. O zoom feito com a 
calculadora altera quase sempre as escalas nos dois 
eixos de formas diferentes e convem que os alunos se
apercebam disso. Em particular, as inclinacoes das
rectas podem ter muito pouco sentido.




Uso de computadores

Penso que deveria ser obrigatorio em todas as escolas logo
que seja possivel do ponto de vista economico. Uma solucao 
e' a existencia de laboratorios de computadores para aulas
de matematica.

Parece-me errado dar a impressao que as calculadoras graficas
ja fazem quase tudo o que fazem os computadores. E' o mesmo
que dizer que uma vespa substitui um bom automovel. 
O computador nao so pode fazer tudo o que faz a calculadora,
como chega muito mais longe. Alem disso nao devemos esquecer
que, a nivel profissional e cientifico, os computadores sao
muito mais usados do que as calculadoras.






Na Coordenacao Interdisciplinar surgem indicacoes que, embora
pertencendo ao programa de Fisico-Quimicas, me parecem 
demasiado gravosas para serem deixadas passar em claro:
- usar a calculadora para calcular  o coseno de um angulo
obtuso sem um estudo previo deste caso;
- usar a calculadora para calcular derivadas numericas.

A primeira situacao parece-me ir contra tudo o que se deve 
fazer com uma calculadora; em particular, na proposta ja' e'
dito que: "Nao e' de admitir o uso da calculadora grafica
desligado de quaisquer consideracoes teoricas." Parece
pouco razoavel que em duas disciplinas cientificas surjam
posicoes tao diferentes perante o mesmo instrumento. 

A segunda situacao e' tipica do que pode acontecer quando
se usa a calculadora sem estudar um pouco a questao dos
erros de arredondamento: para vermos o que acontece basta
pegar numa calculadora e experimentar escrever, para uma 
funcao x(t) (sugiro sin(x) em x=Pi), os diversos valores 
da razao incremental para valores
delta t = 0.1, 0.01, 0.001, ..., ate' ao limite da 
calculadora. A razao incremental so' se aproxima da derivada
ate' certo ponto e depois comeca a afastar-se.  Haveria 
ainda que notar aqui que a derivada
so e' igual ao declive da tangente ao grafico se o grafico
for monometrico.

  
No tema II do 12 ano devia desaparecer a sugestao de usar 
o computador para estudar o dominio de uma funcao. Senao,
sugeria que se dessem mais indicacoes metodologicas para
este estudo.

No anexo II, p.14 exemplo 4, parece-me que -107 e' gralha.


   Carlos Albuquerque


-

Carlos Albuquerque
CMAF - Universidade de Lisboa
Av. Prof. Gama Pinto, 2
P-1699 Lisboa Codex
Portugal

Telef.:   351.1.7950790
Fax.:     351.1.7954288
e-mail:   albuquer@lmc.fc.ul.pt

-

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X-Comment:  Educacao em Matematica

At 19:03 95/09/19, Carlos Albuquerque wrote:

>    Volto mais uma vez para retomar alguns aspectos da nossa
>discussao sobre o ajustamento e queria, em particular,
>apontar alguns aspectos da segunda versao do ajustamento
>que me parecem passiveis de melhoramento.

So' e' pena que nao aparecam mais intervencoes...
Isto parece andar meio silencioso!

>
>Documento que comeca com o historial
>
>Das pags. 7 e 17 fica a impressao de que as Probabilidades e a
>Estatistica sao incluidas na Matematica Finita, o que me parece
>muito pouco razoavel.

Porque^? Sem me dar justificacao nao sei que argumentar de volta!
Uma grande parte das P. e E. sao certamente matematica finita,
no sentido de matematica do finito, do discreto.
A parte que nao e' fica praticamente toda fora do Ens. Sec.
E=B4 grave esta classificacao? (e qual o problema das classificacoes?...)

>Sendo assim conviria clarificar este
>aspecto.

=46ico 'a espera de mais argumentos.

>
>Na pag. 17 a inclusao da Teoria dos Algoritmos poderia ser
>substituida com vantagem por uma Introducao a Programacao
>(em Pascal ou Basic), onde se poderiam programar alguns
>algoritmos matematicos.

Programar nao e' discutir teoria dos algoritmos!
Programar a nivel elementar como se ve por ai'
(e ha' alias uma disciplina para isso no ens. sec. onde se ensina,
salvo erro, Pascal) e' colocar instrucoes umas atras das outras 'a balda.
E para discutir algoritmos nem sequer e' preciso programar.
A discussao pode alias comecar bastante cedo.
A actividade mais conhecida e' a da "calculadora estragada"
Se a tecla do + estiver avariada como se
faz uma adicao particular?, etc.

>Discutir algoritmos do ponto de
>vista teorico parece-me pouco motivante

depende da motivacao usada nao e'?

>antes de se ter a
>pratica da programacao.

Programar a seco e' que me parece pouco motivante.
E e' o que se faz um pouco por esse pais fora mesmo no ensino superior!

O que me parece pouco pedagogico e' por a programacao
antes dos algoritmos.
Mas para programar nao e' preciso comecar logo
a usar algoritmos? E nao e' assim que se criam vicios
no estabelecimento dos algoritmos?

>
>Uso de calculadoras graficas
>
>Numa intervencao mais recente de Jaime Carvalho e Silva
>surgem dois paragrafos que me parecem importantes e
>para os quais nao encontro paralelo na segunda versao:
>
>"Contudo, a questao de fundo e' a mesma. Mesmo que o grafico esteja
>certo, como e' que sabemos que esta' certo? Por isso e' que
>aparece referido no Ajustamento para confrontar cada grafico com os
>conhecimentos teoricos.

Esta parte nao esta' la'?

>
>E esta e' uma das principais razoes porque a tecnologia deve
>ser usada na aula de matematica. Os alunos precisam de saber
>dominar uma tecnologia que cada vez se apresenta mais
>desenvolvida. E nao e' uma tarefa nada facil utiliza'-la
>como deve ser. Domina'-la nao tem a ver com saber carregar nos
>botoes certos ou saber programar. E' uma questao muito
>mais funda, profundamente matematica (em que obviamente,
>a sua discussao ao mesmo tempo desenvolve as capacidades
>matematicas do aluno). Tem a ver com saber se o que maquina faz
>num abrir e fechar de olhos, e no's nunca teremos paciencia nem
>tempo de fazer 'a mao, merece confianca. E isso so' se pode
>fazer dominando os conceitos matematicos envolvidos, nao de uma
>forma abstracta mais ou menos formalizada, mas no confronto
>permanente com a pratica numerica e grafica."

Se for considerado importante, este paragrafo pode aparecer la' explicitamen=
te!

>
>Das recomendacoes de Sebastiao e Silva sao destacados
>os aspectos ligados `a analise numerica e `a matematica
>experimental. Para concretizar esses aspectos aproveitando
>minimamente a calculadora  e' necessario desenvolver
>seriamente a sua programacao. Parece-me redutor ficarmos so'
>com os graficos.

Nao sei se sera' assim.
E' preciso comecar por algum lado, e com 4 horas nao se pode
meter tudo.
Se for possivel comecar a fazer algo nesse sentido sera' bom.
Alias e' preciso ser realista com as mudancas, e lembremo-nos
que este e' um mero Ajustamento e nao um novo programa
feito de base!
(E poderemos interrogar-nos como foi possivel depois das intervencoes
de Sebastiao e Silva e de um Projecto Minerva continuarmos
durante 20 anos com esses aspectos totalmente ausentes das
orientacoes oficiais...)

