Nota nº 5 sobre a discussão da proposta de programas de Matemática A

Contrastes

Nas notas anteriores já coloquei em evidência a necessidade de serem introduzidas sérias modificações na proposta de Programas e Metas de Matemática para o secundário atualmente em discussão.

Não consigo, no tempo disponível, elaborar uma proposta alternativa; não seria sério da minha parte elaborar tal em menos de um mês, cumprindo ao mesmo tempo as minhas obrigações profissionais e familiares. Por outro lado, seria totalmente indispensável, na minha opinião, elaborar dois estudos prévios para que tal empresa pudesse vir a ter sucesso:

i) Qual o retrato da situação atual do ensino secundário de Matemática em Portugal? Já em 1996 foi feito um inquérito a uma amostra de 50 escolas para depois se perceber o que estava a correr mal e o que era possível ajustar no programa vigente.
ii) Qual a situação nos países de referência? Aqui incluiria países como Singapura, Coreia do Sul, Finlandia, Canadá, Austrália e Holanda, países muito bem colocados nos estudos internacionais; o estudo teria de incluir a estrutura curricular, os programas, os manuais e os exames nacionais.

Só com estes estudos prévios será possível empreender um estudo sério da revisão necessária no atual programa de Matemática A (essa revisão terá ainda necessariamente de ser feita de forma coordenada com os outros programas, Matemática B, MACS, profissional, etc).

Neste momento apenas posso contrastar a proposta em discussão com outros documentos para tentar mostrar que não é uma proposta que possa ser homologada a curto prazo e que precisa de ser revista em muitos pontos.

Vou escolher alguns pontos de dissonância com o conteúdo dos programas dos países já mencionados em notas anteriores: França, Bélgica (francófona), Itália, Reino Unido e EUA, Singapura e Coreia do Sul.

a) França: recomendações sobre o uso da tecnologia

Os programas franceses [1] são enfáticos sobre a importância do uso da tecnologia na sala de aula preconizando uma "utilisation régulière" de softwares, referindo mesmo que o seu uso "change profondément la nature de l’enseignement" e "ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration". Uma das secções é mesmo dedicada ao uso de software:

"Utilisation d’outils logiciels
L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement.
L’utilisation régulière de ces outils peut intervenir selon trois modalités :
- par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective adapté ;
- par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ;
- dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps de classe (par exemple au CDI ou à un autre point d’accès au réseau local)."

A visão dos programas portugueses é redutora pois, se é verdade que aconselha a aproveitar os recursos existentes nas escolas, considera que pode "comprometer gravemente" o ensino da matemática:

"A tecnologia no Ensino Secundário deve portanto ser aproveitada para ajudar os alunos a compreender certos conteúdos e relações matemáticas e para o exercício de certos procedimentos; essa utilização deve, no entanto, ser criteriosa, já que, caso contrário, pode condicionar e comprometer gravemente a aprendizagem e a avaliação."

Esta "salvaguarda" está ausente dos programas de todos os países considerados. Justifica-se?

Os programas franceses não descuram o cálculo, pelo contrário, até continuam a insistir no cálculo mental, aspeto ausente nesta proposta portuguesa de programa e metas para o ensino secundário:

"Le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important en
classe de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental, du calcul numérique et du calcul littéral. L’utilisation d’outils logiciels de calcul – sur calculatrice ou sur ordinateur – contribue à cet entraînement."

E observamos mais, que os programas franceses consideram que a tecnologia ajuda a desenvolver o cálculo, enquanto os programas portugueses acham que não:

"os alunos devem dominar procedimentos como operar com polinómios, efetuar representações de gráficos de funções, resolver equações, calcular limites e derivadas sem necessitarem de utilizar recursos tecnológicos (calculadoras, computadores, etc.) que substituam algumas das capacidades matemáticas inerentes a esses procedimentos."

