Nota nº 7 sobre a proposta de programas de Matemática A

Dúvidas (2ª parte)

O prazo para discussão pública da proposta de programa de Matemática A terminou no dia 2 de dezembro, com um reduzido debate público sobre o tema. As alterações propostas nos documentos são tantas que é natural ficarmos perplexos sobre as razões para tal mudança tremendamente radical do programa de Matemática A (10º, 11º e 12º anos do Ensino Secundário). Poucas resposta foram dadas e as críticas são muitas, como se pode ver aqui:

http://www.apm.pt/portal/index.php?id=208571

Os documentos tornados públicos têm muitos aspetos difíceis de entender, interpretar ou de imaginar na sala de aula. Nesta segunda série de notas vou levantar mais alguns problemas, que poderão eventualmente servir para alertar os professores para o que vem aí (não contem com formação, não há dinheiro para isso, nem é prioridade!).

a) A definição de limite de função

A proposta tornada pública em novembro passado contém uma alteração substancial na abordagem do conceito de limite de função. Na introdução (página 3), é afirmado que

"Foi também reforçado o estudo de alguns tópicos – como os limites de sucessões e de funções – que quando trabalhados de forma vaga e exageradamente intuitiva levam com frequência à formação de conceções erradas, difíceis de reverter."

Ora, dizer que nos programas atuais do ensino secundário a noção de limite é dada de forma vaga é uma tremenda falsidade. Começa-se com uma abordagem intuitiva, é verdade, mas depois para todos os conceitos principais abordados é dada uma definição rigorosa. 
Que noutros países a abordagem seja demasiado vaga, poderá ser. Mas o que acontece noutros países? Que países são citados na bibliografia da proposta? Ou seja, que acontece na França, Bélgica (francófona), Itália, Reino Unido e EUA?

Em França existe uma abordagem predominantemente intuitiva; por exemplo, pode ler-se no programa:

"Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + ∞, on dit que : « tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang »." [3]

Na Bélgica os programas [5] colocam a ênfase na modelação e no cálculo:

"L’étude des fonctions est un domaine privilégié pour apprendre à modéliser. (…) L’accent est mis sur les fonctions de référence, la mise en relation des différentes notions et leur interprétation. La notion de fonctions de référence cède ensuite la place à un concept plus général et aux outils de l’analyse : le calcul des limites, (…) "

Na Bélgica são estudadas as definições de limite de sucessão e de limite de função, incluindo algumas demonstrações, mas a continuidade é estudada apenas a partir de um gráfico.

Na Itália os limites são estudados apenas no 13º ano [8] e nos seguintes termos:

"Lo studente proseguira` lo studio delle funzioni fondamentali dell’analisi anche attraverso esempi tratti dalla fisica o da altre discipline. Acquisira` il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprendera` a calcolare i limiti in casi semplici."

A continuidade também é estudada neste "quinto ano" (13º ano) do Liceu Científico, com uma abordagem que se adivinha relativamente simples:

"Lo studente acquisira` i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la continuita`, la derivabilita` e l’integrabilita` – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati (velocita` istantanea in meccanica, tangente di una curva, calcolo di aree e volumi). Non sara` richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo,(…)"

O curriculo inglês é muito mais pragmático e muito mais virado para as aplicações e para as técnicas de cálculo. Existem referências esparsas ao uso de limites nos documentos [6], [7] e [17]. Nas sucessões definidas por recorrência pode ler-se:

"To include their use in finding of a limit L as n -> inf by putting L = f(L). "

Quando se estudam as séries de potências, acrescenta-se como aplicação:

"Use of series expansion to find limits. "

Não aparece nestes documentos nenhuma indicação sobre o estudo das definições de limites de sucessões e de funções ou de continuidade.

Nos "Common Core Standards" americanos [9] não aparecem quaisquer referências ao estudo de limites de funções ou de continuidade.

Em conclusão: a abordagem atual dos programas portugueses, na tradição do que tem sido feito em Portugal desde a experiência de Sebastião e Silva nos anos 60 e 70, inclui na realidade a abordagem mais exigente de todos os países mencionados na bibliografia da proposta de programa para Matemática A.

Então em que exemplo se baseiam os autores da proposta para introduzir uma alteração ao que existe em Portugal? Nada mais na bibliografia apresentada nesta proposta nos permite chegar a uma conclusão. Seria bom ter respostas a esta questão para se poder perceber se a alteração (substancial) proposta de ser "reforçado o estudo" de "limites de sucessões e de funções" permite vir a melhorar realmente o ensino secundário de Matemática em Portugal.

Referências:
[1] Mathématiques, classe de seconde, Bulletin Officiel, n.º 30, Ministère de L’Éducation Nationale, 2009.
[2] MATHÉMATIQUES, CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE, CLASSE DE PREMIÈRE, Bulletin Officiel, n.º 9, Ministère de L’Éducation Nationale, 2010.
[3] Programme de l’enseignement spécifique et de spécialité de mathématiques, Classe terminale de la série scientifique, Bulletin Officiel, n.º 8, Ministère de L’Éducation Nationale, 2011.
[4] Les compétences mathématiques au lycée, Ministère de l'éducation nationale, Éduscol, MEN/DGESCO-IGEN, Novembre 2013.
[5] Compétences Terminales et savoirs requis en Mathématiques, Humanités générales et technologiques, Ministère de la Communauté Française, Bélgica, 1999.
[6] Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.
[7] GCE AS and A Level Subject Criteria for Mathematics, OFQUAL - Office of Qualifications and Examinations Regulation, Coventry, September 2011.	
[8] Curricula Liceo Scientifico – Indicazioni, Ministero dell’Instuzione, dell’Università e della Ricerca, Itália, 2010.
[9] Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011.
[10] Mathematics Curriculum, KICE. Ministry of Education and Human Resources Development, Korea. 2007.
[11] Secondary Mathematics Syllabuses, Ministry of Education, Singapore, 2006.
[12] MATHEMATICS - HIGHER 3 (Syllabus 9824), Singapore Examinations and Assessment Board, 2013.
[13] MATHEMATICS - HIGHER 2 (Syllabus 9740), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.
[14] MATHEMATICS - HIGHER 1 (Syllabus 8864), Singapore Examinations and Assessment Board, 2014.
[15] Educational Research and Innovation: Are the New Millennium Learners Making the Grade?: Technology Use and Educational Performance in PISA 2006, OECD Publishing , Publication date:  11 Mar 2010.
[16] Making Mathematics Count, The report of Professor Adrian Smith’s Inquiry into Post-14 Mathematics Education, February 2004.
[17] General Certificate of Education, Mathematics 6360 (Advanced Subsidiary and Advanced, 2013), AQA, 2011.