LIVRO I. DOS ELEMENTOS
DE
EUCLIDES

PROP. XLV. THEOR.

Construir um parallelogrammo egual a uma figura rectilinea qualquer dada, e com um angulo egual a outro angulo dado ( Fig. 67 ).

Fig. 67

Seja dado o rectilineo ABCD, e o angulo rectilineo E. Deve-se construir um parallelogrammo egual ao rectilineo ABCD, e com um angulo egual ao angulo E.

Tire-se a recta DB, e faça-se ( Pr. 42, 1 ) o parallelogrammo FH egaul ao triangulo ADB, e com o angulo HKF=E. Sobre a recta GH faça-se ( Pr. 44, 1 ) o parallelogrammo GM egual ao triangulo DBC com o angulo GHM=E. Sendo o angulo E egual ao angulo FKH, e tambem egual a GHM, será FKH=GHM. Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo KHG. Os angulos FKH, KHG serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Logo os dous KHG, GHM serão tambem eguaes a dous rectos. Logo KH estará em direitura ( Pr. 14, 1 ) com HM. E porque as parallelas KM, FG são cortadas pela recta HG, os angulos alternos MHG, HGF são eguaes ( Pr. 29, 1 ). Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo HGL. Logo os angulos MHG, HGL são eguaes aos angulos HGF, HGL. Mas MHG, HGL são eguaes a dous rectos. Logo tambem HGF, HGL serão eguaes a dous rectos. Logo a recta FG está em direitura com a recta GL. E sendo KF parallela a HG, e HG parallela a ML, será KF parallela ( Pr. 30, 1 ) a ML. Mas KM, FL são tambem parallelas. Logo KFLM é um parallelogrammo. E porque o triangulo ABD é egual ao parallelogrammo HF; e o triangulo DBC egual ao parallelogramo GM; será o rectilineo total ABCD egual ao parallelogrammo inteiro KFLM. Logo temos construido o parallelogrammo KFLM egual ao rectilineo dado ABCD, e com o angulo FKH egual ao angulo dado E.

COR. É manisfesto, pelo que temos dicto, como se possa fazer sobre uma linha recta dada um parallelogrammo egual a um rectilineo dado, e com um angulo egual a outro dado. Deve-se sobre a recta dada formar um parallelogramo egual ( Pr. 44, 1 ) ao primeiro triangulo ABD, e que tenha um angulo egual ao angulo dado; e ir continuando o resto, como temos explicado acima.

PROP. XLVI. THEOR.

Sobre uma linha recta dada descrever em quadrado ( Fig. 68 ).

Fig. 68

Seja a recta dada AB. Sobre AB se deve construir um quadrado.

Levante-se do ponto A a recta AC perpendicular ( Pr. 11, 1 ) sobre AB; e ponha-se ( Pr. 3, 1 ) AD=AB. Pelo ponto D se faça passar a recta DE parallela ( Pr. 31, 1 ) a AB; e pelo ponto B a recta BE parallela a AD. Será ADEB um parallelogrammo. Logo será AB=DE ( Pr. 34, 1 ), e AD=BE. Mas temos feito BA=AD. Logo as quatro rectas BA, AD, DE, EB são rectas eguaes entre si, e por consequencia o parallelogramo ADEB é equilatero. Digo, que é tambem rectangulo. Porque as parallelas AB, DE são cortadas pela rectas AD, os angulos BAD, ADE serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Mas BAD é recto. Logo tambem ADE será recto. Mas nos parallelogrammos os angulos oppostos são eguaes ( Pr. 34, 1 ). Logo os dous ABE, BED, que ficam oppostos a angulos rectos, devem ser tambem rectos. Logo ADEB será rectangulo. Logo sendo equilatero, como temos provado, sobre a recta dada AB temos descripto o quadrado AE, que se pedia.

COROL. D'isto se segue, que um parallelogrammo é rectangulo, quando tem um angulo recto.

PROP. XLVII. THEOR.

Em todo o triangulo rectangulo o quadrado feito sobre o lado opposto ao angulo recto, é egual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo angulo recto ( Fig. 69 ).

Fig. 69

Seja o triangulo rectangulo ABC, cujo angulo recto seja BAC. Digo, que o quadrado feito sobre o lado BC é egual aos quadrados descriptos sobre os lados BA, AC, que formam o angulo BAC.

Descreva-se sobre BC o quadrado BDEC ( Pr. 46, 1 ), e sobre BA, AC os quadrados GB, HC. Pelo ponto A se tire AL parallela ( Pr. 31, 1 ) a BD, ou CE, e tirem-se tambem as rectas AD, FC. Porque os angulos BAC, BAG são rectos ( Def. 30 ), as duas rectas CA, AG estão em direitura uma com outra ( Pr. 14, 1 ). O mesmo será a respeito das duas AB, AH. Os angulos DBC, FBA por serem rectos, são eguaes. Ajuncte-se-lhes o mesmo angulo ABC. Logo o total DBA será egual ao total FBC ( Ax. 2 ). E sendo as duas AB, BD eguaes ás duas FB, BC, cada uma a cada uma, e o angulo DBA=FBC; será o triangulo ABD=FBC outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Mas o parallelogrammo BL é o dobro ( Pr. 41, 1 ) do triangulo ABD, porque está sobre a mesma base BD, e entre as mesmas parallelas FB, GC. Logo sendo eguaes os dobros de quantidades eguaes ( Ax. 6 ), deve ser o parallelogrammo BL egual ao quadrado GB. Do mesmo modo tiradas as rectas AE, BK, se demonstra, que o parallelogrammo CL é egual ao quadrado HC. Logo o quadrado inteiro BDEC feito sobre o lado BC opposto ao angulo recto BAC é egual aos dous quadrados GB, HC formados sobre os lados BA, AC, que fazem o mesmo angulo recto BAC.

PROP. XLVIII. THEOR.

Se o quadrado feito sobre um lado de um triangulo for egual aos quadrados dos outros dous lados; o angulo comprehendido por estes dous lados será recto ( Fig. 70 ).

Fig. 70

Seja o quadrado feito sobre o lado BC do triangulo ABC egual aos quadrados feitos sobre os lados BA, AC. Digo, que o angulo BAC é recto.

Levante-se o ponto A sobre AC a perpendicular AD ( Pr. 11, 1 ), e ponha-se AD=BA, e tire-se DC. Sendo DA=AB, será o quadrado sobre DA egual ao quadrado sobre AB. Ajuncte-se -lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA, AC serão eguaes aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é egual aos quadrados de AD, AC, por ser o angulo DAC recto ( Pr. 47, 1 ), e o quadrado de BC se suppõe egual aos quadrados de BA, AC. Logo o quadrado de DC será egual ao quadrado de BC. Logo será DC=CB. Sendo pois DA=AB, e AC commum, as duas DA, AC serão eguaes ás duas BA, AC. Mas é a base DC=BC outra base. Logo será o angulo DAC=BAC ( Pr. 8, 1 ). Mas o angulo DAC é recto. Logo tambem o angulo BAC será recto.

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