Nota nº 3 sobre a discussão da proposta de programas de Matemática A

A resolução de problemas

A proposta de Programas e Metas de Matemática para o secundário atualmente em discussão não peca apenas por incluir conteúdos que são em quantidade e em nível de abstração desajustados para os nossos alunos do ensino secundário e para as condições de trabalho atualmente existentes em Portugal, como também diverge do que atualmente se faz pelo mundo fora, incluindo nos países que são citados na própria proposta de programa.

E essa divergência não diz respeito apenas aos conteúdos escolhidos mas também diz respeito ao tipo de trabalho a ter na sala de aula.

Apesar de poder citar muitos outros países, nomeadamente da Ásia, vou concentrar-me nos países referenciados no documento agora em discussão, isto é: França, Bélgica (francófona), Itália, Reino Unido e EUA. Como encaram estes países o trabalho na aula de Matemática, nomeadamente no que diz respeito à resolução de problemas?

Os objetivos definidos no 10º ano de escolaridade ("seconde") em França [1], são muito claros:

"L’objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendre capables de :
- modéliser et s’engager dans une activité de recherche ;
- conduire un raisonnement, une démonstration ;
- pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ;
- faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche ;
- pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (graphique, numérique, algébrique, géométrique) ;
- utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ;
- communiquer à l’écrit et à l’oral."

Obviamente que isto implica que os problemas a trabalhar na sala de aula são muito mais do que meros exercícios de aplicação das matérias estudadas. A recomendação dos programas é que considere também a autonomia e o espírito de iniciativa dos alunos:

"Dans la mesure du possible, les problèmes posés s’inspirent de situations liées à la vie courante ou à d’autres disciplines. Ils doivent pouvoir s’exprimer de façon simple et concise et laisser dans leur résolution une place à l’autonomie et à l’initiative des élèves. Au niveau d’une classe de seconde de détermination, les solutions attendues sont aussi en général simples et courtes."

Em França os programas dão extrema importância a atividades diversificadas na sala de aula e existe um parágrafo no programa com esse título:

"Diversité de l’activité de l’élève
La diversité des activités mathématiques proposées :
 - chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels ;
 - appliquer des techniques et mettre en oeuvre des algorithmes ;
 - raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ;
 - expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit ;
doit permettre aux élèves de prendre conscience de la richesse et de la variété de la démarche mathématique et de la situer au sein de l’activité scientifique. Cette prise de conscience est un élément essentiel dans la définition de leur orientation. Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe."

Em Portugal a tecnologia é olhada com desconfiança, em França é considerada uma ferramenta fundamental para a abordagem dos problemas. Mas também não é esquecido o cálculo mental:

"Il est important en classe de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental, du calcul numérique et du calcul littéral. L’utilisation d’outils logiciels de calcul – sur calculatrice ou sur ordinateur – contribue à cet entraînement."

Na proposta de programas em discussão em Portugal não aparece qualquer referência ao cálculo mental!

No documento belga [2] a resolução de problemas é um dos objetivos definidos para o referencial de "competências terminais e saberes requeridos" oficial. Em cada um dos capítulos aparece uma seção intitulada "3.Appliquer, analyser, résoudre des problèmes" onde se referem o tipo de problemas pretendidos e se recomenda por exemplo: "Présenter les résultats oralement ou par écrit dans une expression claire, concise, exempte d’ambiguïté". E a importância dos problemas é finalmente frisada na ligação com a História da Matemática: "Pour enseigner des mathématiques qui ont un sens et lutter ainsi contre une vision dogmatique des mathématiques, il y a lieu d’insister sur le rôle des problèmes dans l’émergence des concepts."

Os programas italianos [4] salientam igualmente a resolução de problemas, sendo uma das competências a adquirir, muito ligada à modelação e até alertam contra o tecnicismo excessivo:

"verranno evitate dispersioni in tecnicismi ripetitivi o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi. L'approfondimento degli aspetti tecnici, sebbene maggiore nel liceo scientifico che in altri licei, non perderà mai di vista l’obiettivo della comprensione in profondità degli aspetti concettuali della disciplina. L’indicazione principale è: pochi concetti e metodi fondamentali, acquisiti in profondità."

Os programas italianos também salientam o papel da informática na resolução de problemas: "anche utilizzando strumenti informatici di rappresentazione geometrica e di calcolo"

Na Inglaterra o programa do Key Stage 4 [3], tem a resolução de problemas como uma das competências centrais a desenvolver:

"At key stage 4, young people should see how their studies will lead to further education and employment and be helped to develop competence in skills such as analysis, problem solving, reasoning and communication."

Mais adiante esta competência de resolução de problemas é devidamente detalhada:

"Problem solving
The key skill of problem solving involves pupils developing the skills and strategies that will help them to solve the problems they face in learning and in life. Problem solving includes the skills of identifying and understanding a problem, planning ways to solve a problem, monitoring progress in tackling a problem and reviewing solutions to problems. All subjects provide pupils with opportunities to respond to the challenge of problems and to plan, test, modify and review the progress needed to achieve particular outcomes."

