A História da Matemática nos Novos Programas de Matemática em Portugal

Jaime Carvalho e Silva

Departamento de Matemática, Universidade de Coimbra

Apartado 3008, 3000 Coimbra

email: jaimecs@mat.uc.pt WWW: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs





Entram em vigor em Setembro de 1997 novos programas para a disciplina de Matemática do Ensino Secundário português (10º, 11º e 12º anos). Já em texto anterior (Silva, 1994) analisara a presença da História da Matemática nos actuais programas (que datam de 1991). Na altura assinalei algumas dificuldades em relação à possibilidade de essa presença se traduzir em algo de significativo; indiquei como eram demasiado vagas as referências que esses textos continham em relação à História da Matemática, como a bibliografia era escassa, e como o currículo estava sobrecarregado. Que diferenças se encontram neste novo programa (que é essencialmente um ajustamento do programa anterior, elaborado por uma comissão a que pertenci)?

Conforme assinala Mariano Martínez Pérez, existe "un interés bastante extendido, y que crece rápidamente, por conectar con la historia y explorar sus posibles aplicaciones a mejorar la enseñanza de la matemática (...) que se ve aquejada de tantos problemas" (Pérez, 1995). Muitas propostas têm sido avançadas no que diz respeito ao uso da História da Matemática na sala de aula. Tal como refere Sebastiani Ferreira, "Usar a História da Matemática em aulas desta disciplina (...) não é privilégio de nossa década" (Ferreira, 1995). Por exemplo, nos Estatutos da Universidade portuguesa de 1772 encontramos estabelecido o seguinte para as "Lições do Primeiro Anno":
 
 

1 Para que as Lições do Curso Mathematico se façam com boa ordem, e com aproveitamento dos Estudantes: O Lente de Geometria, a quem pertencem as Disciplinas do Primeiro Anno, antes de entrar nas Lições proprias da sua Cadeira, lerá os Prolegomenos Geraes das Sciencias Mathematicas.

2 Nelles fará uma Introducção breve, e substanciada ao Estudo destas Sciencias: Mostrando o objecto, divisão, e prospecto geral delas: Explicando o Methodo, de que se servem; a utilidade, e excelencia delle: E fazendo hum Resumo dos sucessos principaes da sua Historia pelas Epocas mais notaveis della. Taes são: Desde a origem da Mathematica, até o Seculo de Thales, e Pythagoras: Deste até a fundação da Escola Alexandrina: Della até a Era Christã: Desta até a destruição do Imperio Grego: Della até Cartesio: E de Cartesio até o presente tempo.

3 Este Resumo será proporcionado á capacidade dos Estudantes: De sorte, que os disponha, e anime para entrarem no estudo com gosto. Por isso não entrará o Lente na relação circumstanciada dos descubrimentos, que se fizeram nas ditas Sciencias em differentes tempos, e lugares; porque não póde ser entendida, senão por quem tiver já estudado as mesmas Sciencias; e então não lhe será necessaria a voz do Mestre, para se instruir na Historia. Recommendará porém muito aos seus Discipulos, que á medida, que forem caminhando no Curso Mathematico, se vão instruindo particularmente nella: Mostrando-lhes, que a primeira cousa, que deve fazer quem se dedica a entender no progresso das Mathematicas, he instruir-se nos descubrimentos antecedentemente feitos; para não perder o tempo em descubrir segunda vez as mesmas cousas; nem trabalhar em tarefas, e emprezas já executadas.

Mais adiante, o legislador (que se sabe hoje ter sido José Monteiro da Rocha), a propósito da cadeira do segundo ano, Álgebra, indica:
 
 

3 Para facilitar melhor a entrada nella, e segurar o fruto das Lições: Principiará o Professor pelos Prolegomenos respectivos: Dando huma idéa circumstanciada do seu objecto, e dos meios, que applica para conseguir o fim, que se propõe: Mostrando a sua origem, e progressos: E fazendo hum Resumo da historia da mesma Algebra pelas Epocas mais notaveis della.

