Nota nº 4 sobre a discussão da proposta de programas de Matemática A

Conteúdos adicionados

Tentarei nesta nota passar em revista os conteúdos incluídos na proposta de Programas e Metas de Matemática para o secundário atualmente em discussão, relacionando-os com a presença (ou não) nos programas dos países referenciados nessa proposta (isto é, França, Bélgica (francófona), Itália, Reino Unido e EUA) e ainda em Singapura e na Coreia do Sul. No caso de Inglaterra usamos o documento [5] para o Key Stage 4 (KS4, correspondente ao 10º e 11º anos) e o documento [6] para o A-level (A, correspondente ao 12º e 13º anos).

Eis os itens de conteúdos/temas novos nesta proposta de Programa (não foram analisados os itens das Metas mas são obviamente muito mais numerosos), divididos por anos de escolaridade:

10º ano
Introdução à Lógica bivalente e à Teoria dos conjuntos
10.1- Reflexividade e transitividade da implicação e da equivalência; simetria da equivalência
10.2- Propriedades comutativa, associativa, de existência de elemento neutro e de elemento absorvente e da idempotência da disjunção e da conjunção e propriedades distributivas da conjunção em relação à disjunção e da disjunção em relação à conjunção;
10.3- Leis de De Morgan;
10.4- Resolução de problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.
10.5- Expressão proposicional ou condição; quantificador universal, quantificador existencial e segundas Leis de De Morgan;
10.6- Propriedades comutativa, associativa, de existência de elemento neutro e elemento absorvente e da idempotência da união e da interseção e propriedades distributivas da união em relação à interseção e da interseção em relação à união;
10.7- Resolução de problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos

Radicais
10.8- Racionalização de denominadores;

Geometria analítica no plano
10.9- elipse: relação entre eixo maior, eixo menor e distância focal;

Relações de equivalência, partições e vetores
10.10- Relações binárias e relações de equivalência; classes de equivalência, conjuntos-quociente e partições;
10.11- Formas geométricas, comprimentos, direções, amplitudes e vetores enquanto classes de equivalência
10.12- Resolução de problemas envolvendo relações de equivalência e partições de conjuntos

Cálculo vetorial no plano
10.13- Equações paramétricas de uma reta;

Generalidades acerca de funções
10.14- Restrições de uma função;
10.15- Imagem de um conjunto por uma função
10.16- Funções sobrejetivas

10.17- Sinal de somatório; tradução no formalismo dos somatórios das propriedades
associativa e comutativa generalizadas da adição e distributiva generalizada da
multiplicação em relação à adição;

10.18- Percentil de ordem k; propriedades do percentil de ordem k;

Simulação Monte Carlo
10.19- Simulação de experiências aleatórias por recurso a algoritmos geradores de números pseudo-aleatórios;
10.20- Propriedades inferenciais da média com recurso à simulação Monte Carlo;
10.21- Resolução de problemas envolvendo sequências de números pseudo-aleatórios.

11º ano
Extensão da Trigonometria
11.1-Lei dos cossenos

Ângulos orientados
11.2-Rotações;
11.3-Orientação de um plano;
11.4-Ângulos generalizados e rotações.

Funções trigonométricas
11.5-Inequações trigonométricas com domínio num intervalo limitado;
11.6-Funções trigonométricas inversas;

Aplicações aos osciladores harmónicos
11.7- Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação, período, frequência e fase;
11.8- Resolução de problemas envolvendo osciladores harmónicos.

Produto escalar de vetores
11.9- Desigualdade de Cauchy-Schwarz;
11.10- Simetria e bilinearidade do produto escalar;

Equações de planos no espaço
11.11- Equações paramétricas de planos;

Vocabulário da otimização
11.12- Função objetivo; região admissível e pontos admissíveis;
11.13- Conjunto de nível de uma função numérica.

Conjunto dos majorantes e conjunto dos minorantes de uma parte não vazia de R
11.14- Conjuntos minorados, majorados e limitados;
11.15- Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto;
11.16- Princípio do supremo; caracterização do conjunto dos majorantes e do conjunto dos
minorantes de um conjunto não vazio de números reais;
11.17- Caracterização do supremo e do ínfimo de um conjunto não vazio de números reais.

Limites segundo Heine de funções reais de variável real
11.18- Pontos aderentes a um conjunto de números reais;
11.19- Limite de uma função composta;

Diferenciabilidade
11.20-Teorema de Lagrange e de Rolle; interpretação geométrica;

Cinemática do ponto
11.21- Aplicação da noção de derivada à cinemática do ponto: funções posição, velocidade
média e velocidade instantânea de um ponto material que se desloca numa reta;
unidades de medida de velocidade;
11.22- Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidades médias e
velocidades instantâneas e mudanças de unidades de velocidade.

