A História da Matemática e o Ensino da Matemática

Jaime Carvalho e Silva

Departamento de Matemática

Universidade de Coimbra, Portugal




Cada vez mais se ouve falar mais de História da Matemática associada ao ensino da Matemática. No ensino superior parece-me inquestionável que não deve haver formação que não inclua história da matemática. Miguel de Guzmán afirma a propósito dos cursos de ensino superior:

"El complemento esencial en la formación de un matemático es, a mi entender, un conocimiento profundo de la historia de la matemática. Porque, como ya he dicho, estamos muy cerca de los grandes matemáticos del pasado. Es el equivalente en filosofia a la historia de las ideas. La visión histórica de la matemática es extraordinariamente útil incluso para aquel cuyo interés es exclusiva o predominantemente técnico, es decir, para aquel que dice interesarse prioritariamente por los problemas abiertos en su campo de trabajo. Cualquier objeto matemático suele nacer en estado de simplicidad. La complicación posterior que alcanzan muchas teorías oscurece frecuentemente las ideas iniciales y las hace opacas y poco penetrables a quien trata de obtener de ellas la visión unitaria e integradora que es preciso poseer para trabajar con eficacia en el campo. Acudir con interés a los orígenes del objeto proprio de estudio proporciona una luz especial que ilumina muchos elementos que de otra forma no se interpretan correctamente. En matemáticas, como en cualquier otra ciencia, tienen perfecta validez las palabras de James Clerk Maxwell: "Es de gran utilidad para cualquier estudiante de cualquier campo leer las ideas originales sobre tal materia, pues la ciencia se asimila más perfectamente cuando está en estado naciente". "
  Contudo, não é claro até que ponto a História da Matemática deva ser considerada no ensino secundário. Cada vez há mais pessoas em Portugal e no Brasil (e no resto do mundo) a preocupar-se com o Ensino da Matemática, e a História da Matemática desempenha um papel importante na discussão do que fazer para melhorar o Ensino.

A História da Matemática aparece desde há alguns anos nos textos oficiais portugueses que tratam dos programas do Ensino Básico e Secundário. Contudo, aparecem de uma forma bastante desconexa, o mesmo acontecendo a outros tópicos inovadores como a ëresolução de problemasí, as ëcalculadorasí e os ëcomputadoresí ou as ëaplicações da matemáticaí. Infelizmente pouco ou nada é feito para que estes tópicos inovadores possam ser levadas à prática. No caso da História da Matemática isso é particularmente evidente. A bibliografia que deveria suportar actividades de História da Matemática é extremamente reduzida e as instituições responsáveis pouco fizeram para alterar esta situação.

Eis o que afirmam os Novos Programas de Matemática portugueses para o 3º ciclo (para os outros ciclos aparecem referências semelhantes pelo que não as vou referir aqui) nas suas considerações gerais:

"Reconhecer o contributo da Matemática para a compreensão e resolução de problemas do Homem através dos tempos". "Relacionar etapas da história da matemática com a evolução da humanidade".
  Eis o que afirmam os mesmos programas nas observações aos diversos capítulos do programa: "A propósito do teorema de Pitágoras é útil fazer-se uma referência à História da Matemática (a Matemática nos Egípcios, nos Gregos, a corda de 12 nós, a demonstração na História da Matemática)."

"Se oportuno, os alunos poderão fazer um pequeno trabalho em grupo sobre a resolução de equações na História da Matemática (resolução de equações particulares na antiguidade, Pedro Nunes e a resolução de equações, a escrita simbólica e o seu contributo para o avanço na resolução de equações e sua utilização, etc.)."

"Aspectos da História da Matemática relacionados com a trigonometria - como apareceu, qual o seu contributo, curiosidades interessantes (como Eratóstenes determinou o raio da Terra, por exemplo), etc., poderão ser objecto de trabalhos dos alunos ao longo ou depois do estudo desta unidade."

"Um pequeno trabalho sobre a geometria na História da Matemática poderá contribuir para um outro tipo de reflexão [sobre axiomas, teoremas, demonstração,...]"
 
 

 Como se poderá passar tudo isto à prática? A bibliografia é escassíssima, a formação de professores é escassíssima, só sobram os manuais escolares - e alguns deles, poucas ou nenhumas referências fazem à História da Matemática.

Significará isto que a História da Matemática nunca poderá passar para dentro da sala de aula? Ou que não tem a relevância que estes novos programas lhe querem dar? Não penso isso! Na realidade penso que a História da Matemática tem um papel muito relevante a desempenhar na melhoria do Ensino da Matemática, correndo-se o risco grave de ser esquecida daqui a uns anos por ter sido introduzida nos textos oficiais de forma inconsequente.

