Arquivo de Dúvidas

Nesta página estão compiladas as dúvidas respondidas nas várias páginas de apoio a aulas do Nonius.

Índice:

Dúvidas respondidas:

Equações diferenciais elementares

At 12:03 98/02/02, Santana e Silva wrote:

>>Equa›es diferenciais elementares. Ex. 27


Como nao me diz o que pretende do exercicio nao sei se
o posso ajudar cabalmente.

O exercicio fala da lei do arrefecimento de Newton.
Seja T(t) a varia‹o da temperatura de um objecto
em fun‹o do tempo. A lei de Newton diz que

dT/dt = k (M - T(t))

onde k e' uma constante a determinar e M
e' a temperatura do meio ambiente circundante.

Pode resolver esta equa‹o diferencial em T(t)
em fun‹o de k e M, aparecendo uma constante
C de integra‹o.

Os valores de k, M e C podem ser determinados
com os restantes dados do problema.

Ja' esta' mais claro?

Bom trabalho,

 

Dúvida sobre integrais


From: Pedro Luís <....@esoterica.pt>
To: 
Subject: Dúvida sobre integrais
Date: Fri, 28 May 1999 15:59:48 +0100

    A minha dúvida é a seguinte, o  integral:
|(x^2)/(x-1) dx
é imediato ou não.   Isto porque a única maneira que eu 
encontrei de o  resolver foi através da integração por partes, 
o que demora bastante  tempo.   Desde já muito obrigado.
Pedro  Luís.

 

To: Pedro Luís <....@esoterica.pt>
From: Jaime Carvalho e Silva 
Subject: Re: Dúvida sobre integrais


Refere-se a 


/   x^2
| -------- dx    ?
/   x-1


Neste caso, deve começar por efectuar a divisao do polinomio
x^2 pelo polinomio x-1
Da' x+1 como quociente e 1 como resto. Assim


/   x^2            /               1
| -------- dx  =   | ( x + 1 + --------) dx  
/   x-1            /              x-1


e este integral, como vê, é fácil de calcular.
Sempre que tiver um quociente de dois polinomios
e o do numerador tiver maior grau
que o do denominador deve divdir ate' obter uma fraccao
em que o numerador tem grau inferior ao
do denominador, que e' obviamente mais facil de integrar.

Cumprimentos,
Jaime Carvalho e Silva

 

calcular primitivas



To: Nuno Ricardo Simoes Ferreira <...@student.dei.uc.pt>
From: Jaime Carvalho e Silva 
Subject: Re: Form posted from Mozilla
Cc: 
Bcc: 
X-Attachments: 

>A:FROM=Analise Matematica Aplicada
>B:CAPÕTULO=CAPÕTULO III equaÁžes diferenciais elementares
>D:NAME=Nuno Ferreira
>E:EMAIL=...@student.dei.uc.pt
>F:COMMENTS=Ao resolver os problemas do livro de exercÌcios defrontei-me com um
>
>problema: n“o consigo encontrar nas tabelas de primitivas, uma fÛrmula
>
>que me permita calcular primitivas do gÈnero:
>
>P[ x^2 * e^(-x) ]
>
>P[ x * sen(x) ]
>
>P[ sen(x) * e^(5x) ]
>

Estas primitivas calculam-se todas por partes.
A regra geral (veja no livro de texto)
e' comecar pelo factor que *menos* se simplifica por derivacao.
Assim, se comecar por

e^(-x)

sen(x)

respectivamente, vera' como se resolvem os dois primeiros.

O terceiro e' diferente. Nenhum dos factores
se simplifica por derivacao.
Comeca por um deles e primitiva por partes
duas vezes comecando sempre pelo mesmo factor.
Vera´que, a menos de um factor, "regressa" ao principio.
Obtem assim uma equacao em que a
incognita e' exactamente P[ sen(x) * e^(5x) ].
Resolve essa equacao e esta' o problema resolvido.