É aqui apresentada uma oposição entre a tecnologia e a memorização que não aparece fundamentada e diverge de todos os outros programas. Em particular os estudos da OCDE baseados nos resultados do PISA [15] permitem concluir que uma utilização regular da tecnologia (curiosamente, mais em casa do que na escola) está associada a melhores resultados escolares, mesmo quando se retira o fator socio-económico:

"With the right skills and background, more frequent computer use can lead to better performance. The analysis of PISA data shows that for educational performance, computer use amplifies a student’s academic skills and competences."

b) Itália, EUA: a modelação matemática

A proposta de programa em discussão contém alguma referência à modelação matemática e às aplicações; contudo, é uma proposta virada essencialmente para as aplicações pré-elaboradas:

"O Programa dá especial relevância a diversas aplicações da Matemática, prescrevendo, por exemplo, explicitamente, a aplicação do cálculo diferencial à cinemática do ponto ou das progressões geométricas ao cálculo de juros."

Nos programas italianos [8], as aplicações são mais do que isso, são também um método, um método que os alunos devem aprender a dominar em todas as ocasiões:

"Relazioni e funzioni
Obiettivo di studio sara` il linguaggio degli insiemi e delle funzioni (dominio, composizione, inversa, ecc.), anche per costruire semplici rappresentazioni di fenomeni e come primo passo all’introduzione del concetto di modello matematico. In particolare, lo studente apprendera` a descrivere un problema con un’equazione, una disequazione o un sistema di equazioni o disequazioni; a ottenere informazioni e ricavare le soluzioni di un modello matematico di
fenomeni, anche in contesti di ricerca operativa o di teoria delle decisioni."

A ênfase colocada na noção de "modelo matemático" aparece também nos "CCS-Common Core Standards" americanos [9]:

"Modeling is the process of choosing and using appropriate mathematics and statistics to analyze empirical situations, to understand them better, and to improve decisions. Quantities and their relationships in physical, economic, public policy, social, and everyday situations can be modeled using mathematical and statistical methods. When making mathematical models, technology is valuable for varying assumptions, exploring consequences, and comparing predictions with data."

Infelizmente a maior preocupação do programa em discussão é afirmada pela negativa:

"A este propósito, é importante referir que a modelação matemática não consiste em associar de forma arbitrária - e sem qualquer critério ou justificação razoável - uma dada função matemática a uma dada grandeza."

Quem vai seguir cominhos "sem qualquer critério ou justificação razoável"? Em contraste com isto, os CCS americanos encorajam pela positiva os professores a trabalharem a modelação na sala de aula:

"One of the insights provided by mathematical modeling is that essentially the same mathematical or statistical structure can sometimes model seemingly different situations. Models can also shed light on the mathematical structures themselves, for example, as when a model of bacterial growth makes more vivid the explosive growth of the exponential function."

E terminam com a recomendação de um trabalho permanente com a modelação matemática, em todos os capítulos:

"Making mathematical models is a Standard for Mathematical Practice, and specific modeling standards appear throughout the high school standards"

Ao longo do texto aparecem muitos exemplos em que a própria modelação faz parte do trabalho, como:

"Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems"

"Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling contexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context"

c) Singapura, Inglaterra: estratégias para a resolução de problemas

A proposta de programa e Metas em discussão inclui uma referência à resolução de problemas:

"A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais."

Contudo esta é uma descrição rígida da resolução de problemas que aparece mais como um exercício de aplicação de temas previamente estudados do que um verdadeiro trabalho de estudo de um problema. Não há indicações sobre estratégias a usar, muito menos uma referência a heurísticas. Mas nos programas de Singapura [11] tal é uma constante:

"Skill proficiencies include the ability to use technology confidently, where appropriate, for exploration and problem solving. It is important also to incorporate the use of thinking skills and heuristics in the process of the development of skills proficiencies."

Há mesmo uma secção do programa dedicada à explicação do que se entende por heurística:

"Thinking skills and heuristics
Students should use various thinking skills and heuristics to help them solve mathematical problems. Thinking skills are skills that can be used in a thinking process, such as classifying, comparing, sequencing, analysing parts and wholes, identifying patterns and relationships, induction, deduction and spatial visualisation."

