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OS COMPUTADORES E O ENSINO
DA ANÁLISE ELEMENTAR
por Jaime Carvalho e Silva

1. O crescimento exponencial (2ª parte)

O objectivo desta série de artigos é mostrar como o computador pode colaborar com o professor quando este pretende fazer sentir aos alunos que o crescimento exponencial é mais rápido do que o de qualquer outra função que eles já estudaram, de modo a contribuir para que a generalidade dos alunos fique com uma ideia minimamente correcta de quão rápido cresce a função exponencial (de base maior do que 1) quando a variável cresce para +; e também para que a expressão "crescimento exponencial" passe a ter sentido para os alunos, de modo a que, por exemplo, não apareçam disparates completos no cálculo de limites quando se trata da comparação de uma exponencial com outra qualquer função.

Uma exploração semelhante à do artigo anterior mas com âmbito diferente poderá contribuir para isso.

Para comparar o crescimento da função exponencial (de base maior do que 1) com o de outra função quando a variável cresce para +, iremos ampliando sucessivamente um dado gráfico inicial e variando as escalas de modo a conseguirmos tirar alguma conclusão do gráfico.

Antes de tudo convém sublinhar que nada se pode demonstrar deste modo! Apenas elaboraremos conjecturas e reforçaremos as nossas convicções, mas nunca poderemos provar nada!

Comecemos por traçar um banal gráfico da função seno definida no intervalo [-3.5,3.5] sobreposta com a função exponencial de base 2 definida no mesmo intervalo, de que aproveitamos apenas a parte do contradomínio contida em [-3,3]:

Reduzindo este gráfico obtemos (com domínio [-35, 35] e contradomínio aproveitado apenas em [-30,30]):

Repetindo o processo obtemos agora:

Ou seja, a exponencial cresce tão mais rapidamente que a função seno, que a exponencial se "cola" ao eixo dos YY e a função seno se "esmaga" no eixo dos XX (ou seja, a função seno nem sequer cresce, no intervalo considerado).

Pode-se objectar: com a função seno já era de esperar! Sabe-se que a função seno é limitada pelo que nem sequer pode crescer quando a variável independente cresce para +. Claro que se "sabe", mas isso não significa que se compreenda; pelo menos assim é-se "esmagado" pela evidência gráfica.

Não vale a pena comparar com a função quadrática pois tal foi feito no artigo anterior. Comparemos agora 2x com x5 . Em termos intuitivos não é evidente qual crescerá maisrapidamente para +, quando a variável independente cresce para +. Comecemos por traçar um gráfico desta função exponencial definida no intervalo [-5,5] sobreposta com a função potência escolhida definida no mesmo intervalo, de que aproveitamos apenas a parte do contradomínio contida em [-10,10]. Só com este gráfico parece que a função potência cresce mais rapidamente; mas as experiências anteriores devem-nos ter ensinado a não tirar conclusões demasiado rápidas com informação incompleta. Procuremos mais informação.

Reduzindo este gráfico obtemos (com domínio [-18, 18] e contradomínio aproveitado apenas em [-100,100]):

Continua a parecer que a função potência cresce mais rapidamente; procuremos ainda mais informação. Repetindo o processo obtemos agora:

Agora nada conseguimos concluir pois ambas as funcões se "colam" ao eixo dos YY, ou seja, ambas as funções crescem rapidamente para +. Para conseguir "descolar" as duas funções e assim intuir qual delas cresce mais rapidamente para +, teremos que, com o mesmo domínio de um dos últimos gráficos, [-18, 18] por exemplo, aumentar a parte do contradomínio que é traçada.

Depois de várias tentativas infrutíferas (pois certamente obteremos gráficos do tipo dos anteriores), podemos obter o gráfico da figura anterior, onde a parte do contradomínio considerada é [-6000000, 6000000].

Aumentando ainda mais a parte considerada do contradomínio, agora [-11500000,11500000], obtemos:

Concluimos assim que a função exponencial cresce mais rapidamente do que a função potência escolhida (tanto quanto os gráficos permitem concluir).

Mas quem nos diz, apenas com argumentos gráficos, que o mesmo acontecerá se a função potência escolhida for "grande", isto é, x10 ou x500 ? Será que podemos continuar com este tipo de experiências e, podendo, chegaremos sempre aos mesmos resultados?

Nota: os gráficos que ilustram este texto foram elaborados num Macintosh Plus com o programa GraphToolz v.1.11 de Tom Saxton, que é distribuido no sistema de "Shareware", mas poderiam ter sido elaborados com qualquer programa que possa traçar gráficos e tenha grandes capacidades numéricas como o MicroCalc.

(continua no próximo número)