Bom trabalho,
Jaime

 

desenvolvimento em serie de potencias


 From: "Silvino Rodrigues" ......
 To: <jaimecs@mat.uc.pt>
 Subject: Dúvida
 Date: Sun, 24 Nov 1996 18:46:47 +0100
 X-Msmail-Priority: Normal
 X-Priority: 3
 Mime-Version: 1.0

 Não consigo resolver o exercício 3 do exame da época
 normal de 95/96, pretendia saber onde posso encontrar a resolução, 
 ou receber dicas para a resolução.
 Peço desculpas mas enviei a dúvida através da sua 
 página, mas algo deve ter falhado da minha parte, desde já 
 agradeço a atenção dispensada. Os meus parabéns 
 pelo uso das novas tecnologias para ajudar os alunos.
 -------------------

 Date: Mon, 25 Nov 1996 00:17:26 +0000
 To: "Silvino Rodrigues" ......
 From: jaimecs@mat.uc.pt (Jaime Carvalho e Silva) 
 Subject: Re: Dúvida
 Cc:
 Bcc:
 X-Attachments:

 At 18:46 96/11/24, Silvino Rodrigues wrote:
 >Não consigo resolver o exercício 3 do exame da época 
 >normal de 95/96, pretendia saber onde posso encontrar a resolução, 
 >ou receber dicas para a resolução.

 Eis umas indicacoes para a resolucao:

 a) Derivas a funcao f. Mudas a variavel x para a variavel y atraves de x=ty no
 integral da funcao h de modo a obter o integral anterior.
 b) E' so' substituir no desenvolvimento em serie de potencias da exponencial.
 c) Para todos os valores de x e t (por a serie para a exponencial ser 
 convergente em todo o R)
 d) Basta usar o criterio de Weierstrass (com t fixo) e) E' so' integrar termo a 
 termo a serie de b)
 f) Derivando termo a termo a serie obtida anteriormente para g obtem-se logo a 
 serie para a funcao h.
 Como f' = -h, vem (f+g)'=f'+g'=-h+h=0. Logo f+g e' constante em R.
 g) Por exemplo K=f(0)+g(0). Temos f(0)=0, e g(0) e' facil de calcular;
 e' igual a Pi/4.

 Se ainda subsistirem duvidas, e' so' dizer.

 Cumprimentos,


equação diferencial


 To: jaimecs@mat.uc.pt
Date: 	Tue, 27 Jan 1998 04:22:37 -0700
From: "Tiago Miguel Sousa" <...>
Organization: MailExcite  (http://www.mailexcite.com)

Seja f uma função derivavel em [0,2]que verifica

  (1)         2*int(0,x) f(t) dt = x*f(x)+ x^3cos(x)

    (a)Identifique a equação diferencial satisfeita por        f.
  
    (b)Determine a solução de (1) que verifica        f(pi/2)=0.

nota: int(0,x)=integral de 0 a x.

 

Date: Wed, 28 Jan 1998 00:56:09 +0000
To: "Tiago Miguel Sousa" <...>
From: Jaime Silva 
Subject: Re: Duvidas

As 4:22 -0700 de  98/01/27, Tiago Miguel Sousa escreveu:
>Seja f uma função derivavel em [0,2]que verifica
>
>  (1)         2*int(0,x) f(t) dt = x*f(x)+ x^3cos(x)
>
>    (a)Identifique a equação diferencial satisfeita por        f.


Como a derivada de

int(0,x) f(t) dt

e' f(x) entao basta derivar (1) em ordem a x
para obter uma equacao sem integrais (que sera'
uma equacao diferencial por causa do f(x)
no segundo membro).


>  
>    (b)Determine a solução de (1) que verifica        f(pi/2)=0.


Em vez de resolver (1) vamos resolver
a equacao diferencial obtida em (a) que
e' equivalente a (1).
A constante arbitraria que e' obtida 
na resolucao da equacao diferencial e' determinada
usando a condicao f(pi/2)=0.

 

mudanga de variavel num integral definido

injectividade

função integravel


To: jaimecs@mat.uc.pt
Date:   Wed, 28 Jan 1998 05:55:42 -0700
From: "Tiago Miguel Sousa" <...>
Subject: (No Subject)
Organization: MailExcite  (http://www.mailexcite.com)

Obrigado por responder a dzvida que lhe coloquei ontem e desde ja agradego que me
responda as seguintes questoes:
1:-Quando pretendemos fazer uma mudanga de variavel num integral definido temos que
nos assegurar que a fungao que vamos substituir seja sobrejectiva,para alim de outras
condigues. Queria saber se existe algum modo, excluindo pela definição ou através
do grafico da função, de averiguar se uma determinada função h sobrejectiva. Ex. Cap.IV
ex.38 livro de exercmcios.