12º ano
Limites e Continuidade
12.1- Vizinhanças de menos infinito e de mais infinito;
12.2- Teoremas de comparação envolvendo desigualdades entre funções e os respetivos limites;
12.3- Teorema das funções enquadradas;
12.4- Utilização dos teoremas de comparação e do teorema das funções enquadradas para determinar limites de funções reais de variável real;
12.5- Bijetividade das funções monótonas e contínuas num dado intervalo; continuidade da função inversa;
12.6- Teorema de Weierstrass;

Diferenciabilidade
12.7- Derivada da função inversa; aplicação à derivada de raiz indice n de x.

Derivada de segunda ordem
12.8- Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem de uma função posição:
aceleração média e aceleração; unidades de medida de aceleração;

Aplicações aos osciladores harmónicos
12.9- Relação Fundamental da Dinâmica e lei de Hooke;
12.10- Os osciladores harmónicos como soluções de equações diferenciais da forma f''=-w^2 f;
12.11- Resolução de problemas envolvendo osciladores harmónicos.

Modelos exponenciais
12.12- A equação f'=kf, keR, enquanto modelo para o comportamento da medida de
grandezas cuja taxa de variação é aproximadamente proporcional à quantidade de
grandeza presente num dado instante (evolução de uma população, da temperatura de
um sistema ou do decaimento de uma substância radioativa);
12.13- Soluções da equação  f'=kf, keR ;
12.14- Resolução de problemas de aplicação, envolvendo a equação  f'=kf, keR .

Primitivas
12.15- Definição de primitiva de uma função num intervalo; família das primitivas de uma
dada função num intervalo; linearidade da primitivação;
12.16- Primitivas de funções da forma u'(x)f(u(x)).

Cálculo Integral
12.17- Aditividade e monotonia da medida de área;
12.18- Definição intuitiva da noção de integral de funções contínuas não negativas num
intervalo limitado e fechado;
12.19- Origem histórica do símbolo de integral;
12.20- Noção de integral definido para funções contínuas num intervalo limitado e fechado
que alternam de sinal um número finito de vezes;
12.21- Teorema fundamental do cálculo integral, Fórmula de Barrow e Teorema da média;
12.22- Linearidade e monotonia do integral definido; aditividade do integral em relação ao
domínio;
12.23- Referência a extensões da noção de integral; existência de primitivas para funções
contínuas em intervalos.

Resolução de problemas
12.24- Resolução de problemas envolvendo o cálculo de medidas de área de regiões do plano;
12.25- Resolução de problemas envolvendo a primitivação e a integração de funções
contínuas;
12.26- Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidade e aceleração e a
primitivação e integração de funções.

Observamos que há 21+22+26=69 novos itens de conteúdo nos 3 anos deste programa. Estes itens de conteúdo correspondem a dezenas de itens nas Metas.

Em que outros países são lecionados estes conteúdos? Por um lado a comparação não é fácil de fazer porque os programas seguem orientações diferentes e a estrutura do sistema educativo é diferente. Em Inglaterra o sistema vai até ao 13º ano (foi considerado todo o programa citado na referência) e em Singapura há 3 disciplinas sequenciais no 11º e 12º anos. Por outro lado, alguns itens poderiam ter uma correspondência diferente da apresentada, mas como os itens são transcritos, a ambiguidade é clara.

10º ano
Introdução à Lógica bivalente e à Teoria dos conjuntos - Itália: "Relazioni e funzioni
Obiettivo di studio sara` il linguaggio degli insiemi e delle funzioni (dominio, composizione,
inversa, ecc.), anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo
all’introduzione del concetto di modello matematico."
10.1- 
10.2-
10.3-
10.4-
10.5-
10.6-
10.7-

Radicais
10.8- Singapura: "Indices and surds: rationalising the denominator"

Geometria analítica no plano
10.9- Itália: "Le sezioni coniche saranno studiate sia da un punto di vista geometrico sintetico che analitico.
Inoltre, lo studente approfondira` la comprensione della specificita` dei due approcci (sintetico e
analitico) allo studio della geometria."
Bélgica: "Une conique déterminée par foyer, directrice et excentricité. une conique centrée :définition bifocale. Les caractéristiques (le type de représentation) d’une conique à partir d’une équation."
EUA: "Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact that the sum or difference of distances from the foci is constant."
10.10-
10.11-
10.12-
10.13- França: "Représentation paramétrique d’une droite." Inglaterra (A): "Parametric 
equations of curves and conversion between Cartesian and parametric forms."
10.14-
10.15-
10.16-
10.17
10.18-
10.19-
10.20-
10.21-