4 Em particular mostrará a razão, por que os Antigos, sem embargo de terem conhecido as Regras Fundamentaes da Analyse, e de serem dotados de tão grande engenho, não tiráram della as vantagens prodigiosas, que decubríram os Modernos; faltando-lhes o Instrumento da Analysis, que he a Algebra.

Nestas disposições dos Estatutos de 1772 são claramente enunciadas algumas vantagens e dificuldades do uso da história da matemática na sala de aula. Por um lado indica-se que a História serve não só de motivação mas também como forma de melhor ser entendida a matéria que se vai estudando. Por outro lado, no início só se pode dar uma perspectiva muito geral pois um estudo aprofundado da História pressupõe um conhecimento igualmente aprofundado da Ciência Matemática.

Miguel de Guzmán depois de indicar que "La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adequado. (...) Los diferentes métodos del pensamiento matemático (...) han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y peculiares (...)" (Guzmán, 1993), enumera algumas razões para o uso da história da matemática na sala de aula:
 
 

"- hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemáticas,

- enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación, precedentes,...

- señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente,...

- apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes."

Ubiratan DÝAmbrosio, além destes aspectos realça ainda (DÝAmbrosio, 1996):
 
 

"para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução."

Os objectivos gerais apontados por estes e outros autores para o uso da história da Matemática na sala de aula encaixam-se de forma perfeita em vários dos objectivos apontados no programa oficial de Matemática (Ministério-da-Educação, 1997). Por exemplo, dentre as finalidades da disciplina encontramos:
 
 

´ Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constituam suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa.

´ Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência.

Claramente não será possível atingir estes objectivos sem alguma referência histórica. Para se poder entender melhor o lugar da história nestes programas, eis, dentre os objectivos gerais da disciplina, aqueles que têm a ver com a História da Matemática:
 
 

Desenvolver interesses culturais:

´ Manifestar vontade de aprender e gosto pela pesquisa.

´ Interessar-se por notícias e publicações relativas à Matemática e a descobertas científicas e tecnológicas.

´ Apreciar o contributo da Matemática para a compreensão e resolução de problemas do Homem através do tempo.

Desenvolver o raciocínio e o pensamento científico:

´ Descobrir relações entre conceitos de Matemática.

´ Formular generalizações a partir de experiências.

´ Validar conjecturas.

´ Fazer raciocínios demonstrativos usando métodos adequados.

´ Compreender a relação entre o avanço científico e o progresso da humanidade.

Conhecer aspectos da História da Matemática:

´ Conhecer personalidades e factos marcantes da História da Matemática e relacioná-los com momentos históricos de relevância cultural ou social.

Estes princípios gerais parecem importantes numa formação secundária e a História da Matemática parece adequada ao seu cumprimento. A grande questão que se põe é: como concretizar no corpo do programa estes objectivos gerais?

A resposta dos novos programas de Matemática do Ensino Secundário (Ministério-da-Educação, 1997) é, em termos gerais, a seguinte. Por um lado procurou-se que todo o programa reflectisse esta vertente (além de todas as outras que foram consideradas igualmente importantes). Por outro lado foram dadas sugestões concretas de como tudo poderia ser posto em prática.

Tal como refere o programa:
 
 

A escolha dos temas foi feita tendo em conta os conteúdos presentes no anterior programa e a preocupação de algum equilíbrio entre áreas diversas da Matemática. (...) existe um grande equilíbrio entre as quatro grandes áreas seleccionadas:

´ Cálculo Diferencial

´ Geometria (no plano e no espaço)

´ Funções e sucessões

´ Probabilidades (com Análise Combinatória) e Estatística

Os temas clássicos de Análise, Álgebra e Geometria estão presentes nestes conteúdos, embora o segundo se encontre dividido pelos outros temas. Esta classificação deve ser considerada de forma muito relativa, pois, no corpo do programa, assumem importância significativa não só técnicas específicas, mas estratégias que, constituindo uma base de apoio que os alunos utilizam na sua actividade matemática independentemente do tema, atravessam o programa de forma transversal. Referimo-nos a

´ Resolução de Problemas

´ Modelação Matemática

´ Lógica e Raciocínio Matemático

´ Tecnologia e Matemática

´ História da Matemática

sendo de difícil quantificação, mas não sendo por isso menos importantes que os temas antes referidos.