Em Inglaterra (Key Stage 4) [6] aparecem conselhos idênticos:

"select and use suitable problem-solving strategies and efficient techniques to solve numerical and algebraic problems" ou "break down a complex calculation into simpler steps before attempting to solve it"

E estas estratégias não são meras ideias genéricas, mas são mesmo objetos de estudo na sala de aula ("Students should be taught to"), além de serem repetidas no início de cada tema, de forma adaptada a esse tema.

Não há qualquer referência a estratégias de resolução de problemas na proposta portuguesa embora, noutro contexto, se leia que "Os alunos devem ser capazes de estabelecer conjeturas". Mas aí é apenas a propósito de mais uma referência pela negativa ao "raciocínio indutivo".

d) França, Itália, Singapura e Inglaterra: A estimação

Todo o trabalho com estimativas está ausente da proposta dos programas e Metas do Secundário (como já estava no Básico). Não se percebe a razão para tal escolha, mas deve dizer-se que praticamente todos os outros programas se lhe referem de um modo ou outro.

Em França [4], a estimativa aparece naturalmente associada ao desenvolvimento das capacidades de cálculo, para controlar a fiabilidade dos cálculos efetuados:

"Calculer 
Effectuer un calcul automatisable à la main ou à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel). 
Mettre en oeuvre des algorithmes simples. 
Exercer l’intelligence du calcul : organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, choisir des transformations, effectuer des simplifications. 
Contrôler les calculs (au moyen d’ordres de grandeur, de considérations de signe ou d’encadrement)." 

Em Itália [8], o cálculo aproximado é referido de forma notória: "un’occasione per affrontare il tema dell’approssimazione" ou "Sara` anche affrontato il tema del calcolo approssimato, sia dal punto di vista teorico sia mediante l’uso di strumenti di calcolo.".

Em Inglaterra [6], encontramos inúmeras referências à estimação, por exemplo:

"make mental estimates of the answers to calculations; use checking procedures, including use of inverse operations; work to stated levels of accuracy" ou "estimate answers to problems involving decimals" ou "make mental estimates of the answers to calculations; understand how errors are compounded in certain calculations" ou ainda "check and estimate answers to problems; select and justify appropriate degrees of accuracy for answers to problems; recognise limitations on the accuracy of data and measurements"

Em Singapura [11] o programa inclui a estimação nas capacidades matemáticas a desenvolver:

"Mathematical skills include procedural skills for numerical calculation, algebraic manipulation, spatial visualisation, data analysis, measurement, use of mathematical tools, and estimation."

d) Itália, Singapura: Radicais

Enquanto a proposta em discussão se desdobra em inúmeras propriedades com radicais e manipulação de expressões, como 

"Para além dos casos mais usuais de racionalização de denominadores, é possível considerar, mais geralmente, frações com denominadores da forma  c*raiz indice k de a + d*raiz indice l de b"

Noutros países este tema não tem tão grande expressão. Por exemplo, em Itália [8] até se faz um aviso limitativo:

"L’acquisizione dei metodi di calcolo dei radicali non sara` accompagnata da eccessivi tecnicismi manipolatori."

Nos outros programas não aparecem mais do que simples manipulações com raízes quadráticas e cúbicas, havendo nos programas de Singapura uma mera referência a "rationalising the denominator".

e) Bélgica: Competências transversais

Em quase todos os países são explicitadas "competências" matemáticas de índole geral que são transversais aos temas de conteúdos. Em Portugal não só o termo "competência" foi banido, como não há rasto de qualquer transversalidade no programa, havendo um rigidez sequencial absoluta. A única vez em que o termo "transversal" é usado é na realidade para justificar  a escolha do capítulo "lógica e teoria de conjuntos" como o primeiro capítulo do programa proposto.

Como elemento de contraste vou apenas citar as competências trasnversais definidas no programa belga [5]:

"1. S’approprier une situation 
comprendre un message, en analyser la structure et repérer les idées centrales ; 
rechercher des informations utiles et exprimées sous différentes formes. 

