Nota nº 2 sobre a discussão da proposta de programas de Matemática A

O ensino dos vetores

Como já afirmei em vários lugares (no texto publicado no "Jornal de Letras", no debate organizado pela APM e na nota anterior), entendo que a proposta de programa de Matemática A para o Ensino Secundário agora em discussão se revela totalmente desajustada em muitos aspetos, tanto por repetir fórmulas que já falharam por cá, como por ignorar a experiência de outros países nesta área, sobretudo os países bem colocados nos estudos internacionais.

Um dos temas onde isso é claramente patente é a opção feita na proposta de programa para o estudo dos vetores no 10º ano de escolaridade.

Vou começar por analisar como é que os países referenciados no documento agora em discussão tratam esta questão, isto é: França, Bélgica (francófona), Itália, Reino Unido e EUA.

Em França, os vetores aparecem [1] no 10º ano de escolaridade ("seconde") como forma de enriquecer o trabalho em geometria:

"Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants."

Não há preocupação com a formalização ou o enquadramento teórico, mas sim com a resolução de problemas geométricos mais ricos:

"En fin de compte, l’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier un problème d’alignement de points, de parallélisme ou d’intersection de droites, de reconnaissance des propriétés d’un triangle, d’un polygone – toute autonomie pouvant être laissée sur l’introduction ou non d’un repère, l’utilisation ou non de vecteurs."

A definição de vetor é feita a partir da utilização intuitiva da translação, sem que esta última seja estudada formalmente:

"La définition proposée des vecteurs permet d’introduire rapidement l’addition de deux vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un nombre réel. Cette introduction est faite en liaison avec la géométrie plane repérée. La translation, en tant que transformation du plan, n’est pas étudiée en classe de seconde."

O estudo dos vetores começa com a noção de translação, embora não seja estudada em detalhe:

"Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B."

Esta noção de translação é introduzida de um modo algo informal:

"À tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme A en B, l’unique point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu."

A partir daqui aparece a noção de vetor, e rapidamente se define a igualdade, a adição e o produto por um número real, assim como se trabalha com as coordenadas do vetor. O vetor AB será exatamente o que está associado à translação que transforma o ponto A no ponto B.

Os programas belgas [2] referem o uso dos vetores de uma fora claramente operacional:

"Quelques notions constituent les bases des compétences géométriques et trigonométriques (...). Les compétences calculatoires qui s’y rapportent sont amplifiées ensuite par la géométrie vectorielle ou analytique."

A noção de vetor é também usada para enriquecer as argumentações geométricas:

"Les compétences liées à l’argumentation sont au coeur de toute activité géométrique. Elles sont à l’oeuvre dans la réalisation et la justification de constructions, dans la recherche de propriétés et dans la rédaction de démonstrations, qu’elles soient synthétiques, vectorielles ou analytiques."

O programa apenas determina, quanto aos vetores, que se estude:

"Le calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace, faisant intervenir les composantes des vecteurs, leur égalité et le produit scalaire de deux vecteurs."

Em Itália os vetores são estudados [6] no "primeiro biénio" (9º e 10º anos) integrados no capítulo de álgebra e não no de geometria por serem associados às matrizes. A única orientação do programa está expressa na frase:

"Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. Approfondirà inoltre la comprensione del ruolo fondamentale che i concetti dell’algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica."

Este estudo é enquadrado pelos objetivos de aprendizagem do programa do seguinte modo:

"Nel primo biennio si inizia a costruire il linguaggio della fisica classica (grandezze fisiche scalari e vettoriali e unità di misura), abituando lo studente a semplificare e modellizzare situazioni reali, a risolvere problemi e ad avere consapevolezza critica del proprio operato."

Observamos assim que em Itália a resolução de problemas e as aplicações são o mote principal do estudo dos vetores.

No Reino Unido os vetores são estudados no Key Stage 4 (10º e 11º anos) [3] com as seguintes orientações oficiais:

"Vectors
understand and use vector notation; calculate, and represent graphically
the sum of two vectors, the difference of two vectors and a scalar multiple
of a vector; calculate the resultant of two vectors; understand and use the
commutative and associative properties of vector addition; solve simple
geometrical problems in 2-D using vector methods."

Mais uma vez encontramos uma visão prática do uso dos vetores associada à resolução de problemas.

Nos Estados Unidos os vetores são estudados [5] na "High School" (anos 9 a 12) juntamente com as matrizes:

"Vector and Matrix Quantities
• Represent and model with vector quantities.
• Perform operations on vectors.
• Perform operations on matrices and use matrices in applications."

As orientações para o estudo dos vetores e matrizes são apresentados no anexo 2. Tal como nos outros programas referenciados há uma grande preocupação pela ligação às aplicações e pela visualização gráfica, sempre num contexto de resolução de problemas.