Como ja' disse em varios debates, uma das primeiras coisas a meter
nos programas, havendo tempo para isso, sera', na minha opiniao,
a analise numerica. E' dos topicos mais importantes e basicos na
matematica actual, sobretudo nas aplicacoes.
Mesmo para isso nao e' forcoso aprender uma linguagem de programacao.
As linguagens mais naturais como as que aparecem
nas calculadoras graficas sao mais do que suficientes para uma
iniciacao.

>
>Grafico completo
>
>Esta nocao parece-me nao ter qualquer interesse, ja' que ou fica
>definida de uma forma vaga e nao conseguimos entender-nos,
>ou se lhe da' uma definicao mais concreta e entao fica
>complicada e inutil.

Esta frase parece contraditoria. "Nao ter interesse" e' uma coisa;
ser dificil de definir e' outra.

>A expressao "todas as caracteristicas
>importantes de uma funcao" levanta demasiadas questoes: o
>que e' caracteristica importante? Os zeros? Os pontos
>criticos? Os pontos de inflexao? Os pontos onde a derivada
>e' 1? Tudo depende do que esta' em estudo.

Mas porque e' que a definicao tem de ser 100% precisa?
A nocao de representacao grafica e' 100% precisa?
Aparece nos livros de texto? E no entanto e' necessario
distinguir grafico de representacao grafica. E ver que ha' diferentes
representacoes graficas de um mesmo grafico. Definem-se
representacoes graficas diferentes? Nao, mas usa-se
intuitivamente essa distincao. E' preciso definir?
Nao, basta usar as consideracoes intuitivas!

> Alem disso a
>auto semelhanca nao resolve todos os problemas, ja' que
>no intervalo [0,2.5] posso ter os graficos completos de
>sin(Pi*x) e exp(cos(3*x)), mas essa completude nao me
>permite estudar a sua interseccao.

Mas quem diz que o grafico completo serve
para determinar os pontos de interseccao?
Com o grafico completo ficamos a saber que
os graficos se intersectam, ampliamos a zona que interessa
e esclarecemos a questao.
Mas o principal interesse do grafico completo e'
o mesmo de um grafico vulgar tracado 'a mao: e' ter uma ideia geral
do comportamento da funcao. O que acontece e' que
se escolhermos funcoes um pouco mais complicadas (mas nao muito,
porque um simples polinomio serve) entao um simples grafico
tracado 'a mao nao serve e um simpes grafico
esconde pontos importantes. E' por isso fundamental
recorrer a um grafico multiplo (e chamar-lhe grafico
completo e' sugestivo). Poderia dizer-se antes
representacao grafica completa, mas ja' esta' nos
nossos habitos o abuso de linguagem de confundir grafico e
representaco grafica.

Uma observacao ainda: os exemplos a usar no 10. e 11. anos
devem ser simples; em particular nao podem envolver as
funcoes triognometricas, exponenciais e logaritmos que
so' sao estudadas no 12. ano.

>Embora haja sempre formas
>de contornar a questao, nao me parece que essas formas
>ajudem a clarificar alguma coisa.

Neste ou mnoutros exemplos,
ajudam a clarificar as limitacoes da maquina,
ajudam a por em funcionamento pratico mais matematica teorica,
ajudam a desenvolver estrategias de resolucao de problemas,
sao assim actividades riquissimas.
Mas cuidado, nao podemos passar o tempo apenas com exemplos
rebuscados!

>
>Quanto `as funcoes continuas sem derivada em nenhum ponto
>e aos fractais, a resposta anterior de Carvalho e Silva
> parece entrar  em contradicao com a propria proposta
>de ajustamento.
>O estudo de sistemas dinamicos e' apresentado como devendo
>fazer parte do ensino secundario.

Isto aparece como um tema de uma disciplina optativa, no 12. ano, e
ai' sao estudados sistemas dinamicos a partir de sucessoes!

>No anexo II. pp. 22 e 23,
>a proposito de sucessoes e caos, surge a referencia APM,1994
>onde aparece a curva de von Koch.

Trata-se de um tema (*): logo nao e' de tratamento obrigatorio.
E quando se da' uma referencia nao e' para se "despejar" todo o
conteudo da referencia, nao e' assim?

>Nas aplicacoes dos
>logaritmos aparece a medicao da dimensao fractal. Diga-se ja'
>agora que, dado um grafico de uma funcao continua sem derivada
>em nenhum ponto, e' possivel fazer uma medicao experimental
>de uma dimensao fractal.

Qual e' o mal? So' prova que a matematica experimental
assume cada vez mais importancia!

Contudo, a referencia que e' dada, e' feita apenas de forma geome=B4trica,
nao envolve sequer funcoes!

>Quanto `a questao de sabermos se
>desenhamos o grafico de uma funcao ou da soma de uma serie,
>o mesmo problema coloca-se para qualquer funcao transcendente
>(seno, por exemplo),ja' que a calculadora so' determina
>aproximacoes.

Nao e' exactamente o mesmo problema pois nao? Nao vale a pena confundir
coisas diferentes, mesmo se nao temos uma definicao 100% precisa
para estabelecer essa distincao!

>Daqui parece-me resultar que a nocao de grafico completo
>se tornaria impraticavel pouco depois de ser introduzida
>e nao anos depois.

Uma coisa e' a eventual impraticabilidade,
outra a sua inutilidade.
O Carlos nada disse sobre o seu interesse, mas apenas sobre
a impraticabilidade.
Nao me parece necessario, no grosso do programa
entrar em mais precisoes do que as que la' estao.
Para que^ estar com a perspectiva ultra-formalista de querer tudo definido
a 100% como se um aglomerado de simbolos logicos
permitisse por si so' esclarecer o sentido da questao.
Querer uma objectividade a todo o custo so'
servira' para retirar a riqueza da matematica no seu dialogo
como os problemas concretos. Parece-me que os exemplos
a trabalhar sao exemplos simples onde se ve bem o que e' o grafico completo
e, sobretudo, se ve a importancia da consideracao do grafico completo.
Aceito sugestoes de mais exemplos simples (e no 10 e 11 anos
nao podem envolver funcoes trigonometricas, exponenciais ou logaritmos!)

Na medida em que "grafico completo" nao e' um conceito como os outros,
trata-se mais de uma questao pratica do que teorica, ja' foi
alterada a terminologia usada para que nao se
criasse confusao.

>
>Zoom
>
>Embora seja facil de fazer, um zoom leva tempo

pouco

>e so' podemos
>fazer um de cada vez.

mas podemos fazer quantos quisermos (e repetir tudo)
e nos modelos mais avancados, guardar os graficos na memoria
ou imprimi-los.

>Alem disso, para termos uma imagem
>global do grafico da funcao temos que ter na memoria (na nossa)
>as imagens de todos os zooms que fomos vendo. Mas isto
>significa desperdicar o potencial da visualizacao, que e'
>o podermos captar muita informacao numa so imagem. Se a
>quantidade de informacao em cada imagem e baixa (porque a
>resolucao e baixa), entao subaproveitamos a visao e
>esforcamos a memoria. Assim, insisto que a resolucao das
>calculadoras e muito baixa. Muito melhor seria usar
>computadores.

Levando os exemplos ao extremo como o Carlos fez no caso
da calculadoras, diria que ha' uma bijeccao entre
os graficos da calculadora e os do computador.
Se a resolucao e' r e tracamos F(x) numa calculadora grafica,
tracemos F(x/k) ou F(kx) num computador de resolucao kr.
Os problemas sao os mesmos!!!!