Começo por distinguir dois aspectos: a História do Ensino da Matemática e a História da Evolução da Ciência Matemática. A primeira é extremamente útil aos professores, pois dá-lhes uma maior distanciação e uma maior capacidade crítica em relação à situação presente. Permite ver como é que a Matemática era ensinada noutros tempos, quais os problemas que os professores enfrentaram, porque é que outras reformas do ensino triunfaram ou fracassaram. Quanto à segunda, podemos resumir, dizendo com André Weil que perguntar "Porquê a História da Matemática?" é o mesmo que perguntar "Porquê a Matemática?", ou seja, a História da Matemática está indissoluvelmente ligada à sua própria História. Nessa conferência cita Leibniz:

"A sua utilidade não é apenas a de a História atribuir a cada um o que lhe é devido e que outros procurem reconhecimento semelhante, mas também que a arte da descoberta seja promovida e o seu método conhecido através de exemplos ilustres."
  Até porque ao contrário de outras disciplinas, como a Física e a Química, a História da Matemática não só mostra a própria abordagem dos problemas, mas também os conceitos desenvolvidos e os teoremas demonstrados há séculos, como a noção de número primo e o Teorema de Pitágoras por exemplo, continuam válidos e importantes hoje em dia. Não quer dizer que o caminho percorrido tenha sido linear, como põe em evidência Ian Stewart no seu livro "Os problemas da matemática": "Ideias matemáticas realmente boas são difíceis de obter. Resultam do trabalho conjunto de muitas pessoas durante longos períodos de tempo. A sua descoberta envolve caminhos errados e becos sem saída intelectuais. Não podem ser produzidas como nos apetece: a matemática verdadeiramente nova não está sujeita a uma abordagem industrial tipo 'Investigação e Desenvolvimento'. Mas compensam todo esse esforço com a sua durabilidade e versatilidade. A teoria do sistema solar de Ptolomeu tem interesse histórico para um cosmologista moderno, mas ele não a usa na investigação a sério. Contrariamente, ideias matemáticas com centenas de anos de idade são usadas todos os dias na matemática mais moderna, na verdade em todos os ramos da ciência. A ciclóide era uma curiosidade fascinante para os Gregos, mas não podiam fazer nada com ela. Como braquistócrona, fez surgir o cálculo das variações. Christiaan Huygens usou-a para projectar um relógio preciso. Hoje os engenheiros usam-na para projectar alavancas de mudanças. Aparece na mecânica celeste e nos aceleradores de partículas. É uma carreira notável para tão humilde criação."
  Ou seja, ao olhar para a História da Matemática estamos a olhar para a própria Matemática. Mas mais aspectos podem ser considerados. Seguindo D. J. Struik podemos dizer que a História da Matemática é muito importante porque: i- satisfaz o desejo de saber como é que os conceitos matemáticos apareceram e se desenvolveram;

ii- o estudo dos autores clássicos pode oferecer grande satisfação em si, mas também pode servir de guia no trabalho matemático;

iii- ajuda a compreender a nossa herança cultural, não só através das aplicações que a matemática teve e ainda tem à astronomia, física e outras ciências, mas também através da relação que teve e ainda tem com campos tão variados como a arte, a religião, a filosofia e os ofícios;

iv - oferece um campo de discussão comum com estudantes e professores de outras áreas.

v - fornece um pano de fundo para se compreenderem as tendências no Ensino da Matemática no passado e no presente.

vi - Pode-se temperar o ensino com conversas e anedotas.
 
 

 É por isso importante falar do lugar da História da Matemática no Ensino, esperando que não aconteça como há mais de vinte anos em que os "Compêndios de Álgebra" de Sebastião e Silva e de Silva Paulo, sendo livros únicos e contendo abundantes referências à História da Matemática, viram suceder-lhes livros de texto enfadonhos e tecnicistas com ausência de referências à História da Matemática. E as referências nos "Compêndios de Álgebra" não eram tão poucas como isso. Logo no prefácio encontramos definido o seguinte objectivo:
 