Foi assim entendido que a História da Matemática deveria aparecer devidamente integrada no corpo do programa, apontando-se tanto científica como metodologicamente, quais as ocasiões onde a História da Matemática deveria ser utilizada.

Isto significa que a História da Matemática não assume um papel privilegiado, antes se tentou integrar de forma harmoniosa nos outros temas. Outra referência no programa, neste mesmo sentido:

Em muitos aspectos, a organização dos temas e as indicações metodológicas integram informações sobre oportunidade de abordar questões sobre a experimentação no ensino da matemática, de lógica e raciocínio, de história da matemática mas também informações sobre novos tipos de instrumentos de avaliação. As indicações sobre avaliação devem ser, pois, procuradas não tanto no pequeno texto sob esse título, mas mais no corpo do programa, nos diversos elementos de trabalho sugeridos.

Um dos aspectos metodológicos em que há uma intervenção possível da História da Matemática é exactamente o da avaliação, embora haja o perigo de se reduzir o trabalho de cariz histórico a uma mera consulta de enciclopédias:
 
 

Em particular recomendamos fortemente que em cada período um dos elementos de avaliação seja obrigatoriamente uma redacção matemática (sob a forma de resolução de problemas, demonstrações, composições/reflexões, projectos, relatórios, notas e reflexões históricas, etc) que reforce a importante componente da comunicação matemática (...). No corpo do programa aparecem muitas referências que poderão propiciar este tipo de avaliação.

No texto do programa e no anexo que o acompanha aparecem assim várias sugestões concretas para o tratamento da História da Matemática. Por exemplo, na Geometria:
 
 

´ Geometria:

O professor deve propor actividades de construção, de manipulação de modelos e ligadas a problemas históricos fazendo surgir a partir do problema e do caminho que se faz para a sua resolução uma grande parte dos resultados teóricos que pretende ensinar ou recordar.

´ Referência à parábola, às suas principais propriedades e à sua importância histórica.

´ Referência à hipérbole, informação das suas principais propriedades e da sua importância histórica.

´ Devem propôr-se aos alunos problemas variados ligados a situações concretas onde apliquem métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, a moldes, à navegação, à topografia , históricos,...) de modo a que o aluno se aperceba da importância da trigonometria para as várias Ciências. As calculadoras permitem que o aluno se preocupe menos com os cálculos e mais com a compreensão do problema.

No estudo das funções também aparecem algumas referências ao uso da história:
 
 

´ Integração do estudo do Cálculo Diferencial num contexto histórico.

´ Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo de História do Cálculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemáticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastácio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. Uma referência obrigatória é a de José Anastácio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de História da Matemática em Portugal desde o tempo dos descobrimentos até à actualidade.

No estudo das Probabilidades e Estatística:
 
 


´ Objecto da Estatística e breve nota histórica sobre a evolução desta Ciência; utilidade na vida moderna.

´ qualquer destes assuntos [Probabilidades e Combinatória] é bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da História da Matemática.

´ Pascal, Tartaglia e Laplace são exemplos "interessantes" para realizar incursões na história dos conceitos matemáticos, na vida dos matemáticos, nas ligações da Matemática com outros ramos de saber e actividade. Deve ser referido que muitos resultados de contagens já eram conhecidos anteriormente noutras civilizações (o triângulo de Pascal era conhecido na China vários séculos antes de Pascal)

No estudo dos Números Complexos:
 
 

´ A introdução dos complexos deve ser ancorada em pequena abordagem histórica, do ponto de vista dos problemas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estudos matemáticos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre a extensão do conceito de número e sobre problemas de resolubilidade algébrica, quer do ponto de vista histórico, quer do ponto de vista da sua experiência com anteriores desenvolvimentos.