Mas essa nao e' a questao principal. Nao subscrevo os argumentos
anteriores, estou apenas a usar os seus argumentos contra si
proprio.
A questao principal e' a da disponibilidade do material.
Nao ha' computadores nas escolas!
Esta e' a realidade, mesmo depois de um Projecto Minerva que gastou
larguissimos milhares de contos!
E propusemos ao Ministerio que enviasse 30 calculadoras graficas
para cada uma das 450 escolas secundarias e o Ministerio
disse que nao, por razoes financeiras!!!!!

Nao indo haver computadores nas Escolas nos 10 anos
mais proximos (pelo menos) para que serve estar a dizer que se usem
obrigatoriamente os computadores assim e assado?

E as calculadoras graficas pode ser compradas por
pelo menos metade dos alunos e as Escolas pdem apoiar os restantes alunos.
Podem as Escolas comprar e emprestar aos alunos,
ter disponiveis numa sala de estudo, comprarem as
escolas e venderem aos alunos a prestacoes, etc, etc.
E' realista indicar o uso de calculadoras graficas!

>
>A resolucao de equacoes com zoom, se quisermos um erro
>pequeno e o problema for mal condicionado, pode ser
>extremamente lenta e seria naturalmente substituida
>por um pequeno programa usando os metodos numericos
>elementares (bisseccao, newton, etc., que alem de usarem
>a calculadora fazem apelo `a intuicao geometrica).

Esses pequenos problemas e a sua programacao (e a discussao
da teoria por tras deles) requerem um tempo que nao
ha' e poem os mesmos problemas de propagacao de erros
ou mau condicionamento.
Basta uma matriz 2x2 bem escolhida para originar um sistema
com solucao estupidamente fora da verdade...

Os exemplos extremos existem sempre qualquer que seja o metodo
e a maquina empregue. Temos de saber que os exemplos extremos existem
mas nao vamos basear o ensino neles pois nao?

>
>Outro problema do zoom e' saber onde faze-lo. Como podemos
>saber a priori onde fazer zoom para encontrar o que
>queremos? A interligacao teoria - calculadora que e'
>proposta parece-me estar no bom caminho.

Exactamente. E a resposta predeterminada nao existe
'a nossa espera ao virar da esquina, mesmo com essa interligacao.
Todos os problemas suficientemente ricos devem ser analisados
com tecnicas ad-hoc; e isso so' e' possivel dominando a matematica envolvida=
;
esse trabalho estimula ao mesmo tempo o uso e
ajuda a compreensao dessa mesma matematica.
Esta caracteristica de incerteza tem sido artificialmente
retirada do ensino da Matematica para facilitar a vida aos alunos,
mas dando uma imagem distorcida do que
e' realmente a Matematica e do que significa
aplica'-la em questoes concretas!

>
>Convem ainda referir a questao das transformacoes afins
>e dos seus efeitos nas imagens. O zoom feito com a
>calculadora altera quase sempre as escalas nos dois
>eixos de formas diferentes e convem que os alunos se
>apercebam disso. Em particular, as inclinacoes das
>rectas podem ter muito pouco sentido.

mas isso e' o mesmo problema da diferenca entre
grafico e representacao grafica!

>
>Uso de computadores
>
>Penso que deveria ser obrigatorio em todas as escolas logo
>que seja possivel do ponto de vista economico. Uma solucao
>e' a existencia de laboratorios de computadores para aulas
>de matematica.

Isso e' optimo, recomenda-se e pode-se continuar a recomendar.
Mas nao tenhamos ilusoes que existam nos tempos mais proximos!!!!
Pois se ate' mesmo alguns "educadores" tem "medo" dos computadores...

>
>Parece-me errado dar a impressao que as calculadoras graficas
>ja fazem quase tudo o que fazem os computadores. E' o mesmo
>que dizer que uma vespa substitui um bom automovel.

Nao substitui? na cidade ate' e' bem melhor!
Os paralelos valem o que valem, claro.

Mas as calculadoras ja' fazem quase tudo o que fazem
a maioria dos programas de computador e a HP-48G assim como a nova TI-92
fazem ainda muito mais do que muitos programas!
Nao menosprezemos as calculadoras, sobretudo as graficas.
Tem um potencial riquissimo que podemos explorar desde ja'
em larga escala!

>O computador nao so pode fazer tudo o que faz a calculadora,
>como chega muito mais longe.

Muito mais, depende! Usar o Mathematica requer
memoria e velocidade nao existentes nos computadores
mais baratos.
Usar o Derive ja' nao poe esses problemas, mas interrogo-me
se havera' muitas caracteristicas destes programas, na parte
que vai alem das calculadoras graficas, que se possa
usar no Ensino Secundario!
Sao mais rapidos. Sim, mas um CRAY =E9 mais rapido e nao vamos
defender um CRAY: porque a velocidade nao e' tudo e porque o
preco e' proibitivo. As mesmas razoes que distinguem uma
calculadora grafica de um computador vulgar!

>que, a nivel profissional e cientifico, os computadores sao
>muito mais usados do que as calculadoras.

Muito mais usados como? Depende das profissoes!
Quem tem de andar no terreno usa mais facilmente calculadoras.

Mas esta nao e' a questao principal.
O principal e' saber usar uma maquina, seja computador
seja calculadora, seja uma maquina do futuro,
que da' erros que e' preciso saber dominar,
mas que facilita imenso a vida!
E o principio basico de funcionamento de uma e de outra
e' exactamente o mesmo! Logo, sabendo trabalhar com uma,
sabe-se trabalhar com qualquer outra!
Como dizia Miguel de Guzman (boletim da SPM, n. 25, Marco 1993, pg 14)
=E9 importante preparar os alunos para "o dialogo inteligente com
as ferramentas que ja' existem"

>
>Na Coordenacao Interdisciplinar surgem indicacoes que, embora
>pertencendo ao programa de Fisico-Quimicas, me parecem
>demasiado gravosas para serem deixadas passar em claro:
>- usar a calculadora para calcular  o coseno de um angulo
>obtuso sem um estudo previo deste caso;
>- usar a calculadora para calcular derivadas numericas.
>

Sao afirmacoes feitas por autores de programas
que ja estao homologados!

Nao sendo possivel alterar os programas de Fisica
tenta'mos fazer coordenacao interdisciplinar
mas os autores de Fisica mostraram muito pouco interesse nisso
(acirrados por certas pessoas (ir)respons=E1veis e' verdade...)
e tivemos que alterar o plano.

Por isso recomendamos um proximo ajustamento coordenado!

>
>No tema II do 12 ano devia desaparecer a sugestao de usar
>o computador para estudar o dominio de uma funcao. Senao,
>sugeria que se dessem mais indicacoes metodologicas para
>este estudo.

Nao quer dar sugestoes?

>
>No anexo II, p.14 exemplo 4, parece-me que -107 e' gralha.

E' gralha.
Nao descobriu mais?

Obrigado pelas sugestoes
Jaime


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Jaime Carvalho e Silva
Telef: 351-39-28097/8/9
=46ax: 351-39-32568
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X-Comment:  Educacao em Matematica



Relativamente a utilizacao de computadores creio dever ser bem explicitada a
sugestao de uso regular no  das aulas de matematica. 
Tal tera como consequencia a execucao do programa levando em conta esta
preocupacao, o que conduzira a que:
- a gestao/administracao tenha que corresponder a esse objectivo ao nivel de um
appetrechamento efectivo das escolas com um numero de computadores que
correspondam a utilizacao de meios tecnologicos dentro de uma concepcao
computador/ferramenta que seja um efectivo sinal dos tempos;
- os agentes de concepcao e edicao de software se obriguem a uma producao
tendente a satisfazer as necessidades dos alunos e docentes;
- a utilizacao de programas utilitarios ou especificos da matematica sejam mais
usados no quotidiano;
-  o professor disponha de mais meios para propor trabalhos de pesquisa, via
Internet por exemplo ou com alguns programas multimedia (Encarta, por exemplo).