  "(...) inserção das matérias no quadro de uma cultura geral, que tempere e humanize o abstractismo inerente à matemática, procurando explicá-la como processo histórico (...)" (Prefácio ao Compêndio de Álgebra, 1º tomo, 6º ano, 1956 - 2ª edição 1970)
  Mais adiante, pode ler-se: "A leitura deste número [parágrafo sobre grandezas comensuráveis e grandezas incomensuráveis] tem especial interesse para a cultura geral do aluno. O assunto aqui tratado liga-se directamente ao da NOTA HISTÓRICA, cuja leitura é igualmente recomendável por idênticas razões" (Compêndio de Álgebra, 1º tomo, 1956 - 2ª edição 1970 - pg. 67)
  E ambos os volumes estavam salpicados com Notas históricas que eram muito mais do que uma simples cronologia de acontecimentos e iam desde a evolução do conceito de número à história do cálculo diferencial e integral e ao uso de calculadoras electrónicas (é preciso ver-se que a segunda edição data de 1970, numa altura em que pouco se falava de computadores e as calculadoras de bolso ainda não tinham nascido).

Muito ficou já dito, mas não me parece ainda claro o ëcomoí. Como introduzir a História da Matemática no Ensino? Penso que aqui ainda há lugar para muita investigação e muitas experiências. Aquilo que vou dizer a seguir não passam de meras sugestões e opiniões pessoais.

Um primeiro aspecto diz respeito à própria ordenação das matérias. Por exemplo, Sebastião e Silva, no seu Compêndio de Matemática introduzia os números complexos da seguinte forma:

Introdução de C

Equações do 3º grau -> Fórmula de Tartaglia -> Necessidade das "quantidades silvestres" de Bombelli com A>0 para que a fórmula de Tartaglia forneça todas as raízes reais -> "PROBLEMA. Construir um corpo C que verifique as 3 seguintes condições: (...)" (Compêndio de Matemática, 1º vol-2º tomo, pg. 136-152, ed. GEP)
 
 

 Penso que assim os alunos vêm os quês e os porquês do aparecimento da unidade imaginária. Além de que a própria história da fórmula resolvente e o do uso de com A>0 está recheada de episódios pitorescos.

Num artigo intitulado ëThe changing concept of change: The derivative from Fermat to Weierstrassí a autora, Judith Grabiner, chama a atenção para o facto de o conceito de derivada ter sido primeiro usado, depois descoberto explorado e desenvolvido e só no fim definido; e interroga-se se o ensino do conceito de derivada não estará errado por começar logo com a definição de derivada. É caso para pensar.

Outra abordagem possível consiste na utilização de pequenos pedaços da História da Matemática na sala de aula. Em anexo encontram-se excertos ou adaptações de vários textos de diferentes épocas que me parece poderem ser utilizados com proveito na sala de aula em alturas variadas (por exemplo, para motivar a introdução de um conceito, para fornecer mais uma perspectiva sobre um conceito, para ajudar a sedimentar um conceito, para servir como aula de exercícios - para não serem só exercícios rotineiros a cumprir esta função). Fazem parte de uma série de textos que tenho usado em sessões com professores e que espero poderem vir a ser editados um dia em forma de livro.

Existem já várias colectâneas de textos matemáticos originais ou adaptados, com apenas alguns comentários ou com análises detalhadas e até exercícios complementares. Por exemplo:

ï I.R.E.M. Mathématiques au fil des âges. Paris: Gauthier-Villars, 1987.

ï Fauvel, John and Jeremy Gray, ed. The History of Mathematics - A Reader. London: MacMillan Press/The Open University, 1987.

ï I.R.E.M. Histoires de Problèmes-Histoire des Mathématiques. Paris: Ellipses-Ed. Marketing, 1993.

Infelizmente não existe nenhuma tradução portuguesa!

Para terminar apresento um breve comentário sobre cada um dos excertos propostos em anexo:

Aristarco de Samos e as divisões

Nem só a Matemática exacta é importante, e noutras épocas já havia a preocupação de encontrar resultados que, embora não totalmente exactos pudessem ser mais manejáveis na prática e pudessem mais facilmente ser compreendidos.

Números figurados

Os platonistas tinham uma visão muito peculiar do mundo. Dizia Filolaus(séc IV a.C.): "Todas as coisas que podem ser conhecidas têm número; pois não é possível que sem número qualquer coisa possa ser concebida ou conhecida". E nesse sentido procuravam descrever tudo com a ajuda do número. Os números figurados dos platonistas são uma excelente ocasião para integrar filosofia, álgebra e geometria.