11º ano
Extensão da Trigonometria
11.1- Itália: "Saranno inoltre studiate (…) i teoremi che permettono la risoluzione dei triangoli e e il loro uso nell’ambito di altre discipline, in particolare nella fisica."
EUA: "The Pythagorean Theorem is generalized to nonright triangles by the Law of Cosines. Together, the Laws of Sines and Cosines embody the triangle congruence criteria for the cases where three pieces of information suffice to completely solve a triangle. Furthermore, these laws yield two possible solutions in the ambiguous case, illustrating that Side-Side-Angle is not a congruence criterion.", "Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve
problems. Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unknown measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces)."
Coreia: "Applications to triangles: Understand the sine and cosine rules."
Singapura: "use of sine rule and cosine rule for any triangle"

Ângulos orientados
11.2- Inglaterra (KS4): "understand that rotations are specified by a centre and an (anticlockwise) angle; use any point as the centre of rotation; measure the angle of rotation, using right angles, fractions of a turn or degrees"
11.3-
11.4-

Funções trigonométricas
11.5- Coreia: "Solve simple trigonometric equations and trigonometric inequalities.", "The general solution of trigonometric equations and triangle inequalities are not dealt with."
11.6- Inglaterra (A): "Knowledge of secant, cosecant and cotangent and of arcsin, arccos and arctan; their relationships to sine, cosine and tangent; understanding of their graphs and appropriate restricted domains "
Singapura: "principal values of the inverses of sine, cosine and tangent"

Aplicações aos osciladores harmónicos
11.7- 
11.8- 

Produto escalar de vetores
11.9- 
11.10- 

Equações de planos no espaço
11.11- 

Vocabulário da otimização
11.12- 
11.13- 

Conjunto dos majorantes e conjunto dos minorantes de uma parte não vazia de R
11.14- 
11.15- 
11.16- 
11.17- 

Limites segundo Heine de funções reais de variável real
11.18- 
11.19- 

Diferenciabilidade
11.20-

Cinemática do ponto
11.21- Singapura: "concepts of speed, uniform speed and average speed"
11.22- Singapura: "problems involving speed, uniform speed and average speed"

12º ano
Limites e Continuidade
12.1- 
12.2- 
12.3- 
12.4- 
12.5- 
12.6- 

Diferenciabilidade
12.7- 

Derivada de segunda ordem
12.8- 

Aplicações aos osciladores harmónicos
12.9- Itália (5º ano do "LICEO SCIENTIFICO" - 13º ano): "Altro importante tema di studio sara` il concetto di equazione differenziale, cosa si intenda con le sue soluzioni e le loro principali proprieta`, noncheÅL alcuni esempi importanti e significativi di equazioni differenziali, con particolare riguardo per l’equazione della dinamica di Newton."
Singapura: "Mathematical models of population dynamics (including logistic growth equation, equilibrium points and their stability, harvesting and bifurcation) and of vibrating springs (including damped vibrations, damping constant, over-damping, critical damping and under-damping, frictional force, restoring force and damping force, equilibrium position, Hooke’s Law and Newton’s Second Law of motion)"
12.10- 
12.11- 

Modelos exponenciais
12.12- Singapura: "formulating a differential equation from a problem situation", "interpretation of a solution in terms of the problem situation"
12.13- Inglaterra (A): "Analytical solution of simple first order differential equations with separable variables"
Singapura: "use of a family of solution curves to represent the general solution of a differential equation"
12.14- 

Primitivas
12.15- França: "Primitive d’une fonction continue sur un intervalle. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivée".
Inglaterra (A): "Indefinite integration as the reverse of differentiation"
Singapura: "integration as the reverse of differentiation"
12.16- França: "Connaître et utiliser les primitives de u′ e^u, …", 
Inglaterra (A): "Integration of x^n. Integration of e^x, 1/x, sinx, cosx "
Singapura: "integration of x^n for any rational n, sin x , cos x , sec^2 x and e^x , together with constant multiples, sums and differences", "integration of (ax + b)^n for any rational n , sin(ax + b) , cos(ax + b) and e^(ax+b)"