Jose Tomas Patrocinio
TOMAS.PATROCINIO@DEPGEF.ME.MAILPAC.PT

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X-Comment:  Educacao em Matematica


>Relativamente a utilizacao de computadores creio dever ser bem explicitada =
a
>sugestao de uso regular nas aulas de matematica.

Em anexo seguem as referencias gerais a computadores existentes na 2a
versao da Proposta de Ajustamento dos Programas de Matematica do Ensino
Secundario (em varios temas matematicos particulares existem referencias
mais concretas).
Pergunto-lhe:
a) Acha que sao suficientemente claras?
b) Acha realista esperar que o Ministerio de^ o apoio logistico e material
necessario?

Jaime

--------extractos da 2a versao do Ajustamento----------


Uso de computadores
Seria desejavel que estivessem disponiveis computadores em todas as escolas
para trabalho relativo 'as aulas de Matem=E1tica. Entretanto considera-se
desde ja' possivel e recomendavel o uso de:
(...)
        b) um computador ligado a um "data-show" para demonstracoes,
simulacoes ou trabalho na sala de aula com todos os alunos ao mesmo tempo.
Varios tipos de programas de computador sao uteis e enquadram-se no
espirito do programa. Programas de Geometria como o Cabri-Geometre, de
Calculo Numerico e Estatistico como a Folha de Calculo, de Graficos e
demonstracao como o Funcoes (Vitor Teodoro-GEP), o MicroCalc (Harley
=46landers), de Algebra Computacional como o DERIVE ou o Mathematica, ou de
simulacao como os da serie Soft-Ciencias, fornecem diferentes tipos de
perspectivas tanto a professores como a alunos. Outros programas come=E7am
igualmente a aparecer no mercado portugues.
Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores nas escolas
onde tal equipamento esteja ou venha a estar disponivel, tanto em salas
onde os alunos poderao ir realizar trabalhos praticos, como em salas com
condicoes para se dar uma aula em ambiente computacional, alem do partido
que o professor deve tirar como ferramenta de demonstracao na sala de aula
usando um "data-show" com retroprojector.
O trabalho com computadores devera' ainda ser explorado e desenvolvido em
todos os trabalhos da Area-Escola em que tal se proporcionar e ainda nas
disciplinas de Informatica constantes do curriculo (como a Introducao 'as
Tecnologias da Informacao), em ligacao com a disciplina de Matematica.

(...)

(...) propoe-se que, em cada Escola, seja criado um Laboratorio de
Matem=E1tica. Tal Laboratorio deveria, em termos gerais e nao limitativos,
estar equipado com:
(...)
-       Um computador portatil e um "data-show" para projectar a imagem do
computador com um retroprojector;
-       Uma sala com pelo menos 6 computadores para realizacao de trabalhos
dos alunos de acesso possivel durante todo o dia (em particular durante
"feriados");
-       Uma sala com um numero razoavel de computadores onde seja possivel
realizar trabalhos praticos com todos os alunos de cada turma;
-       Um modem para ligacao a BBS (Jornais de Parede Electronicos) ou 'a
Internet (onde se poderao procurar novidades sobre o mundo da Matematica e
estabelecer contactos com projectos realizados noutras escolas)

------------


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Jaime Carvalho e Silva
Departamento de Matematica
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
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X-Comment:  Educacao em Matematica
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>--------extractos da 2a versao do Ajustamento----------
>
>
>Uso de computadores
>Seria desejavel que estivessem disponiveis computadores em todas as escolas
>para trabalho relativo 'as aulas de Matematica.

Em todas as escolas existem computadores. Em certos casos existe ate um
numero significativo de maquinas. Nao serao bombas do ultimo modelo mas dao
para correr muito software. Nao ha razoes para nao revindicarmos o seu uso
pela discimplina de Matematica.


Entretanto considera-se
>desde ja' possivel e recomendavel o uso de:
>(...)
>        b) um computador ligado a um "data-show" para demonstracoes,
>simulacoes ou trabalho na sala de aula com todos os alunos ao mesmo tempo.
>Varios tipos de programas de computador sao uteis e enquadram-se no
>espirito do programa. Programas de Geometria como o Cabri-Geometre, de
>Calculo Numerico e Estatistico como a Folha de Calculo, de Graficos e
>demonstracao como o Funcoes (Vitor Teodoro-GEP), o MicroCalc (Harley
>Flanders), de Algebra Computacional como o DERIVE ou o Mathematica, ou de
>simulacao como os da serie Soft-Ciencias, fornecem diferentes tipos de
>perspectivas tanto a professores como a alunos. Outros programas comecam
>igualmente a aparecer no mercado portugues.


Esta recomendacao e' clara e e' pertinente. Nao havera data-show em todas
as escolas, mas maquelas em que houver deve ser usado. E nas outras deve
ser encomendado. O software proposto parece-me razoavel, como ponto de
partida.

>Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores nas escolas
>onde tal equipamento esteja ou venha a estar disponivel, tanto em salas
>onde os alunos poderao ir realizar trabalhos praticos, como em salas com
>condicoes para se dar uma aula em ambiente computacional, alem do partido
>que o professor deve tirar como ferramenta de demonstracao na sala de aula
>usando um "data-show" com retroprojector.


Aqui talvez se esteja a pedir salas a mais. Depende das condicoes da escola
e da sua organizacao. Na minha opiniao
-uma sala de Matematica deve ter um (ou dois) computadores, um data-show e
uma impressora.
-a sala do grupo de Matematica (se a houver) deve ter um computador e
impressora.
-para trabalhar com toda a turma sera desejavel usar uma sala com 12 a 15
computadores; estas salas existem e nao devem monopolizadas pela ITI nem
pela Informatica.
-os alunos devem ter na escola acesso a meios computacionais, seja no
centro de recursos, seja na sala de informatica, seja no laboratoria de
matematica


>O trabalho com computadores devera' ainda ser explorado e desenvolvido em
>todos os trabalhos da Area-Escola em que tal se proporcionar e ainda nas
>disciplinas de Informatica constantes do curriculo (como a Introducao 'as
>Tecnologias da Informacao), em ligacao com a disciplina de Matematica.
>

Muito bem


>(...) propoe-se que, em cada Escola, seja criado um Laboratorio de
>Matem=E1tica. Tal Laboratorio deveria, em termos gerais e nao limitativos,
>estar equipado com:
>(...)
>-       Um computador portatil e um "data-show" para projectar a imagem do
>computador com um retroprojector;
>-       Uma sala com pelo menos 6 computadores para realizacao de trabalhos
>dos alunos de acesso possivel durante todo o dia (em particular durante
>"feriados");
>-       Uma sala com um numero razoavel de computadores onde seja possivel
>realizar trabalhos praticos com todos os alunos de cada turma;
>-       Um modem para ligacao a BBS (Jornais de Parede Electronicos) ou 'a
>Internet (onde se poderao procurar novidades sobre o mundo da Matematica e
>estabelecer contactos com projectos realizados noutras escolas)
>

De todas as ideias esta e a que envolve um maior custo e maior dificuldade
na concretizacao. Para alem do cursto dos equipamentos, e' preciso saber
quem assegura o funcionamento desta sala. Penso que e' uma ideia que deve
ser defendida e posta 'a discussao dos grupos de Matematica.