2:-Como se prova a injectividade de uma função através da definição? Existe mais
algum modo sem ser graficamente?

3:-Como se mostra,através da definição,que uma função i integravel? Ex.7 Cap.IV livro
de exercmcios.

OBRIGADO.



Free web-based email, Forever, From anywhere!
http://www.mailexcite.com
 

Date: Wed, 28 Jan 1998 21:55:13 +0000
To: "Tiago Miguel Sousa" <...>
From: Jaime Silva 
Subject: Re: (No Subject)

As 5:55 -0700 de  98/01/28, Tiago Miguel Sousa escreveu:
>Obrigado por responder a dzvida que lhe coloquei ontem e desde ja agradego
>que me
>responda as seguintes questoes:
>1:-Quando pretendemos fazer uma mudanga de variavel num integral definido
>temos que
>nos assegurar que a fungao que vamos substituir seja sobrejectiva,


Nao e' bem isso. So' temos de verificar que

f(a)=c
f(b)=d

Isso nao significa que a funcao transforme o intervalo
[a,b] no intervalo [c,d]. Pode perfeitamente nao acontecer.

>para alim de outras
>condigues. Queria saber se existe algum modo, excluindo pela definição ou
>através
>do grafico da função,de averiguar se uma determinada função h
>sobrejectiva. Ex. Cap.IV
>ex.38 livro de exercmcios.


Pode-se fazer a analise tambem pelos intervalos de monotonia.


>
>2:-Como se prova a injectividade de uma função através da definição?
>Existe mais
>algum modo sem ser graficamente?

Pode-se aplicar directamente a definicao ou
a condicao equivalente

f(x)=f(y) implica x=y

para todo o x e y do dominio.


>
>3:-Como se mostra,através da definição,que uma função é integravel? Ex.7
>Cap.IV livro
>de exercmcios.

E' preciso usar directamente a definicao
tal como e' feito no exemplo IV.3.1

 

primitiva de 2logx


From: "JosŽ Santos" <...>
To: 
Subject: Poss’vel errata
Date: Thu, 29 Jan 1998 19:02:14 -0000

  Senhor Professor, tenho uma dœvida acerca da resolu‹o do 4¼ exerc’cio da frequncia de 19/02/1996.
  Neste exerc’cio Ž nos pedido para calcular a primitiva de:
   2logx
---------------
x(1-log^4x)
   Obtive o resultado seguinte:
argtanh(log^2x)+C
   O que Ž um resultado totalmente diferente do seu.
   Fico a espera da sua resposta, obrigado.

 


To: "JosŽ Santos" <...>
From: jaimecs@mat.uc.pt (Jaime Carvalho e Silva)
Subject: Re: Poss’vel errata

At 19:02 98/01/29, JosŽ Santos wrote:
>>  Senhor Professor, tenho uma dœvida acerca da resolu‹o do 4¼ exerc’cio da frequncia de 19/02/1996.
>>  Neste exerc’cio Ž nos pedido para calcular a primitiva de:
>>   2logx
>>---------------
>>x(1-log^4x)
>>   Obtive o resultado seguinte:
>>argtanh(log^2x)+C
>>   O que Ž um resultado totalmente diferente do seu.


Os resultados nao precisam der ser iguais,
bastam que difiram por uma constante o que e' o caso.
Ambos estao por isso certos.

Se quiser verificar podera' derivar o resultado
e verificar que a derivada e' realmente a mesma.

 

funcoes de igual derivada num intervalo


A:FROM=Analise Matematica Aplicada
B:CAPÍTULO=CAPÍTULO II derivadas e primitivas
D:NAME=Ana Alexandra Barros
E:EMAIL=<...>
F:COMMENTS=No exercício 42 alínea F,não consigo estruturar a resposta porque não

percebo porquê que não diferindo por uma constante,se f não tiver sinal constante,este facto não contradiga a teoria geral.

A resposta das soluções explica que é por o domínio não ser um intervalo.¤

 


Date: Tue, 3 Feb 1998 02:50:26 +0000
To: "Ana Alexandra Barros" <...>
From: Jaime Silva 
Subject: Re: Form posted from Microsoft Internet Explorer.