Qual a opção da atual proposta de novos programas de Matemática A em Portugal? Na introdução pode ler-se:

"Com o intuito de dar continuidade ao estudo dos vetores iniciado no 8.º ano, e tendo em vista apresentar finalmente uma definição coerente e rigorosa de vetor, introduzem-se as relações binárias de equivalência e os respetivos conjuntos quociente, contexto que é igualmente utilizado para definir de forma mais rigorosa outros conceitos previamente abordados de modo menos formal, como, por exemplo, os conceitos de comprimento, de amplitude de ângulos ou de forma geométrica e que permite exprimir de modo preciso em que sentido um vetor se pode identificar com a translação que determina."

Ou seja, ao contrário de todos os outros programas referidos, o objetivo é "apresentar finalmente uma definição coerente e rigorosa de vetor". E para quê? Para fazer avançar as questões matemáticas? Não! Só para presentar uma definição rigorosa de vetor e de mais outros conceitos. A palavra "finalmente" neste contexto é curiosa. Não se pode terminar o secundário sem definir "tudo" rigorosamente. Para aplicar melhor? Não, simplesmente para se chegar a uma estrutura formalizada. E não é verdade que só com a definição rigorosa de vetor se possa associar um vetor com uma translação; tudo isso pode ser feito eficazmente de forma mais ou menos intuitiva, como é feito nos outros programas referidos. A Matemática, tal como é apresentada neste contexto, é esterilizadora; passa-se muito tempo com as teorizaçãoes e o que sobra para a resolução de problemas, o coração da matemática, é reduzido a uma mera aplicação de definições e teoremas!

E qual a abordagem teórica apresentada na proposta de programa de Matemática A para o estudo dos vetores? A das pesadíssimas "relações de equivalência" e "classes de equivalência":

"Relações de equivalência, partições e vetores
- Produtos cartesianos de conjuntos;
- Relações binárias e relações de equivalência; classes de equivalência, conjuntos-
-quociente e partições;
- Formas geométricas, comprimentos, direções, amplitudes e vetores enquanto classes
de equivalência; vetores e translações;
- Resolução de problemas envolvendo relações de equivalência e partições de conjuntos."

As Metas curriculares associadas a estes conteúdos confirmam a profundidade teórica pretendida:

"Relações de equivalência, partições e vetores
3. Interpretar os vetores como classes de equivalência

(...)
4. Identificar, fixado um conjunto A, uma «relação de equivalência» em A como uma
relação binária R, em A, reflexiva, simétrica e transitiva, e elementos x e y de A como
«R-equivalentes» (ou simplesmente como «equivalentes» se esta designação não for
ambígua) quando xRy.
5. Identificar, dado um conjunto A, uma «partição» em A como um conjunto de partes de
A não vazias, duas a duas disjuntas e cuja união é igual a A.
6. Identificar, dados um conjunto A, uma relação de equivalência R em A e a€A,
a «classe de equivalência de a para a relação R» como o conjunto Ra = {x: xRa} dos
elementos de A que estão na relação R com a, designando cada um deles por
«representante» de Ra.
7. +Provar, dado um conjunto A e uma relação de equivalência R em A, que o conjunto
A/R = {Ra: a € A} das classes de equivalência dos elementos de A para a relação R é
uma partição de A e designá-lo por «conjunto quociente de A pela relação R»."
(...)
9. Interpretar como relações binárias as relações de semelhança e de congruência de
figuras geométricas no espaço e reconhecer que se trata de relações de equivalência,
designando as classes de equivalência para a relação de semelhança por «formas
geométricas» ou simplesmente «formas».
(...)
14. Interpretar como relação binária a relação de equipolência de segmentos orientados
num plano e reconhecer que se trata de uma relação de equivalência, designando as
classes de equivalência por «vetores» desse plano.
15. Justificar, fixado um plano e um vetor v desse plano, que o gráfico GTv da translação Tv coincide, enquanto conjunto de pares ordenados, com o próprio vetor v enquanto
classe de equivalência de segmentos orientados."

Esta é uma abordagem totalmente inadequada para um 10º ano de escolaridade (ou qualquer outro ano do ensino secundário, está condenada ao fracasso e afastará da Matemática A a grande maioria dos estudantes portugueses.

Porque é que os programas portugueses se afastam de todos os outros programas que o próprio programa refere? Porque é que insiste em fórmulas que já falharam em Portugal e em todos os outros países onde foram aplicados? Vamos ter de repetir o desastre do passado para poder passar a uma outra fase?