Onde nao for possivel este tipo de acesso dos alunos aos computadores (em
espaco proprio da Matematica) ele deve ser assegurado noutros espacos da
escola como os centros de recursos.

Joao Pedro

*************************************************
Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

Edificio C1-Campo Grande
1700 LISBOA-PORTUGAL

fax office (351-1)-757-3624
tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
tel. home 3630861
*************************************************

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X-Comment:  Educacao em Matematica

Em anexo seguem as referencias gerais a computadores existentes na 2a
versao da Proposta de Ajustamento dos Programas de Matematica do Ensino
Secundario (em varios temas matematicos particulares existem referencias
mais concretas).
Pergunto-lhe:
a) Acha que sao suficientemente claras?
b) Acha realista esperar que o Ministerio de^ o apoio logistico e material
necessario?

Desconhecia as referencias. 
Acho-as bastantes adequadas e suficientes e simpatizo particularmente com a
proposta dos laboratorios de matematica.
Quanto a esperarmos que o ME de^ o apoio logistico e o material necessario o
que se me oferece dizer e que apesar de tal depender das opcoes politicas, nao
sera muito realista esperar o contrario. 
A utilizacao de meios informaticos e hoje um problema cultural e educacional
que tem que ser visto com responsabilidade, apesar dos custos elevados de
instalacao, manutencao e actualizacao. 
De resto, apos o expirar do MINERVA e de outros projectos e fundamental que as
propostas de alteracao de curriculos pressionem a dministracao e os decisores
no sentido de preencher os espacos deixados vazios por esses projectos.

Jose Tomas Patrocinio

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>From: Fred Rickey <rickey@bgsuvax.bgsu.edu>
>Subject: History of Mathematics
>To: Jaime Carvalho e Silva <jaimecs@mat.uc.pt>
>Mime-Version: 1.0
>Status: RO
>
>
>
>Dear Collegue,
>
>Some time ago you inquired about the History of Mathematics email
>group. At the time it was inactive, but now it has been resumed as
>an unmoderated list. Here is a description of the group and
>information about how to join.
>
>Regards,
>
>Fred Rickey
>
>PS. Please pass this message on to colleagues who might be interested.
>
>
>*****
>
>        History of Mathematics
>
>This is an unmoderated mailing group for individuals with a serious
>interest in the history of mathematics. It deals with all aspects
>of the history of mathematics,including the following:
>   *   Announcements of meetings on the history of mathematics.
>   *   Information on new books and interesting journal articles.
>   *   Discussion of the teaching of the history of mathematics.
>   *   Using history in the classroom.
>   *   Questions that you would like the answer to.
>   *       and, hopefully, answers to those questions.
>   *   Discussion of questions unsettled in the literature.
>
>If you would like to join this group on the history of mathematics,
>send email
>to:
>        majordomo@maa.org
>
>which contains the single line:
>
>        subscribe math-history-list
>
>within moments you will receive a message from "Majordomo" that you
>have been subscribed. Note that you do NOT include your name in the
>message.
>
>The group is moderated by V. Frederick Rickey <rickey@math.bgsu.edu>.




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Jaime Carvalho e Silva
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 A notre epoque pour l'ame de chaque theorie mathematique se battent le
demon de l'algebre abstraite et l'ange de la geometrie - H. Weyl
-

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X-Comment:  Educacao em Matematica


Este e um ficheiro TEX a que foram retirados alguns comandos para 
facilitar a sua leitura no ecran.





\input a4

\magnification=1200

\parindent = 0.4cm

fontbig = times at 18 pt

centerline{big Sobre a segunda versao do ajustamento de programas}
centerline{big de Matem'atica para o Ensino Secund'ario}
medskip

centerline{L. Sanchez}

smallskip

centerline{Dep. Matem'atica, FCUL}

bigskip



centerline{bf 1. Introducao}
smallskip 

No coment'ario que redigi 
sobre a proposta da Equipa T'ecnica (E.T.), em Junho passado,
  explicitei as minhas divergencias
relativamente ao conte'udo daquele documento e indiquei qual 
o alinhamento de temas que me parecia mais
adequado. Fiz  parte da
delegacao da S.P.M. que discutiu, com os membros da E.T., as 
razoes dos diferentes pontos de vista. A
E.T. redigiu uma $2a$ versao da proposta de ajustamento, que 
agora est'a em discussao. Nesta
versao encontram-se, ao lado de  melhorias significativas em relacao `a anterior, 
certos aspectos negativos que abordarei em seguida. O meu objectivo 'e contribuir para transformar a
presente proposta, mediante um  minimo de alteracoes de fundo, de modo a
aproxim'a-la da que, em minha opiniao, seria a adequada. Comentarei apenas o essencial, ou
seja, o programa propriamente dito (pp. 30-51). Desde j'a faco notar que, al'em de rearranjo de
mat'erias, e com uma 'unica excepcao (ver 3.8 adiante) {sl tudo o que vou propor sao cortes de
mat'eria}. Farei dois tipos de recomendacoes: sobre a organizacao dos conte'udos e sobre aspectos
pontuais do ``desenvolvimento'' de t'opicos e ``indicacoes metodol'ogicas''. Se proponho certas
alteracoes de pormenor 'e porque me parecem indispens'aveis. Inevitavelmente, alguns dos argumentos
que seguem repetirao os que utilizei anteriormente por escrito ou em entrevista com a E.T..
bigskip



centerline{bf 2. Sobre a organizacao dos conte'udos}
smallskip 
1. O primeiro t'opico de Geometria, no $10o$ ano - - {sl Resolucao de
problemas de geometria no plano e no espaco} -- deve ser retirado. S'o pode ter sentido como
recomendacao transit'oria. 'E um p'essimo principio incorporar num programa que se pretende
que vigore durante um periodo de tempo razo'avel um t'opico tao indefinido. O argumento segundo o
qual ele vai preencher lacunas referentes a mat'eria nao dada em anos anteriores 'e
inadmissivel e poderia por-se a respeito de qualquer outra rubrica do
programa. Uma alternativa seria incluir uma revisao de alguns t'opicos
(exemplos: teorema de Thales, semelhanca de triangulos, paralelismo e
perpendicularidade) `a luz da 'algebra vectorial, conferindo maior substancia a esta unidade de
Geometria.
'E claro que tal procedimento pressuporia o estudo do produto interno nesta fase.

2. O tema II do $11o$ ano --  {sl Introducao ao C'alculo Diferencial I} --
'e o que me parece mais infeliz em toda a proposta. Para al'em de repetir t'opicos do tema  2 do
$10o$ ano, versa uma mais que discutivel introducao `a teoria dos limites e das derivadas. Nao
consigo perceber a vantagem de preceder o estudo minimamente rigoroso desta teoria (relegada
para o
$12o$ ano) por uma {sl longa} abordagem que se pretende informal e de que {sl tudo} vai ter que ser
retomado, com apenas um ano de intervalo, para ser (digamos assim) levado a s'erio. Nao rejeito `a
partida que se abordem os temas sob aspectos progressivamente mais elaborados, mas no caso presente, al'em
de julgar que se trata de uma  tremenda perda de tempo, tenho grandes d'uvidas de que o ponto de vista
proposto conduza a  uma concretizacao razo'avel (para j'a nao dizer: sem graves erros pedag'ogicos)
quer nos futuros compendios, quer no dia-a-dia das aulas. Sejamos honestos: nao h'a suficiente trabalho
de investigacao no ambito da did'actica da Matem'atica a este nivel que avalize um tal salto no
escuro sem ter o cuidado de prevenir os possiveis efeitos negativos. E, j'a que a E.T. gosta muito de citar
Sebastiao e Silva, quero seguir-lhe o exemplo remetendo para o que este autor afirma no
 Compendio de Matem'atica  precisamente no inicio do capitulo sobre limites de funcoes: {sl 
..em Matem'atica nao basta a intuicao: 'e preciso definir os conceitos com rigor l'ogico, para
podermos sobre eles raciocinar com inteira seguranca} (Texto-piloto, Lisboa, 1965-66).