É muito relevante a referência a "developing the skills and strategies that will help them to solve the problems". Desenvolver estratégias, é o que se pretende. A resolução de problemas é repetidamente enfatizada e detalhada em cada capítulo. Por exemplo, no capítulo de Geometria podemos ler:

"Problem solving
- select problem-solving strategies and resources, including ICT tools, to use in geometrical work, and monitor their effectiveness
- select and combine known facts and problem-solving strategies to solve complex problems
- identify what further information is needed to solve a geometrical problem; break complex problems down into a series of tasks"

Estes conselhos são muito semelhantes aos de George Polya (uma referência sonoramente ausente na proposta de programas em Portugal). Podemos também identificar a influência de Goerge Polya nos novos programas/metas americanos [5]. Podemos até dizer que estes são os que mais enfatizam a resolução de problemas, visto que a consideram como um tema transversal do programa/metas para todos os anos de escolaridade:

"Make sense of problems and persevere in solving them.
Mathematically proficient students start by explaining to themselves the meaning of a problem and looking for entry points to its solution. They analyze givens, constraints, relationships, and goals. They make conjectures about the form and meaning of the solution and plan a solution pathway rather than simply jumping into a solution attempt. They consider analogous problems, and try special cases and simpler forms of the original problem in order to gain insight into its solution. They monitor and evaluate their progress and change course if necessary. Older students might, depending on the context of the problem, transform algebraic expressions or change the viewing window on their graphing calculator to get the information they need. Mathematically proficient students can explain correspondences between equations, verbal descriptions, tables, and graphs or draw diagrams of important features and relationships, graph data, and search for regularity or trends. Younger students might rely on using concrete objects or pictures to help conceptualize and solve a problem. Mathematically proficient students check their answers to problems using a different method, and they continually ask themselves, “Does this make sense?” They can understand the approaches of others to solving complex problems and identify correspondences between different approaches."

Mais uma vez se nota a preocupação de desenvolver diferentes tipos de estratégias, onde se inclui o uso de ferramentas informáticas, para resolver problemas. E temas como "conjeturas" e "considerar casos especiais", "analisar casos análogos", que estão no âmago do método de Polya, aparecem como essenciais neste programa/metas.

Em contraste, a proposta de programas portuguesa é muita lacónica sobre a resolução de problemas, na realidade reduzida a simples aplicação de técnicas e procedimentos:

"Resolução de problemas – A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais."

Não aparecem aqui conjeturas, nem diferentes representações, nem o suporte da tecnologia. Pelo contrário, só se usam "regras e procedimentos, previamente estudados e treinados". Como aspeto mais surpreendente, a proposta portuguesa é a única a usar uma técnica descritiva negativa:

"Assim, a resolução de problemas não deve confundir-se com atividades vagas de exploração e de descoberta que, podendo constituir estratégias de motivação, não se revelam adequadas à concretização efetiva de uma finalidade tão exigente."

Esta posição redutora da proposta de programa portuguesa é reforçada pela frase seguinte da proposta agora em discussão:

"a conveniência de uma progressiva utilização das técnicas e princípios que vão sendo adquiridos, procurando-se um equilíbrio entre a adequação das questões propostas a essa aquisição progressiva e uma ilustração, nem sempre possível, de situações inteiramente inspiradas na vida corrente."

Esta perspetiva pobre ainda se torna mais estranha, se compararmos com a perspetiva dos países asiáticos de melhor desempenho, como a Coreia do Sul e de Singapura.

Na Coreia do Sul o programa oficial [6] indica que: "The intense understanding and application of mathematical concepts, including practical problem solving activity, are essential in learning diverse subjects successfully and are also necessary to increase one's professional skills and ability to solve problems as a democratic citizen." No detalhe do program aparecem muitas recomendações que reforçam esta ideia. Por exemplo: "If possible, ask open questions to encourage students' creative responses" (p. 62) e "Problem solving should be reflected in all areas of the Mathematics Curriculum" e ainda "Students should investigate situations related to nonmathematical or mathematical  problems, and with their acquired mathematical knowledge and thinking methods, use appropriate methods to solve problems." (pg. 63).

De entre os objetivos da disciplina final do alunos do Ensino Secundário que em Singapura estudam mais Matemática podemos encontrar mesmo a expressão "resolução criativa de problemas"[7]:

"develop rigorous habits of mind through mathematical reasoning and proof, creative mathematical problem solving, and use of mathematical models"

O que escreveu o célebre matemático George Polya sobre a resolução de problemas?

"Um professor de matemática tem, assim, uma grande oportunidade. Se preenche o tempo de que dispõe a exercitar os seus alunos em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa forma, aquela oportunidade. Mas se desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas adequados aos seus conhecimentos e ajudando-os com interpelações estimulantes, poderá despertar neles o gosto pelo pensamento independente e proporcionar-lhes alguns meios para o concretizarem." [8]

Ou seja, todos os países se aproximam das ideias de Polya. 
É mesmo muito difícil encontrar um País que tenha uma visão tão restritiva da resolução de problemas como em Portugal. 
Porquê?

Referências:
[1] Mathématiques, classe de seconde, Bulletin Officiel, n.º 30, Ministère de L’Éducation Nationale, 2009.
[2] Compétences Terminales et savoirs requis en Mathématiques, Humanités générales et
technologiques, Ministère de la Communauté Française, Bélgica, 1999.
[3] Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.
[4] Curricula Liceo Scientifico – Indicazioni, Ministero dell’Instuzione, dell’Università e della Ricerca, Itália, 2010.
[5] Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011.
[6] Mathematics Curriculum, KICE. Ministry of Education and Human Resources Development, Korea. 2007.
[7] MATHEMATICS - HIGHER 3 (Syllabus 9824), Singapore Examinations and Assessment Board, 2013.
[8] George Polya, COMO RESOLVER PROBLEMAS, col. CIÊNCIA ABERTA, Gradiva, 2003.