As 0:48 +0000 de  98/01/10, voce escreveu:
>No exercício 42 alínea F,não consigo estruturar a resposta porque não
>percebo porquê que não diferindo por uma constante,se f não tiver sinal constante,este facto não contradiga a teoria geral.
>A resposta das soluções explica que é por o domínio não ser um intervalo.¤


O Teorema II.7.2 da pagina 63 do Livro de Texto diz que se duas
funcoes tiverem igual derivada num intervalo entao
diferem por uma constante.
Logo se as funcoes g e h do exercicio
referido tem igual derivada parece que deveriam diferir
por uma constante. Mas nao diferem. Porque^? Porque
o teorema II.7.2 so' se pode aplicar quando
o dominio for um intervalo, o que nao e' o caso
do exercicio pois o dominio e' R menos o ponto zero
que da' a uniao de dois intervalos e nao so' um intervalo.


 

exercicio de primitivação


From: "Tito Nuno Alves Santos" <...>
To: 
Subject: Calculo de primitivas
Date: Fri, 23 Jan 1998 01:37:43 -0000

Saudagues.

I por este meio que venho colocar a V. Ex.* uma dzvida sobre um exercicio
de primitivação encontrado num exame tipo de 96/97 da Universidade do
Minho, na qual sou estudante de Eng. Civil.
O referido exame modelo apresenta a seguinte questco:

Calcule:

P (x^2-1)/(x^5+2x^4+x)

O referido exercicio parece que contem uma gralha.

Gostaria tambim que me elucidasse nos dois seguintes exercicios:

1. Escreva uma parametrização do tipo x=x(t) e y=y(t) para uma curca que
contenha os pontos (-1,0), (0,0) e (1,0).

2. A derivada de uma função y definida implicitamente por e^y=x+y i ...

(Nota: a^b significa a elevado a b)

Aguardando resposta, subscrevo-me atenciosamente

Tito Nuno Alves Santos



To: "Tito Nuno Alves Santos" <...>
From: jaimecs@mat.uc.pt (Jaime Carvalho e Silva)
Subject: Re: Calculo de primitivas

At 1:37 98/01/23, Tito Nuno Alves Santos wrote:
>>Saudagues.
>>
>>I por este meio que venho colocar a V. Ex.* uma dzvida sobre um exercicio
>>de primitivação encontrado num exame tipo de 96/97 da Universidade do
>>Minho, na qual sou estudante de Eng. Civil.
>>O referido exame modelo apresenta a seguinte questco:
>>
>>Calcule:
>>
>>P (x^2-1)/(x^5+2x^4+x)
>>
>>O referido exercicio parece que contem uma gralha.
>>

As gralhas sao as coisas mais frequentes neste mundo para quem escreve.
Sabes como fazer o exercicio? Entao e' quanto basta e nao te
preocupes com as gralhas!


>>Gostaria tambim que me elucidasse nos dois seguintes exercicios:
>>
>>1. Escreva uma parametrização do tipo x=x(t) e y=y(t) para uma curca que
>>contenha os pontos (-1,0), (0,0) e (1,0).
>>

Nao achas que uma recta passa por esses tres pontos?
Escolhendo assim a solucao mais facil
podera' ser:

x(t)=t
y(t)=0

>>2. A derivada de uma função y definida implicitamente por e^y=x+y i ...
>>
>>(Nota: a^b significa a elevado a b)
>>

O i do enunciado e' uma constante?

Derivando em ordem a x

d(e^y)/dx = e^y dy/dx 

d(x+y i)/dx = 1 + dy/dx i

Logo

dy/dx = 1/(e^y - i)



porque a integral 1 sobre x e' lnx


Date: Wed, 30 Oct 1996 19:07:40 -0400 (AST)
From: flavia sueli fabiani ...............
Subject: question
To: jaimecs@mat.uc.pt
Mime-Version: 1.0