´ Introdução elementar de problemas de resolubilidade algébrica e do modo como se foram considerando novos números. Apropriação de um modo de desenvolvimento da Matemática, através da evolução do conceito fundamental de número. Experimentação da necessidade de i, à semelhança da aceitação da necessidade dos números negativos e "partidos".

Em termos extra-curriculares o programa ainda recomendada outras actividades relacionadas com a História da Matemática. Por exemplo, no âmbito da Área Escola (assim se designa um conjunto de actividades que pretendem unir o trabalho dos alunos em torno de um projecto escolhido pela Escola):
 
 


Recomenda-se que os professores desenvolvam as seguintes actividades complementares, em estreita ligação com os objectivos definidos para a disciplina de Matemática:

a) A participação na Área Escola deve envolver sempre uma componente matemática, como por exemplo: recolha de dados e sua análise estatística, elaboração de gráficos a partir de funções conhecidas, estudo ou elaboração de modelos matemáticos simples que se ajustem às situações em estudo, pôr em evidência a contribuição histórica que a matemática deu para o tema em apreço,...

b) O trabalho desenvolvido na Área Escola deve poder ser um trabalho de base matemática, em que as outras disciplinas irão dando contribuições conforme as áreas (história, aplicações, filosofia, etc)

(...)

d) Devem ser convidados professores da escola ou exteriores à escola para proferir pequenas palestras sobre temas relacionados com a Matemática (explicação de uma descoberta recente como o Último Teorema de Fermat, exploração de um tema histórico, de aplicações da matemática,...)

No que diz respeito à necessidade da existência de recursos, é recomendada a existência de uma bibliografia mínima em torno de:
 
 


f) A Biblioteca da Escola deve ter um número razoável de textos de matemática. (...) "Galeria de Matemáticos" do J.M.E., (...) Livros (...) sobre História da Matemática ("História Concisa da Matemática" de Struik, "História da matemática" de C. Boyer, Ed. Edgard Blücher, "Mathématiques au fil des âges"- Ed. Gauthier-Villars, "Histoire de Problèmes - Histoire des Mathématiques" - Ed. Ellipses dos IREM e "The History of Mathematics - A Reader", Open University) serão um manancial de ideias para trabalhar com os alunos.

No anexo do programa são ainda indicadas outras referências bibliográficas relevantes e que facilmente estarão à disposição dos professores:
 
 

´ Definição de função, gráfico e representação gráfica de uma função:

Uma introdução informal à noção de função pode ser encontrada no §1 do Cap IV-"Funções reais de variável real" de (Silva & Paulo, 1970). Considerações históricas podem ser encontradas em "Evolução Histórica do Conceito de Função: uma possível periodização histórica" em (APM, 1994).

´ Ver (Boyer, 1993), (Struik, 1992) e (Boyer, 1996). Ver "Evolução Histórica do Conceito de Função: uma possível periodização histórica" e "O Conceito de Derivada à luz do Séc. XVII" em (APM, 1994).

´ Sobre a História da Matemática em Portugal ver (Oliveira, 1989), (Marques, 1991) e o apêndice de (Struik, 1992). Sobre José Anastácio da Cunha consultar (Ferraz, Rodrigues, & Saraiva, 1990).

´ Ver o texto de cariz histórico "De onde vêm os nomes das funções trigonométricas" in (Lima, 1987), pg. 230

´ História dos Números Complexos:

Ver "A equação do terceiro grau" em (Lima, 1987), pg. 16.

Ver § 21, 22 e 24 do cap. VI de (Silva, 1978).

Ver § 1 a 9 do cap. X de (Dantzig, s/d).