Euler e o crescimento populacional

O livro "Introductio in Analysin Infinitorum" de Euler é um dos seus livros de texto mais importantes por onde gerações inteiras aprenderam o princípio da análise (estando o cálculo diferencial e integral em dois outros livros), e onde muita da notação actual foi introduzida ou estabilizada. Os dois exemplos transcritos mostram como os exemplos eram interessantes e não discutiam só aspectos formalistas, mas também se preocupavam com o significado do que se fazia, como por exemplo o mostra a seguinte frase: ëEste número de habitantes é tão considerável, que toda a terra não teria sido suficiente para os alimentarí Esta frase é aliás um excelente ponto de partida para um trabalho com os alunos que os leve pelos caminhos das Aplicações da Matemática e da Modelação Matemática.
 
 








APÊNDICE
 
 

Aristarco de Samos e as divisões

Aristarco de Samos foi um astrónomo grego (séc. III a.C.); calculou a distância da Terra ao Sol, e apresentou pela primeira vez a teoria heliocêntrica.

No decurso dos seus cálculos de astronomia pretendia apresentar um valor aproximado da divisão de 71 755 875 por 61 735 500. Ele afirmou que era aproximadamente igual à divisão de 43 por 37, por defeito.

Questão:

Verifica a precisão da aproximação. O erro é grande? (O que é 'grande'?)

Aristarco não indica o modo como fez os cálculos, mas provavelmente usou o algoritmo de Euclides. Eis como funciona

71 755 875 = 61 735 500 + 10 020 375

61 735 500 = 6 ¥ 10 020 375 + 1 613 250

10 020 375 = 6 ¥ 1 613 250 + 340 875

Como 340 875 é muito pequeno em relação aos números em jogo, podemos desprezá-lo e assim

71 755 875 = 61 735 500 + 10 020 375

= (6 ¥ 10 020 375 + 1 613 250) + 10 020 375

= (6 ¥ (6 ¥ 1 613 250 + 340 875) + 1 613 250) +

+ (6 ¥ 1 613 250 + 340 875)

ª (6 ¥ (6 ¥ 1 613 250) + 1 613 250) + 6 ¥ 1 613 250

ª 43 ¥ 1 613 250

61 735 500 = 6 ¥ 10 020 375 + 1 613 250

= 6 ¥ (6 ¥ 1 613 250 + 340 875) + 1 613 250

ª (6 ¥ (6 ¥ 1 613 250)) + 1 613 250

ª 37 ¥ 1 613 250

Logo, dividir 71 755 875 por 61 735 500 é aproximadamente igual a dividir 43 por 37. Porquê por defeito?

Questões:

1. Aristarco também afirma que 7921 a dividir por 4050 é aproximadamente igual a 88 a dividir por 45. Será verdade? Verifica.

2. Escolhe dois números grandes e aplica-lhe o processo de Aristarco para obter dois números cuja divisão dê aproximadamente o mesmo resultado que a dos números iniciais.

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Números figurados

Extractos da obra "Introdução aritmética" do neoplatónico Nicómaco de Gerase (séc. II d.C.):

´ 1. É portanto triângulo o número que, na sua resolução em unidades, configure em triângulo a posição equilateral no plano das suas partes; tem por exemplos: 3, 6, 10, 15, 21, 28, e o seguimento; porque as suas configurações bem ordenadas serão triângulos e equilaterais, e progredindo deste modo até onde tu quiseres, encontrarás formado um triângulo, e arrumando antes de tudo o mais elementar, o que nasce da unidade, para que a própria unidade apareça em triângulo em potência, mas o primeiro triângulo em acto é o 3.

2. Os lados aumentar-se-ão do número seguinte, porque o lado do primeiro número triângulo em potência é a unidade, o lado do primeiro em acto, o 3, é a díade, o lado do segundo em acto, o 6, é a tríade, o lado do terceiro é a tétrade, o do quarto a pêntade, o do quinto a héxade, e assim sempre.

3. Gera-se quando o número natural é exposto em linha e que, sempre desde o início, os números sucessivos são adicionados um a um, porque os triângulos bem ordenados realizam-se em cada adição e empilhamento; por exemplo a partir desta linha natural:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,

tomando o primeiro número, tenho o primeiro triângulo em potência, a unidade, em seguida, empilhando em cima dele o seguinte, tenho o primeiro triângulo em acto, porque 3 é 2 e 1, e na representação figurada, ele constitui-se assim: sob a primeira unidade apomos duas unidades lado a lado, e o número é triangulado; a seguir 3, que é o número seguinte, empilhado sobre este, espalhado em unidades e reunido, produz 6, segundo número triângulo em acto, e dá-lhe também uma configuração; e por seu turno, o número que segue naturalmente 4, empilhado sobre estes e notado em unidades, dá o número 10, bem ordenado a seguir aos que acabámos de falar, e toma uma configuração triangular; e 5 depois dele, depois 6, depois 7, e todos os seguintes, de modo que os lados de cada um contarão harmoniosamente tantas unidades quantos os números da linha natural reunidos para a sua constituição.
 