Caro professor Jaime

Meu nome e Flavia S. Fabiani e sou aluna do curso de pos-graduacao , nivel de mestrado, da Universidade Estadual Paulista - Campus de Rio Claro,Sao Paulo, Brasil.
Estou lhe escrevendo pois tomei conhecimento de um livro seu e de um outro professor, Carlos Leal, com o titulo Analise Matematica Aplicada. A questao e que eu faco parte de um grupo de estudos em Resolucao de Problemas e estamos estudando, no momento, sobre logaritmo. Desenvolvemos uma proposta de logaritmo via resolucao de problemas que sera aplicada no primeiro ano do curso de Fisica da referida Universidade. A minha duvida e porque a integral 1 sobre x e lnx , pois nao aceitamos este resultado apenas como uma definicao, deve ter uma porque, que preciso descobrir para poder explicar para os alunos. Por isso quando vi o seu livro e que tem um capitulo dedicado a logaritmo pensei que o senhor poderia nos ajudar.
Espero que tenha sido clara.
Antecipadamente agradeco, Flavia.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Date: Thu, 31 Oct 1996 10:59:21 +0000
To: flavia sueli fabiani ............
From: jaimecs@mat.uc.pt (Jaime Carvalho e Silva)
Subject: Re: question
Cc:
Bcc:
X-Attachments:

At 19:07 96/10/30, flavia sueli fabiani wrote:
> Caro professor Jaime
>
> Meu nome e Flavia S. Fabiani e sou aluna do curso de >pos-graduacao , nivel de mestrado, da Universidade Estadual Paulista - >Campus de Rio Claro,Sao Paulo, Brasil.
> Estou lhe escrevendo pois tomei conhecimento de um livro seu e de >um outro professor, Carlos Leal, com o titulo Analise Matematica >Aplicada. A questao e que eu faco parte de um grupo de estudos em >Resolucao de Problemas e estamos estudando, no momento, sobre logaritmo.

Muito prazer em contactar consigo,
e ainda bem que recebo feedback de quem le^
os meus livros.
Estarei sempre 'a sua disposicao para
conversas Internetianas.


>Desenvolvemos uma proposta de logaritmo via resolucao de problemas que >sera aplicada no primeiro ano do curso de Fisica da referida >Universidade. A minha duvida e porque a integral 1 sobre x e lnx , pois >nao aceitamos este resultado apenas como uma definicao, deve ter uma >porque, que preciso descobrir para poder explicar para os alunos. Por >isso quando vi o seu livro e que tem um capitulo dedicado a logaritmo >pensei que o senhor poderia nos ajudar.

Ora bem, esta e' uma historia muito comprida.
Quando apareceram os logaritmos nao foram definidos a partir dos integrais. Foram definidos observando relacoes entre progressoes aritmeticas e geometricas. Mas desde logo se gerou muita controversia sobre as propriedasde dos logaritmos, em particular qual seria o significado dos logaritmos dos numeros negativos. Esta controversia e' celebre.
Actualmente um modo expedito de definir logaritmo e' usando o integral, apenas porque se podem deduzir facilmente as principais propriuedades do logaritmo a partir das propriedades do integral.
Mas nao e', como bem observou, uma definicao natural. Contudo baseia-se na observacao, ja' antiga
e vista por matematicos da epoca,
de a area sob uma hiperbole crescer como uma
progressao aritmetica de uma progressao geometrica da varivel independente.
A definicao mais usual e' contudo do logarimto como funcao inversa da funcao exponencial.
A partir dai' prova-se que

integral entre 1 e x de 1/t dt = ln x

sabendo apenas que uma primitiva de

1/t e' ln t, ou que
a derivada de ln t e' 1/t.
Claro que e' preciso ter ja' definido logaritmo
para poder utilizar este resultado, mas isso
nao e' complicado pois
"a derivada de ln t e' 1/t"
deduz-se de
"a derivada de ln t para t = 1 e' 1"
que e' equivalente a
"a derivada de e^u para u = 1 e' 1"
por simples mudanca de variavel t = e^u no limite que define a derivada.

> Espero que tenha sido clara.

Eu tambem espero, mas se tiver alguma duvida,

por favor diga que eu tentarei esclarece-la.

Cumprimentos


Progressao geometrica


Date: Sun, 31 Mar 1996 22:35:18 +0200 (MET DST)
From: Gustavo ASR Felisberto <...@cygnus.ci.uc.pt>
Subject: Progressao geometrica

Professor Jaime Carvalho e Silva:

Logo no inicio do Capitulo IX do seu livro teorico refere que visto Pn(x)
se tratar da soma dos termos de uma progressao geometrica se poderia
escrever como (1-x^(n+1))/(1-x).

