Nota nº 8 sobre a proposta de programas de Matemática A

Dúvidas (3ª parte)

O prazo para discussão pública da proposta de programa de Matemática A terminou no dia 2 de dezembro, com um reduzido debate público sobre o tema. As alterações propostas nos documentos são tantas que é natural ficarmos perplexos sobre as razões para tal mudança tremendamente radical do programa de Matemática A (10º, 11º e 12º anos do Ensino Secundário). Poucas resposta foram dadas e as críticas são muitas, como se pode ver aqui:

http://www.apm.pt/portal/index.php?id=208571

Os documentos tornados públicos têm muitos aspetos difíceis de entender, interpretar ou de imaginar na sala de aula. Nesta segunda série de notas vou levantar mais alguns problemas, que poderão eventualmente servir para alertar os professores para o que vem aí (não contem com formação, não há dinheiro para isso, nem é prioridade!).

c) A definição de limite de função - 2ª parte

A proposta tornada pública em novembro passado contém uma alteração substancial na abordagem do conceito de limite de função num ponto a real. No Caderno de Apoio do 11º ano é afirmado que:

"A opção privilegiada desde há bastante tempo no ensino secundário em Portugal tem sido a que consiste em considerar, de entre as sequências no domínio da função, apenas aquelas que nunca tomam o valor a. Ou seja, tem-se optado pelo que vulgarmente se designa por “limite por valores diferentes de a”. No presente programa optou-se pela versão alternativa que consiste em admitir, com o mesmo objetivo, sucessões podendo tomar o valor a"

Ou seja, é tomada deliberadamente a decisão de mudar o que tem sido tradicional em Portugal, pelo menos desde a experiência de Sebastião e Silva nos anos 60 e 70. Terá de haver razões fortes para tal. O mesmo Caderno de Apoio afirma que

"considera-se, com efeito, que esta opção apresenta diversas vantagens. "

Para se fazer uma mudança tão radical, terá mesmo de haver razões muito fortes para isso. Analisemos essas alegadas vantagens:

"Em primeiro lugar por ser mais simples de formular e permitir também uma formulação mais simples da noção de continuidade"

O limite é apresentado desta maneira para "facilitar" a continuidade; em vez das 3 condições clássicas (existe limite de f em a, existe f(a), o limite é igual a f(a)) fica só uma (existe limite de f em a). Que facilidade é esta? O conceito de limite fica a confundir-se com o de continuidade, o que certamente irá causar bastante confusão…

A segunda vantagem é:

" e em segundo porque a própria noção de “limite por valores diferentes” (como outras afins como a de “limite à esquerda” e “à direita”) passa a poder ser encarada como caso particular de um noção geral de limite “segundo um conjunto” que é muito simplesmente o limite da restrição da função inicial a esse conjunto (cf. descritor 1.3). "

Dizer que tudo fica mais simples por "poder ser encarada como caso particular de um noção geral de limite segundo um conjunto" é totalmente anti-pedagógico. Dizer que uma definição se torna simples por ser um caso particular de uma situação mais geral que se enuncia muito "simplesmente" é o paradigma bourbakista dos anos 60 de que aquilo que é geral é que é simples e portanto todos os casos particulares se tornam automaticamente simples. Claramente um erro pedagógico de quem não tem os pés na terra da sala de aula, e que afastará da matemática todos os alunos salvo os raros espíritos que conseguem apanhar uma ideia pelo seu lado mais abstrato. O paradigma deve ser sempre um caminhar na sala de aula do particular para o geral e não o contrário como aqui se pretende impor com a mesma ingenuidade romântica dos matemáticos puros dos anos 60 e que tão maus resultados já deu em todo o mundo!

Não conheço nenhum país nem nenhum manual escolar do ensino secundário onde se tenha escolhido dar a noção geral de limite “segundo um conjunto”… 

Mas continuemos com a argumentação do Caderno de Apoio do 11º ano:

"É de notar também que esta é a abordagem seguida em grande número de cursos e manuais universitários"

Esta é uma afirmação não substanciada, ainda por cima enunciada de forma vaga. O que é "grande número"? 25%, 50%, 75%?

Os seguintes reputados autores e manuais muito citados não usam tal abordagem:

R. Courant: Cálculo diferencial e integral (1951)
J. Sebastião e Silva: Introdução ao Cálculo Diferencial para funções reais de mais de uma variável real (1953)
A. Ostrovski: Lições de cálculo diferencial e integral (FCG, 1960)
R. Couty, J. Ezra: Analyse (A. Colin, Paris, 1967)
V. Smirnov: Cours de mathématiques supérieures (Mir, Moscou, 1969)
S.M. Nikolsky: A course of mathematical analysis (Mir, Moscow, 1977)
M. Spivak: Calculus-cálculo infinitesimal (Reverté, Barcelona, 1980)
T.M. Apostol: Análisis Matemático (Reverté, Barcelona, 1986)
Elon Lages Lima: Curso de Análise, vol. 1 (1987)
F.R. Dias Agudo: Análise Real (1989)

Alguns outros autores seguem a orientação preconizada na proposta, mas nem são em grande número (menos de 20% certamente, mas não fiz numa estatística exaustiva) nem são seguidos por muitos professores em Portugal ou noutros países (desconfio, mas não fiz as contas ou sequer uma sondagem, que serão muito menos de 20%).

Como compreender que, só porque muitos professores universitários seguiriam uma definição diferente, o ensino secundário tem de se sujeitar a tal orientação? Não se deverá dar no ensino secundário o que é adequado e exequível no ensino secundário?

A definição preconizada na proposta é utilizada por Bourbaki, é um fato. Mas nem Bourbaki escreveu ou pretendeu escrever um manual para o ensino secundário, nem as lições do passado aconselham a seguir as orientações dos escritos de Bourbaki em termos de ensino. Nem as orientações bourbakistas são hoje populares, nem os próprios bourbakistas acham que ela seja a melhor orientação (vejam-se por exemplo as posições de Pierre Cartier).

Seria bom reler o que Sebastião e Silva escreveu a propósito de Bourbaki (em "Bento Caraça e o ensino da matemática em Portugal", in Diário de Lisboa, 25-6-1968):

"Quando hoje me acontece - o que não é raro - ver alguns jovens portugueses caídos em êxtase perante a obra
desse admirável autor policéfalo que se chama Nicolas Bourbaki (a quem devo alias grande parte da minha formação), apetece-me logo espicaçá-los, dizendo-Ihes que estão em perigo mortal de fanatização."

e ainda

"foi Bento Caraça quem me ajudou a prever os possíveis inconvenientes do estruturalismo de Bourbaki, bem como a maneira de os combater. O seu ponto de vista, neste caso, resume-se em poucas palavras: «A intuição, que se adquire e afina no contacto com as problemas reais, é cruel para quem a despreza: o seu castigo é a esterilidade»."

Sábias palavras para uma reflexão profunda.