Em suma, julgo que este tema deveria ser completamente revisto, sendo o seu conte'udo mais
equilibradamente distribuido (o que envolver'a revisoes nos temas 3 do $11o$ ano e 2 do
$12o$ ano.

bigskip



centerline{bf 3. Sobre aspectos pontuais}
smallskip
1. Eliminar a referencia `a familia de funcoes $a|bx+c|+d$ (p. 33). Nao tem qualquer interesse
no contexto. E, j'a agora, note-se que um dos parametros est'a a mais... 

2. Eliminar o t'opico {sl estudo gr'afico de inequacoes... com recurso `a
calculadora} (p. 34). 'E gratuito e deseducativo a este nivel. 

3. Eliminar o t'opico {sl an'alise dos efeitos das mudancas de parametros} para as familias de func
coes indicadas na p. 40. Nao se percebe o que se ganha com {sl esta} an'alise para {sl estas} func
coes.

4. Moderar o apelo ao uso indiscriminado da calculadora. Reflectir nas possiveis consequencias nefastas
de indicacoes metodol'ogicas como: {sl os estudantes... devem procurar} {bf formas pr'oprias} {sl de
organizacao e} {bf expressao}(p. 42). Legitimar a auto-expressao implica aceitar muitas das
maneiras incorrectas de redigir ou falar sobre um tema. Isto vale para qualquer disciplina; no caso da
Matem'atica,  a ciencia do rigor por excelencia, 'e catastr'ofico. 

5. Eliminar todas as referencias `a axiom'atica das Probabilidades. Se se pode discutir a oportunidade de
apresentar um exemplo de desenvolvimento axiom'atico no ensino secund'ario, tenho quase a certeza de
que esta 'e a pior escolha possivel -- pela abstraccao que envolve, ao lidar com uma funcao
definida num conjunto de conjuntos. Refira-se, a prop'osito, que a recusa de tratar axiomaticamente a
geometria nao pode ter um car'acter absoluto (p. 31):  nao vejo como contornar a referencia a {sl
factos evidentes} (exemplo: por um ponto exterior a uma recta passa uma 'unica paralela a essa recta; por
tres pontos nao colineares passa um
'unico plano) que certamente precisam de ser invocados na resolucao de exercicios que envolvem
pequenas justificacoes. Tais {sl factos} tem o papel de axiomas de um ponto de vista ing'enuo.

6. Eliminar a referencia `a impossibilidade de ordenar o corpo complexo de modo compativel (p. 48):
para os alunos que estao apenas a comecar a calcular com
n'umeros complexos este facto tem uma relevancia mais que duvidosa.

7. A obrigatoriedade de incluir referencias hist'oricas {sl no programa} 'e absurda. Quando mal se comec
cam a aprender os rudimentos de uma disciplina, o espirito (pelo menos o da maioria dos alunos) nao
est'a maduro para a quantidade e qualidade de informacao hist'orica proposta (p. 34, 35, 45, 47). A
este respeito creio que a atitude razo'avel 'e deixar uma forte recomendacao aos autores de manuais no
sentido de incluirem apendices com as notas hist'oricas que vem a prop'osito. Na pr'atica,
destinam-se aos alunos mais interessados. Quando reclamamos pela insuficiencia de tempos lectivos
nao podemos cair na tentacao do programa 'optimo sob pena de sacrificarmos o bom.

8. Deve aproveitar-se o conhecimento do bin'omio de Newton para demonstrar que $an rightarrow
infty$ se
$a>1$, e sugerir que do mesmo modo se prova que ${{an}over {n}}rightarrow infty$, 
${{an}over{n2}}rightarrow
infty$... Sem este tipo de informacao a expressao {sl crescimento exponencial} 'e mera ret'orica.

9. A infeliz expressao {sl gr'afico completo} (p. 34), vazia de sentido e incompreensivel no contexto,
nao deve, sob pretexto algum, figurar numa proposta de programas de Matem'atica.
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centerline{bf 4. Coment'ario final}
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Ao solicitar pareceres sobre a proposta, o Departamento do Ensino Secund'ario pede que se tenha em
conta uma determinada lista de indicadores de verificacao, organizada sob a forma de
question'ario. `As questoes 1.1 e 3.1 responderei genericamente {sl sim}. Nao tenho informacao
suficiente para responder `a pergunta 2. `A questao 3.4 respondo  {sl sim}, com as
reservas constantes das criticas acima  As questoes 1.2 e 3.3 merecem por si s'o alguns
coment'arios, extensiveis ao subtexto de 3.2 e 3.4. Indagam sobre a observacao das orientacoes
metodol'ogicas e da compatibilidade entre os m'etodos ({sl metodologias} deve ser lapso) de ensino
propostos e os professores e alunos que temos ou vamos ter a curto prazo. Nao pretendendo repetir as
consideracoes que fiz no documento anterior sobre os pressupostos metodol'ogicos que (por indicac
cao do pr'oprio Minist'erio) amarram `a partida os programas a determinados estereotipos,  quero
exprimir desacordo com o espirito subjacente `a insistencia  neste g'enero de afericao, que nao
s'o desloca a atencao do essencial como se presta a uma avaliacao de pendor vincadamente
burocr'atico. Responder-lhes {sl sim} pode ter conotacao positiva ou negativa, dependendo da
ideologia de quem responde. 

Em minha opiniao, ainda h'a  muito trabalho a fazer para que a proposta
possa ser classificada,{sl cientificamente} e {sl pedagogicamente}, como {sl boa}. Curiosamente o
question'ario nao dedica grande atencao `a {sl qualidade} da proposta do ponto de vista de
organizacao e apresentacao do conte'udo cientifico propriamente dito. A preocupacao com
normas metodol'ogicas   tornou-se  tao obcessiva que se discute muito mais como ensinar do que a
mat'eria a ensinar. 

Ora, conv'em nao perder o sentido das proporcoes.  A Pedagogia e a  Metodologia
nao sao   ciencias exactas: as suas normas devem ser aplicadas com cautela e  validadas  pela
experiencia. Para mostrar que nao faco esta advertencia gratuitamente, consideremos o exemplo da
recomendacao sobre  ``abordagens de diferentes pontos de vista e progressivos niveis de rigor e
formalizacao'': trata-se de um principio que me parece inquestion'avel se aplicado a uma sucessao
de fases bem diferenciadas que se estendem por um periodo longo de aprendizagem. A sua aplicacao,
no caso presente, `a abordagem dos limites, conduziu `a extravagancia a que me referi no ponto 2.2. Em
consequencia,    acho legitimo por em d'uvida   que exista investigacao s'eria sobre a
aplicabilidade das normas tao insistentemente propostas {sl `a faixa et'aria e aos conte'udos em causa}. 

end

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Sobre a segunda versao do ajustamento de programas de Matem'atica para o
Ensino Secund'ario