 

4. É tetrágono o número que vem depois deste e que dá, não mais três ângulos como o precedente, mas quatro ângulos na representação figurada, no entanto também uma configuração equilateral, como:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,

porque os seus traçados equilaterais tornam-se tetrágonos do modo seguinte:
 


 

e assim de seguida até onde tu quiseres.

5. Acontece a estes números, como aos que o precedem, que a progressão dos lados segue o número natural; porque no primeiro em potência um, a unidade é o lado, no primeiro em acto, 4, a díade é lado, no segundo em acto, 9, a tríade é lado, no seguinte, o terceirto em acto, 16, a tétrade é lado, no quarto, a pêntade, no quinto, a héxade, e dum modo geral assim de seguida para todos os seguintes.

6. Este gera-se também quando o número natural que se estende pela unidade é exposto em linha, empilhando não mais os seguintes sobtre os seguintes, como foi mostrado, mas todos aqueles que são distantes de um uns dos outros, quer dizer os ímpares ; porque o primeiro é 1, primeiro tetrágono em potência, o segundo 1 e 3, primeiro tetrágono em acto, o terceiro 1,3,5, segundo tetrágono em acto, o quarto 1,3,5 e 7, terceiro tetrágono em acto, e o seguinte nasce do empilhamento de 9 sobre os precedentes, e aquele que vem depois dele, do de 11, e assim sempre.

7. Acontece a estes números que o lado de cada um comporta tantas unidades quantos números estão empilhados para a sua geração. ª

Questões:

1. Indique o sexto e o sétimo números triângulo .

2. Indique o sexto e o sétimo números tetrágono .

3. Que igualdade sugere a geração dos tetrágonos na alínea 6?

4. Que igualdade sugere a seguinte disposição ("tête-bêche") de pares de triângulos?
 
 


 
 

5. Seguindo a mesma regra construa os primeiros 5 números pentagonais e os primeiros 5 números hexagonais.

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Euler e o crescimento populacional

Extractos de "Introductio in Analysin Infinitorum"(2 vols, Lausanne, 1748) de Leonhard Euler (1701-1783), traduzidos a partir de uma versão francesa:

Exemplo II

Suponhamos que o número de habitantes de uma província cresce todos os anos um trinta avos, e que haja no começa 100000 habitantes; queremos saber quantos haverá ao fim de 100 anos. Seja, para abreviar, o número dado de habitantes=n, de modo que n=100000; ao cabo de um ano o número dos habitantes será=(1+1/30) n = 31/30 n ; ao cabo de dois anos=(31/30)2n; ao cabo de três=(31/30)3n; e enfim ao cabo de 100 anos=(31/30)100n=(31/30)100100000. O logaritmo deste último número=100 L 31/30 +L 100000. Ora L 31/30=L31-L30= 0,014240439; logo 100 L 31/30=1,4240439, juntando L100000=5, o logaritmo do número procurado dos habitantes=6,4240439, ao qual responde o número=2654874. Portanto, ao cabo de cem anos o número de habitantes será mais de vinte e duas vezes mais considerável.

Exemplo III

A terra tendo sido repovoada depois do dilúvio por seis homens; suponhamos que ao cabo de duzentos anos o número de homens se tenha elevado a 1000000, pergunta-se de que parte teve que aumentar todos os anos. Suponhamos que durante este tempo o número de homens tenha aumentado todos os anos de 1/x, o número de homens durante duzentos anos terá necessariamente subido a ((1+x)/x)2006=1000000, donde se tira (1+x)/x=(1000000/6)1/200 . Donde L(1+x)/x= 1/200 L= 1/200 5,2218487 = 0,0261092; por consequência (1+x)/x = 1061963/1000000  e 1000000 = 61963 x. Portanto x=16 aproximadamente. Assim, para uma tão grande população, teria sido necessário que o género humano tivesse aumentado todos os anos um dezasseis avos; o que a duração da vida dos primeiros homens torna verosímil. Se o mesmo aumento tivesse continuado a ter lugar durante 400 anos, o número de homens teria subido a 1000000. 1000000/6 = 166666666666. Este número de habitantes é tão considerável, que toda a terra não teria sido suficiente para os alimentar.

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