Sendo esta uma progressao de razao x e de primeiro termo 1 e de acordo com
outros manuais que consultei a soma de n termos da progressao deveria ser
(1-x^n)/(1-x), mas testando para por exemplo n=6 e x=5 segundo a expressao
por si apresentada (1-x^(n+1))/(1-x) da um resultado de 19531 a que eu
encontrei nas outras referencias indicava apenas 3906, e o valor para
1+5+5^2+5^3+5^4+5^5=3906. Eu entendo que para valores muito grandes de n a
diferenca de 1 no expoente deixe de ser significativa (5^123456789 deve
ser bastante proximo de 5^123456788 :) , e ainda que no contexto da
continuacao da demonstracao x^(n+1) seja mais conveniente, mas gostava de
saber se existem outras razoes para ser apresentado assim.....(ou sera que
eu errei algures aqui pelo meio ?????)

Agradecido pelo tempo que lhe roubo

Gustavo A.S.R. Felisberto AKA Humpback
...@cygnus.ci.uc.pt / EU at IRC
http://www.ci.uc.pt/~humpback

"They are not men, walking in the streets below"

------------------------------------------------------


Date: Sun, 8 Jun 1997 15:05:55 +0000
To: Gustavo ASR Felisberto <...@cygnus.ci.uc.pt>
Subject: Re: Progressao geometrica

>Professor Jaime Carvalho e Silva:
>
>Logo ni inicio do Capitulo IX do seu livro teorico refere que visto Pn(x)
>se tratar da soma dos termos de uma progressao geometrica se poderia
>escrever como (1-x^(n+1))/(1-x).
>
>Sendo esta uma progressao de razao x e de primeiro termo 1 e de acordo com
>outros manuais que consultei a soma de n termos da progressao deveria ser
>(1-x^n)/(1-x), 


Ha' uma gralha na indicacao do numero de termos.
Sao n+1 termos e nao n termos. Os termos ai' indicados
sao 

1 + x + x^2 + ... + x^n

ou

x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n

e, como facilmente observa, sao realmente n+1 termos.


>mas testando para por exemplo n=6 e x=5 segundo a expressao
>por si apresentada (1-x^(n+1))/(1-x) da um resultado de 19531 a que eu
>encontrei nas outras referencias indicava apenas 3906, e o valor para
>1+5+5^2+5^3+5^4+5^5=3906. 

N‹o sei que contas fez mas eu obtive (numa calculadora TI-92)

1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 = 3906

1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6 = 19531

e tambem

(1-x^5)/(1-x) |         = 781
              | x = 5


(1-x^6)/(1-x) |         = 3906
              | x = 5


(1-x^7)/(1-x) |         = 19531
              | x = 5

Ou seja, de acordo com a formula indicada.

>Eu entendo que para valores muito grandes de n a
>diferenca de 1 no expoente deixe de ser significativa (5^123456789 deve
>ser bastante proximo de 5^123456788 :) , e ainda que no contexto da
>continuacao da demonstracao x^(n+1) seja mais conveniente, mas gostava de
>saber se existem outras razoes para ser apresentado assim.....(ou sera que
>eu errei algures aqui pelo meio ?????)


A diferenca pode ser pequena mas nem sempre as diferencas
pequenas sao inocentes.
Pense na serie harmonica que e' divergente
e na serie de termo geral

 1
---
n^a

com a>1 e tao perto de 1 quanto quiser.
Ja' da' uma serie convergente.



Teorema Fundamental do Calculo Integral


Date: Wed, 3 Feb 1999 16:04:00 +0000
To: Francisco Pinto de Almeida <......@mail.telepac.pt>
From: Jaime Silva 
Subject: Re: Form posted from Mozilla
Cc: 
Bcc: 
X-Attachments: 

>A:FROM=Analise Matematica Aplicada
>B:CAPÕTULO=CAPÕTULO II derivadas e primitivas
>D:NAME=Francisco Pinto de Almeida
>E:EMAIL=...@mail.telepac.pt
>F:COMMENTS=Ex.mo Sr. Professor Jaime Carvalho e Silva
>
>
>
>Venho por este meio, pedir, se possivel, que me envie a resolucao do problema 1
>
>do exame de recurso de 2 de Setembro de 1997.
>
>
>
>Com os meus agradecimentos,
>
>Francisco Pinto de Almeida.