Referencias:
[1]. Mathématiques, classe de seconde, Bulletin Officiel, n.º 30, Ministère de L’Éducation Nationale, 2009.
[2] Compétences Terminales et savoirs requis en Mathématiques, Humanités générales et
technologiques, Ministère de la Communauté Française, Bélgica, 1999.
[3] Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.
[4] Il curricolo di matematica Ciclo Secondario (primo e secondo biennio) “Matematica 2003”, UMI, 2003.
[5] Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011.
[6] Curricula Liceo Scientifico – Indicazioni, Ministero dell’Instuzione, dell’Università e della Ricerca, Itália, 2010.
(http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20scientifico.pdf)

ANEXO 1

Eis o resto dos conteúdos de vetores; as metas curriculares não são todas reproduzidas devido à quantidade de símbolos usada, mas devem ser lidas no original.

Programa:

Cálculo vetorial no plano
- Norma de um vetor;
- Multiplicação por um escalar de um vetor; relação com a colinearidade e o vetor
simétrico;
- Diferença entre vetores;
- Propriedades algébricas das operações com vetores;
- Base canónica do espaço vetorial dos vetores de um plano munido de um referencial
ortonormado e coordenadas de um vetor; combinação linear de vetores;
- Vetor-posição de um ponto e respetivas coordenadas;
- Coordenadas da soma e da diferença de vetores; coordenadas do produto de um vetor
por um escalar e do simétrico de um vetor; relação entre as coordenadas de vetores
colineares;
- Vetor diferença de dois pontos; cálculo das respetivas coordenadas; coordenadas do
ponto soma de um ponto com um vetor;
- Cálculo da norma de um vetor em função das respetivas coordenadas;
- Vetor diretor de uma reta; relação entre as respetivas coordenadas e o declive da reta;
- Paralelismo de retas e igualdade do declive;
Conteúdos Página 12
- Equação vetorial de um reta;
- Equações paramétricas de uma reta;
- Resolução de problemas envolvendo a determinação de coordenadas de vetores no
plano, a colinearidade de vetores e o paralelismo de retas do plano.

Geometria analítica no espaço
- Referenciais cartesianos ortonormados do espaço;
- Equações de planos paralelos aos planos coordenados;
- Equações cartesianas de retas paralelas a um dos eixos;
- Distância entre dois pontos no espaço;
- Equação do plano mediador de um segmento de reta;
- Equação cartesiana reduzida da superfície esférica;
- Inequação cartesiana reduzida da esfera;
- Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço;
- Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de
subconjuntos do espaço.

Cálculo vetorial no espaço
- Generalização ao espaço da noção de vetor e dos conceitos e propriedades básicas do
cálculo vetorial;
- Equação vetorial da reta no espaço;
- Resolução de problemas envolvendo cálculo vetorial no espaço.

Metas curriculares

Cálculo vetorial no espaço
11. Definir vetores do espaço
1. Designar um par de segmentos orientados do espaço por «equipolentes» quando são
complanares e equipolentes num plano que os contenha, interpretar esta relação como
uma relação binária e reconhecer que é uma relação de equivalência.
2. Designar por «vetores do espaço» as classes de equivalência da relação de equipolência
definida no conjunto dos segmentos orientados do espaço.
3. Estender do plano ao espaço a definição de norma de um vetor, de adição de um ponto
com um vetor, de translação de um dado vetor e as operações de subtração de dois
pontos, de adição e subtração de vetores, de multiplicação de um vetor por um escalar e
as respetivas propriedades geométricas e algébricas.

ANEXO 2

Eis a totalidade do programa americano (CCSS) no que diz respeito aos vetores e matrizes:

Vector and Matrix Quantities

Represent and model with vector quantities.

1. (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and
direction. Represent vector quantities by directed line segments, and
use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|,
||v||, v).
2. (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of
an initial point from the coordinates of a terminal point.
3. (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be
represented by vectors.

Perform operations on vectors.

4. (+) Add and subtract vectors.
a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the
parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of
two vectors is typically not the sum of the magnitudes.
b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the
magnitude and direction of their sum.
c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the
additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing
in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically
by connecting the tips in the appropriate order, and perform
vector subtraction component-wise.
5. (+) Multiply a vector by a scalar.
a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and
possibly reversing their direction; perform scalar multiplication
component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy).
b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v.
Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the
direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

Perform operations on matrices and use matrices in applications.

6. (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent
payoffs or incidence relationships in a network.
7. (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when
all of the payoffs in a game are doubled.
8. (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.
9. (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix
multiplication for square matrices is not a commutative operation, but
still satisfies the associative and distributive properties.
10. (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix
addition and multiplication similar to the role of 0 and 1 in the real
numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if
the matrix has a multiplicative inverse.
11. (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a
matrix of suitable dimensions to produce another vector. Work with
matrices as transformations of vectors.
12. (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and
interpret the absolute value of the determinant in terms of area.