Uma das recomendações do programa é que se utilizem problemas de textos portugueses antigos. Um dos livros que fornece um manancial interessante é o "Libro de Algebra" de Pedro Nunes. Aparecem também alguns exemplos concretos retirados deste livro, tal como:
 
 

Exemplo: Um problema de Pedro Nunes. No seu "Libro de Algebra", Pedro Nunes resolve problemas com polinómios do 3º grau, reduzindo-os por divisão a polinómios do 2º grau. Por exemplo, reduz uma equação do tipo 

x3 = a x + (a-1)

a

x3 + 1 = a x + a

e depois divide por um factor adequado. Descobrir esse factor. Resolver a equação resultante. Concluir as soluções da equação inicial.

Outras equações do mesmo tipo que aparecem no "Libro de Algebra":

x3 = a x + (2a-23)

x3 = a x + (na-n3)

x3 + (a-1) = a x

Tirando partido da Internet também estão a ser disponibilizados outros recursos. Por exemplo o livro "História das Matemáticas em Portugal" de Francisco Gomes Teixeira, editado em 1934, esgotado há muito tempo, está agora disponível via WWW no endereço:

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexhm.html

Existe o projecto de colocar outras obras disponíveis via Internet, como por exemplo uma edição portuguesa dos "Elementos" de Euclides (de que o primeiro livro se encontra já disponível no mesmo endereço).

Esta estratégia ajudará a História da Matemática a dar uma boa contribuição para a melhoria do Ensino da Matemática? Só o futuro o dirá.
 
 
 
 
 
 

Referências

APM (1994). ProfMat 94 - Actas. In Ana Vieira, Eduardo Veloso, & Lina Vicente (Ed.), . Leiria: APM.

Boyer, Carl B. (1993). Cálculo. São Paulo: Atual Editora.

Boyer, Carl B. (1996). História da Matemática (2ª ed.). S. Paulo: Editora Edgard Blücher, ltda.

DÝAmbrosio, Ubiratan (1996). História da Matemática e Educação. In Eduardo Sebastiani Ferreira (Eds.), História e Educação Matemática (pp. 7-17). Campinas: Centro de Estudos Educação e Sociedade.

Dantzig, Tobias (s/d). Número, a linguagem da Ciência. Lisboa: Ed. Aster.

Ferraz, Maria Lurdes, Rodrigues, José Francisco, & Saraiva, Luís (Ed.). (1990). Anastácio da Cunha - 1744/1787 - o matemático e o poeta. Lisboa: INCM.

Guzmán, Miguel de (1993). Tendencias innovadoras en la educación matemática. Boletim da S.P.M., 25, 9-34.

Lima, Elon Lages (1987). Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

Marques, Sérgio Macias (1991). Galeria de matemáticos do "Jornal de Mathematica Elementar". Lisboa: Ed. "Jornal de Mathematica Elementar".

Ministério-da-Educação (1997). Matemática - Programas: 10º, 11º e 12º anos. Porto: Departamento do Ensino Secundário.

Oliveira, J. Tiago de (1989). O essencial sobre a História das Matemáticas em Portugal. Lisboa: INCM.

Pérez, Mariano Martínez (1995). La historia de la Matemática como recurso didáctico (1ª parte). Boletin da la Sociedade "Puig Adam" de Professores de Matematicas, 39(Febrero), 67-77.

Silva, Jaime Carvalho e (1994). History of Mathematics in the classroom: hopes, uncertainties and dangers. In Sérgio Nobre (Ed.), Meeting of the HPM, (pp. 129-135). Blumenau, Brasil:

Silva, José Sebastião, & Paulo, J. D. Silva (1970). Compêndio de Álgebra - Tomo 1 - 6º ano (2 ed.). Braga: Livraria Cruz.

Silva, José Sebastião e (1978). Compêndio de Matemática-1º vol, 1º tomo. GEP.

Struik, Dirk J. (1992). História Concisa das Matemáticas (2ª ed.). Lisboa: Gradiva.