Notas: Responde nesta mesma folha. Se precisares de rascunho ou mais espaço para a resposta podes usar as costas desta folha. Não podes usar qualquer outra folha de papel. Neste teste não pode ser usada a calculadora.

Questão: No método de eliminação de Gauss os sistemas de equações são transformados em sistemas equivalentes que possam ser mais fáceis de resolver através das seguintes três operações elementares:

  1. alteração da ordem das equações \(E_i\) e \(E_j\): \(\boxed{ E_i \leftarrow \rightarrow E_j}\)

  2. multiplicação da equação \(E_i\) pelo número real \(\alpha\): \(\boxed{E_i \leftarrow \alpha E_i}\)

  3. a equação \(E_i\) é substituída pela soma dela com um múltiplo de outra equação: \(\boxed{ E_i \leftarrow E_i + \alpha E_j}\)

Nos casos seguintes indica, na linha do lado direito, usando os símbolos apropriados, quais as transformações efetuadas nas matrizes ampliadas de um sistema de equações lineares dado:

    1. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} -4 & -1 & -1 & -28 \\ 1 & 1 & -1 & 12 \\ 3 & 0 & 9 & 6 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ -4 & -1 & -1 & -28 \\ 3 & 0 & 9 & 6 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \mbox{-----------------------------}\]

    2. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ -4 & -1 & -1 & -28 \\ 3 & 0 & 9 & 6 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \ \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20\\ 3 & 0 & 9 & 6 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \mbox{-----------------------------}\]

    3. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20 \\ 3 & 0 & 9 & 6 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20 \\ 0 & -3 & 12 & -30 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \mbox{-----------------------------}\]

    4. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20 \\ 0 & -3 & 12 & -30 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20 \\ 0 & 0 & 7 & -10 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \mbox{-----------------------------}\]

    5. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 20 \\ 0 & 0 & 7 & -10 \\ -1 & -1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 12 \\ 0 & 3 & -5 & 54 \\ 0 & 0 & 7 & -10 \\ 0 & 0 & 2 & 10 \\ \end{array} \right] \quad \mbox{-----------------------------}\]

  2. Qual a solução do sistema de equações lineares correspondente à matriz ampliada dada? Considera que as variáveis são \(x\), \(y\) e \(z\).