L. Sanchez
Dep. Matem'atica, FCUL

1. Introducao

No coment'ario que redigi  sobre a proposta da Equipa T'ecnica (E.T.), em
Junho passado, explicitei as minhas divergencias relativamente ao conte'udo
daquele documento e indiquei qual o alinhamento de temas que me parecia
mais adequado. Fiz  parte da delegacao da S.P.M. que discutiu, com os
membros da E.T., as razoes dos diferentes pontos de vista. A E.T. redigiu
uma 2a versao da proposta de ajustamento, que agora est'a em discussao.
Nesta versao encontram-se, ao lado de  melhorias significativas em relacao
`a anterior,
certos aspectos negativos que abordarei em seguida. O meu objectivo 'e
contribuir para transformar a presente proposta, mediante um  minimo de
alteracoes de fundo, de modo a aproxim'a-la da que, em minha opiniao, seria
a adequada. Comentarei apenas o essencial, ou seja, o programa propriamente
dito (pp. 30-51). Desde j'a faco notar que, al'em de rearranjo de
mat'erias, e com uma 'unica excepcao (ver 3.8 adiante) tudo o que vou
propor sao cortes de mat'eria. Farei dois tipos de recomendacoes: sobre a
organizacao dos conte'udos e sobre aspectos pontuais do ``desenvolvimento''
de t'opicos e ``indicacoes metodol'ogicas''. Se proponho certas alteracoes
de pormenor 'e porque me parecem indispens'aveis. Inevitavelmente, alguns
dos argumentos que seguem repetirao os que utilizei anteriormente por
escrito ou em entrevista com a E.T..

2. Sobre a organizacao dos conte'udos

2.1. O primeiro t'opico de Geometria, no 10- ano - - Resolucao de problemas
de geometria no plano e no espaco -- deve ser retirado. S'o pode ter
sentido como recomendacao transit'oria. 'E um p'essimo principio incorporar
num programa que se pretende que vigore durante um periodo de tempo
razo'avel um t'opico tao indefinido. O argumento segundo o qual ele vai
preencher lacunas referentes a mat'eria nao dada em anos anteriores 'e
inadmissivel e poderia por-se a respeito de qualquer outra rubrica do
programa. Uma alternativa seria incluir uma revisao de alguns t'opicos
(exemplos: teorema de Thales, semelhanca de triangulos, paralelismo e
perpendicularidade) `a luz da 'algebra vectorial, conferindo maior
substancia a esta unidade de Geometria. 'E claro que tal procedimento
pressuporia o estudo do produto interno nesta fase.

2.2 O tema II do 11- ano --  {Introducao ao C'alculo Diferencial I} --
'e o que me parece mais infeliz em toda a proposta. Para al'em de repetir
t'opicos do tema  2 do 10- ano, versa uma mais que discutivel introducao `a
teoria dos limites e das derivadas. Nao consigo perceber a vantagem de
preceder o estudo minimamente rigoroso desta teoria (relegada para o 12-
ano) por uma {sl longa} abordagem que se pretende informal e de que {tudo}
vai ter que ser retomado, com apenas um ano de intervalo, para ser (digamos
assim) levado a s'erio. Nao rejeito `a partida que se abordem os temas sob
aspectos progressivamente mais elaborados, mas no caso presente, al'em de
julgar que se trata de uma  tremenda perda de tempo, tenho grandes d'uvidas
de que o ponto de vista proposto conduza a  uma concretizacao razo'avel
(para j'a nao dizer: sem graves erros pedag'ogicos) quer nos futuros
compendios, quer no dia-a-dia das aulas. Sejamos honestos: nao h'a
suficiente trabalho de investigacao no ambito da did'actica da Matem'atica
a este nivel que avalize um tal salto no escuro sem ter o cuidado de
prevenir os possiveis efeitos negativos. E, j'a que a E.T. gosta muito de
citar Sebastiao e Silva, quero seguir-lhe o exemplo remetendo para o que
este autor afirma no Compendio de Matem'atica  precisamente no inicio do
capitulo sobre limites de funcoes: ... em Matem'atica nao basta a intuicao:
'e preciso definir os conceitos com rigor l'ogico, para podermos sobre eles
raciocinar com inteira seguranca} (Texto-piloto, Lisboa, 1965-66).

Em suma, julgo que este tema deveria ser completamente revisto, sendo o seu
conte'udo mais equilibradamente distribuido (o que envolver'a revisoes nos
temas 3 do 11- ano e 2 do 12- ano.

2.3. Sobre aspectos pontuais
1. Eliminar a referencia `a familia de funcoes a|bx+c|+d (p. 33). Nao tem
qualquer interesse no contexto. E, j'a agora, note-se que um dos parametros
est'a a mais...

2. Eliminar o t'opico estudo gr'afico de inequacoes... com recurso `a
calculadora (p. 34). 'E gratuito e deseducativo a este nivel.

3. Eliminar o t'opico {sl an'alise dos efeitos das mudancas de parametros}
para as familias de funcoes indicadas na p. 40. Nao se percebe o que se
ganha com esta an'alise para estas funcoes.

4. Moderar o apelo ao uso indiscriminado da calculadora. Reflectir nas
possiveis consequencias nefastas de indicacoes metodol'ogicas como: os
estudantes... devem procurar formas pr'oprias de organizacao e expressao
(p. 42). Legitimar a auto-expressao implica aceitar muitas das maneiras
incorrectas de redigir ou falar sobre um tema. Isto vale para qualquer
disciplina; no caso da Matem'atica,  a ciencia do rigor por excelencia, 'e
catastr'ofico.

5. Eliminar todas as referencias `a axiom'atica das Probabilidades. Se se
pode discutir a oportunidade de apresentar um exemplo de desenvolvimento
axiom'atico no ensino secund'ario, tenho quase a certeza de que esta 'e a
pior escolha possivel -- pela abstraccao que envolve, ao lidar com uma
funcao definida num conjunto de conjuntos. Refira-se, a prop'osito, que a
recusa de tratar axiomaticamente a geometria nao pode ter um car'acter
absoluto (p. 31):  nao vejo como contornar a referencia a factos evidentes
(exemplo: por um ponto exterior a uma recta passa uma 'unica paralela a
essa recta; por tres pontos nao colineares passa um 'unico plano) que
certamente precisam de ser invocados na resolucao de exercicios que
envolvem pequenas justificacoes. Tais factos tem o papel de axiomas de um
ponto de vista ing'enuo.

6. Eliminar a referencia `a impossibilidade de ordenar o corpo complexo de
modo compativel (p. 48):
para os alunos que estao apenas a comecar a calcular com n'umeros complexos
este facto tem uma relevancia mais que duvidosa.

7. A obrigatoriedade de incluir referencias hist'oricas no programa 'e
absurda. Quando mal se comecam a aprender os rudimentos de uma disciplina,
o espirito (pelo menos o da maioria dos alunos) nao est'a maduro para a
quantidade e qualidade de informacao hist'orica proposta (p. 34, 35, 45,
47). A este respeito creio que a atitude razo'avel 'e deixar uma forte
recomendacao aos autores de manuais no sentido de incluirem apendices com
as notas hist'oricas que vem a prop'osito. Na pr'atica, destinam-se aos
alunos mais interessados. Quando reclamamos pela insuficiencia de tempos
lectivos nao podemos cair na tentacao do programa 'optimo sob pena de
sacrificarmos o bom.

8. Deve aproveitar-se o conhecimento do bin'omio de Newton para demonstrar
que a^n ^--> oo se a>1, e sugerir que do mesmo modo se prova que
a^n/n-->oo, a^n/n^-->oo... Sem este tipo de informacao a expressao
crescimento exponencial 'e mera ret'orica.

9. A infeliz expressao gr'afico completo (p. 34), vazia de sentido e
incompreensivel no contexto, nao deve, sob pretexto algum, figurar numa
proposta de programas de Matem'atica.


