Resolução de uma questão de exame

Questão 6 do Grupo I da 1ª fase de Matemática A de 2012



Para resolver esta questão precisamos de estudar o sinal da primeira e segunda derivadas de f.
A partir do gráfico dado podemos construir a seguinte tabela para primeira derivada de f, se atendermos que, quando f cresce a primeira derivada é positiva e quando f decresce a primeira derivada é negativa.

$$x$$		-2.6		0.4
$$f(x)$$	cresce	mínimo	decresce	máximo	cresce
$$f'(x)$$	negativa	0	positiva	0	negativa

A partir da tabela concluímos que $$f'(1)$$ é necessariamente negativo e que $$f'(-3)$$ é também negativo. Assim, nenhuma das duas primeiras opções está correta.

Estudemos agora a segunda derivada de f. Olhando para as concavidades do gráfico de f obtemos o seguinte:

$$x$$		-3.5		-0.9
$$f(x)$$	concavidade voltada para baixo	ponto de inflexão	concavidade voltada para cima	ponto de inflexão	concavidade voltada para baixo
$$f''(x)$$	negativa	0	positiva	0	negativa

A partir da tabela concluímos que $$f''(1)$$ é necessariamente negativo e que $$f''(-3)$$ é positivo.
Assim a opção que está correta é a (C).