Deduzo que se refira ao exame que esta' em


http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/am97/ex2/ex2.html

Do grafico observa-se que a funcao e' continua
(na ausencia de mais informacoes vamos supor
que a funcao e' efectivamente continua
em todo o dominio visivel [0,5]).
Nessas condicoes pode-se aplicar o
Teorema Fundamental do Calculo Integral
para concluir que

F'(x)=f(x) em [0,5]

Logo

F'(2) = f(2)

Do grafico observamos que
f(2) e' aproximadamente igual a 3,
pelo que podemos concluir que
F'(2) e' aproximadamente igual a 3.



hiperbole


Date: Thu, 25 Feb 1999 00:42:45 +0000
To: .....@hotmail.com
From: Jaime Silva 
Subject: Re: Formulário enviado a partir do Microsoft Internet Explorer.
Cc: 
Bcc: 
X-Attachments: 

>A:FROM=Analise Matematica Aplicada
>B:CAPÕTULO=CAPÕTULO I funÁžes
>D:NAME=jorge
>E:EMAIL=....@hotmail.com
>F:COMMENTS=preciso urgentemente de um trabalho sobre a hiperbole
>
>agradecia que me enviassem alguns tÛpicos sobre o assunto$

Que tipo de trabalho? Que tipo de topicos?

No livro "Analise Matematica Aplicada"
ha' um paragrafo sobre as equacoes
parametricas da hiperbole? Serve?

Ou quer antes um sitio da Internet?
Como

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Hyperbola.html

http://www.best.com/~xah/SpecialPlaneCurves_dir/Hyperbola_dir/hyperbola.html

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/gray10.2.298.html

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/komatireddy4.6.98.html

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/ryuen.8.7.96.html

http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/gauteaux4.27.98.html


Se nao for isto, diga.



integrais


Date: Fri, 19 Feb 1999 23:27:48 +0000
To: "António Pinho" <.....@ip.pt>
From: Jaime Silva 
Subject: Re: Formulário enviado a partir do Microsoft Internet Explorer.
Cc: 
Bcc: 
X-Attachments: 

>A:FROM=Analise Matematica I
>B:CAPÕTULO=CAPÕTULO IV c·lculo integral
>D:NAME=Kenny
>E:EMAIL=.....@ip.pt
>F:COMMENTS=Gostaria de uma ajuda para resolver estes integrais:
>
>
>
>1. Integra( (1+x^2)^(1/2), x)
>


Resolve-se com uma substituição directa da
tabela, fazendo x = tan t


>2. Integra( (1+x^2)^(-1/2), x)
>
>

Também pois é da mesma forma uma função racional
de (1+x^2)^(1/2) uma expressão da forma
(a^2 + b^2 x^2)^(1/2)

Veja tabela, pg. 104, do Livro "Principios de
Analise Matematica Aplicada"



dissima periodica


At 15:00 -0300 21.02.2000, Henrique Brenner wrote:
>A:FROM=Analise Matematica Aplicada
>B:CAPITULO=CAPITULO III equações diferenciais elementares
>D:NAME=paula
>E:EMAIL=paula.andrade@....com.br
>F:COMMENTS=Preciso resolver urgente  a dissima periodica (transformando em fração)
>
>
>
>0,5333
>
>
>
>Preciso da resposta urgente.


0,5333... = 0,5 + 0,03 + 0,003 + 0,003 + ...
          
Mas 0,03 + 0,003 + 0,003 + ... é uma série geométrica
de razão 0,1 e primeiro termo 0,03.
Logo a sua soma e' 

  0,03
---------
 1 - 0,1

ou seja

  1
-----
 30

Logo

0,5333... = 0,5 + 0,03 + 0,003 + 0,003 + ...

             1      1
          = --- + ------
             2      30

              16
          = ------
              30

Pode verificar com uma calculadora que esta fracção 
e' realmente a procurada.


Bom trabalho,


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Ultima alteração: 21 de Fevereiro de 2000