Cálculo Integral - Bégica: "La signification de l’intégrale. Les éléments caractéristiques liés à une fonction (limites, dérivées, intégrales,…). Appliquer la dérivation, l’intégration pour résoudre des problèmes issus des mathématiques, des sciences, de l’économie : aires, volumes, longueurs, détermination de tangentes, croissance, optimisation. Modéliser des problèmes de manière à les traiter au moyen des fonctions de référence (y compris les fonctions logarithmique et exponentielle), des outils dérivées et intégrales."
12.17- 
12.18- França: "Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a,b] comme aire sous la courbe."
Singapura: "definite integral as area under a curve"
12.19- 
12.20- França: "Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque."
12.21- França: "Théorème : si f est une fonction continue et positive sur [a,b], la fonction F définie sur [a,b] par F(x) = Int(a,b) f(t)dt est dérivable sur [a, b] et a pour dérivée f. Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas où f est positive et croissante."
12.22- França: "Linéarité, positivité, relation de Chasles."
12.23- França: "Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives."

Resolução de problemas
12.24- Inglaterra (A): "Approximation of area under a curve using the trapezium rule; interpretation of the definite integral as the area under a curve; evaluation of definite integrals", "Numerical integration of functions"
12.25- Singapura: "evaluation of definite integrals", "finding the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the coordinate axes", "finding areas of regions below the x-axis"
12.26- Singapura: "application of differentiation and integration to problems involving displacement, velocity and acceleration of a particle moving in a straight line with variable or constant acceleration"

Tentei verificar cargas horárias da disciplina mas tal tarefa não se revela exequível no tempo de que disponho, devido a diferenças de estrutura escolar, de duração do ano letivo e de combinações com outras componentes escolares.

Note-se que desapareceram alguns conteúdos atualmente presentes no programa de Matemática A do secundário, mas estes são muito poucos. Desapareceu o módulo inicial que pretendia fazer a ponte entre o Ensino Básico e o Ensino Secundário e onde se estudavam vários problemas importantes de que os mais frequentes eram: desenvolvimento decimal de números racionais e irracionais e propriedades do período, seções em sólidos geométricos e o problema dos sólidos platónicos. Desapareceu o estudo de uma axiomática (a axiomática das probabilidades) e desapareceu o estudo de domínios planos com números complexos. Desapareceram ainda os temas opcionais do programa (cónicas, interpolação polinomial e demonstrações de geometria com os números complexos).

Em conclusão, verificamos que em nenhum dos 7 países considerados estão presentes os itens mais teóricos que estão propostos para o programa de Matemática A em Portugal. Em que se baseia então a ideia de colocar tantas formulações abstratas e tantos teoremas neste programa? Não é na experiência internacional!!!
Em vários países são tratados temas de cónicas, trigonometria, integração e equações diferenciais, mas normalmente a um nível mais intuitivo e aplicado do que a tónica proposta para Matemática A, como é fácil concluir pela listagem apresentada.
Teremos de concluir que a proposta de programa de Matemática A é completamente inadequada e não tem nenhuma fundamentação na experiência internacional. Precisará pois de ser seriamente revista.

Referências:
[1] Mathématiques, classe de seconde, Bulletin Officiel, n.º 30, Ministère de L’Éducation Nationale, 2009.
[2] MATHÉMATIQUES, CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE, CLASSE DE PREMIÈRE, Bulletin Officiel, n.º 9, Ministère de L’Éducation Nationale, 2010.
[3] Programme de l’enseignement spécifique et de spécialité de mathématiques, Classe terminale de la série scientifique, Bulletin Officiel, n.º 8, Ministère de L’Éducation Nationale, 2011.
[4] Compétences Terminales et savoirs requis en Mathématiques, Humanités générales et
technologiques, Ministère de la Communauté Française, Bélgica, 1999.
[5] Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.
[6] GCE AS and A Level Subject Criteria for Mathematics, OFQUAL - Office of Qualifications and Examinations Regulation, Coventry, September 2011.	
[7] Curricula Liceo Scientifico – Indicazioni, Ministero dell’Instuzione, dell’Università e della Ricerca, Itália, 2010.
[8] Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011.
[9] Mathematics Curriculum, KICE. Ministry of Education and Human Resources Development, Korea. 2007.
[10] Secondary Mathematics Syllabuses, Ministry of Education, Singapore, 2006.
[11] MATHEMATICS - HIGHER 3 (Syllabus 9824), Singapore Examinations and Assessment Board, 2013.
[12] MATHEMATICS - HIGHER 2 (Syllabus 9740), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.
[13] MATHEMATICS - HIGHER 1 (Syllabus 8864), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.