4. Coment'ario final
Ao solicitar pareceres sobre a proposta, o Departamento do Ensino
Secund'ario pede que se tenha em conta uma determinada lista de indicadores
de verificacao, organizada sob a forma de question'ario. `As questoes 1.1 e
3.1 responderei genericamente {sl sim}. Nao tenho informacao suficiente
para responder `a pergunta 2. `A questao 3.4 respondo  {sl sim}, com as
reservas constantes das criticas acima  As questoes 1.2 e 3.3 merecem por
si s'o alguns coment'arios, extensiveis ao subtexto de 3.2 e 3.4. Indagam
sobre a observacao das orientacoes metodol'ogicas e da compatibilidade
entre os m'etodos ({sl metodologias} deve ser lapso) de ensino propostos e
os professores e alunos que temos ou vamos ter a curto prazo. Nao
pretendendo repetir as
consideracoes que fiz no documento anterior sobre os pressupostos
metodol'ogicos que (por indicacao do pr'oprio Minist'erio) amarram `a
partida os programas a determinados estereotipos,  quero exprimir desacordo
com o espirito subjacente `a insistencia  neste g'enero de afericao, que
nao s'o desloca a atencao do essencial como se presta a uma avaliacao de
pendor vincadamente burocr'atico. Responder-lhes sim pode ter conotacao
positiva ou negativa, dependendo da ideologia de quem responde.

Em minha opiniao, ainda h'a  muito trabalho a fazer para que a proposta
possa ser classificada, cientificamente e pedagogicamente, como boa.
Curiosamente o question'ario nao dedica grande atencao `a qualidade da
proposta do ponto de vista de organizacao e apresentacao do conte'udo
cientifico propriamente dito. A preocupacao com normas metodol'ogicas
tornou-se  tao obcessiva que se discute muito mais como ensinar do que a
mat'eria a ensinar.

Ora, conv'em nao perder o sentido das proporcoes. A Pedagogia e a
Metodologia nao sao ciencias exactas: as suas normas devem ser aplicadas
com cautela e validadas  pela experiencia. Para mostrar que nao faco esta
advertencia gratuitamente, consideremos o exemplo da recomendacao sobre
``abordagens de diferentes pontos de vista e progressivos niveis de rigor e
formalizacao'': trata-se de um principio que me parece inquestion'avel se
aplicado a uma sucessao de fases bem diferenciadas que se estendem por um
periodo longo de aprendizagem. A sua aplicacao, no caso presente, `a
abordagem dos limites, conduziu `a extravagancia a que me referi no ponto
2.2. Em consequencia, acho legitimo por em d'uvida que exista investigacao
s'eria sobre a aplicabilidade das normas tao insistentemente propostas {sl
`a faixa et'aria e aos conte'udos em causa.



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Joao Pedro da Ponte
Departamento de Educacao da Faculdade de Ciencias
Universidade de Lisboa

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tel. office (351-1)-7573141 ext 1103 or 2012
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X-Comment:  Educacao em Matematica

Parecer


        A Seccao de Educacao e Matema=B4tica da Sociedade Portuguesa de
Ciencias de Educacao, tendo reunido o seu Conselho de Seccao para analisar
a Segunda Versao da Proposta de Ajustamento dos Novos Programas de
Matema=B4tica do Ensino Secunda=B4rio, considera verificar-se uma assinala=
=B4vel
melhoria em relacao 'a primeira versao. Esta Seccao regista com satisfacao
diversas alteracoes, muitas das quais concordantes com as suas propostas
anteriores:

        * Um reforco das sugestoes positivas relativamente ao uso de
calculadoras gra=B4ficas e, muito em especial, de computadores;

        * A referencia, agora frequente ao longo do programa, 'a
possibilidade de realizacao de pequenas investigacoes por parte dos alunos;

        * Uma substancial melhoria na formulacao dos objectivos e conteudos
da unidade inicial de geometria do 10- ano;

        * O aligeiramento do estudo de familias de funcoes;

        * O ressurgimento de distribuicoes estatisticas bidimensionais e
dos conceitos de correlacao e regressao;

        * A apresentacao da axioma=B4tica das probabilidades para o caso
finito e o ressurgimento da distribuicao binomial;

        * O desaparecimento de um capitulo fixo sobre logica, tendo sido
aligeirado e passado a "capitulo flutuante", fazendo-se agora uma
referencia 'a modelacao matema=B4tica;

        * Uma reducao do peso atribuido ao estudo dos numeros complexos,
que surgem agora articulados com a trigonometria;

        * O surgimento de referencias diversas 'as conicas, distribuidas ao
longo de diversos capitulos do programa;

        A organizacao geral do programa melhorou, especialmente no
desenvolvimento dos conteudos e indicacoes metodologicas (agora
apresentados em duas colunas). No entanto, a segunda versao do ajustamento
do programa, tal como esta=B4, nao e' um documento auto-suficiente, na medid=
a
em que faz numerosas referencias ao programa em vigor. Esta Seccao
considera que seria de toda a vantagem produzir um documento unico,
devidamente articulado e com toda a informacao relevante.
        Ha=B4 diversos pontos da proposta que merecem, contudo, reparos da
nossa parte:

        * A nocao de gra=B4fico completo (que surge na p. 34), nao nos parec=
e
adequada. O conceito de gra=B4fico, apesar de ser definido, nao tem muita
relevancia neste nivel de ensino. Os alunos trabalham e' com representacoes
gra=B4ficas, que no caso particularmente importante de funcoes de dominio ou
contradominio ilimitado, apenas representam uma restricao da funcao. Ale'm
disso, o termo "completo" aponta para uma auto-suficiencia da informacao
obtida a partir do gra=B4fico que nao se verifica em muitos casos, em que e'
necessa=B4rio articular o estudo gra=B4fico e o analitico.

        * Tambe'm nao nos parece feliz a designacao de "gra=B4fico concreto"
(p. 33). Sera=B4 que se poe a hipotese de estudar gra=B4ficos abstractos?!

        * Faz-se referencia 'a definicao informal de funcao (p. 33); neste
nivel eta=B4rio, todas as definicoes em matema=B4tica podem ser vistas como
formais ou informais, conforme o ponto de vista adoptado. Do ponto de vista
da logica Matema=B4tica elas sao certamente informais. Do ponto de vista dos
alunos elas surgem como extremamente formais. Uma vez que os alunos ja=B4
trabalharam com funcoes no 3- ciclo, e' de esperar que possam agora lidar
com o conceito num maior nivel de formalizacao, pelo que sugerimos que se
faca apenas referencia 'a definicao de funcao omitindo os qualificativos
"formal" ou "informal".

        * Os extractos de textos do Prof. Jose' Sebastiao e Silva sao
documentos a todos os titulos nota=B4veis, sobretudo tendo em conta a e'poca
em que foram escritos. Trata-se de textos que deveriam ser bem conhecidos
dos professores. Pela sua natureza, discordamos, no entanto, que sejam
colocados "como parte integrante do programa".

        Duma maneira geral parece-nos que a equipa te'cnica desempenhou as
suas funcoes de forma criativa, responsa=B4vel e dialogante, no quadro legal
existente e dentro da tarefa que lhe foi cometida.
        Em sintese, consideramos esta nova versao poder contribuir para uma
melhoria relativa do ensino da Matema=B4tica neste nivel, sem esquecer. no
entanto, que a solucao dos problemas de fundo passa por outras medidas, tal
como apontado no nosso anterior parecer. Em particular impoe-se acabar com
a absurda medida de limitacao da escolaridade em Matema=B4tica em 4 horas
para todos os alunos neste nivel de ensino.

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