2. Traiter, argumenter, raisonner 
traduire une information d’un langage dans un autre, par exemple passer du langage courant au langage graphique ou algébrique et réciproquement ; 
observer à partir des acquis antérieurs et en fonction du but à atteindre ; 
formuler une conjecture, dégager une méthode de travail ; 
rassembler des arguments et les organiser en une chaîne déductive ; 
choisir une procédure adéquate et la mener à son terme ; 
utiliser certains résultats pour traiter des questions issues d’autres branches (sciences, sciences sociales, sciences économiques.). 

3. Communiquer 
maîtriser le vocabulaire, les symboles et les connecteurs «si…alors », « en effet », « par ailleurs », « ainsi » ; 
rédiger une explication, une démonstration ; 
présenter ses résultats dans une expression claire, concise, exempte d’ambiguïté ; 
produire un dessin, un graphique ou un tableau qui éclaire ou résume une situation. 

4. Généraliser, structurer, synthétiser 
reconnaître une propriété commune à des situations différentes ; 
étendre une règle, un énoncé ou une propriété à un domaine plus large ; 
formuler des généralisations et en contrôler la validité ; 
organiser des acquis dans une construction théorique. "

Em conclusão, verificamos que a proposta agora em discussão diverge, em inúmeros pontos, das práticas internacionais. Infelizmente a única motivação que, ao contrário de todos os outros países, parece animar o documento, é a de "definir um padrão coerente que imprima rigor ao que é ensinado nas escolas". Em termos internacionais os objetivos, como vimos, são muito mais ricos e variados. A perspetiva portuguesa corre assim o risco de perturbar seriamente o trabalho matemático nas escolas, criando rejeições generalizadas e levando os estudantes a fugir para outras vias; o exemplo negativo de outros países, nomeadamente o inglês [16], mostra-nos que os alunos podem ser realmente afastados das vias científicas por causa dos excessos de um programa de Matemática do Secundário, com graves prejuízos para a formação dos cientistas e engenheiros de que Portugal necessita.

Esta análise reforça a ideia de que a proposta de programa de Matemática A é completamente inadequada e não tem nenhuma fundamentação na experiência internacional. Precisará pois de ser seriamente revista.

Referências:
[1] Mathématiques, classe de seconde, Bulletin Officiel, n.º 30, Ministère de L’Éducation Nationale, 2009.
[2] MATHÉMATIQUES, CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE, CLASSE DE PREMIÈRE, Bulletin Officiel, n.º 9, Ministère de L’Éducation Nationale, 2010.
[3] Programme de l’enseignement spécifique et de spécialité de mathématiques, Classe terminale de la série scientifique, Bulletin Officiel, n.º 8, Ministère de L’Éducation Nationale, 2011.
[4] Les compétences mathématiques au lycée, Ministère de l'éducation nationale, Éduscol, MEN/DGESCO-IGEN, Novembre 2013.
[5] Compétences Terminales et savoirs requis en Mathématiques, Humanités générales et technologiques, Ministère de la Communauté Française, Bélgica, 1999.
[6] Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.
[7] GCE AS and A Level Subject Criteria for Mathematics, OFQUAL - Office of Qualifications and Examinations Regulation, Coventry, September 2011.	
[8] Curricula Liceo Scientifico – Indicazioni, Ministero dell’Instuzione, dell’Università e della Ricerca, Itália, 2010.
[9] Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011.
[10] Mathematics Curriculum, KICE. Ministry of Education and Human Resources Development, Korea. 2007.
[11] Secondary Mathematics Syllabuses, Ministry of Education, Singapore, 2006.
[12] MATHEMATICS - HIGHER 3 (Syllabus 9824), Singapore Examinations and Assessment Board, 2013.
[13] MATHEMATICS - HIGHER 2 (Syllabus 9740), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.
[14] MATHEMATICS - HIGHER 1 (Syllabus 8864), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.
[15] Educational Research and Innovation: Are the New Millennium Learners Making the Grade?: Technology Use and Educational Performance in PISA 2006, OECD Publishing , Publication date:  11 Mar 2010.
[16] Making Mathematics Count, The report of Professor Adrian Smith’s Inquiry into Post-14 Mathematics Education, February 2004.