Nota nº 9 sobre a proposta de programa de Matemática A

Dúvidas (4ª parte)

O prazo para discussão pública da proposta de programa de Matemática A terminou no dia 2 de dezembro, com um reduzido debate público sobre o tema. As alterações propostas nos documentos são muitas, poucas respostas foram dadas e as críticas são muitas, como se pode ver aqui:

http://www.apm.pt/portal/index.php?id=208571

Os documentos tornados públicos têm muitos aspetos difíceis de entender, interpretar ou de imaginar na sala de aula. Nesta segunda série de notas estou a levantar mais alguns problemas que merecem reflexão.

c) A definição de limite de função - 3ª parte

A proposta tornada pública em novembro passado contém uma alteração substancial na abordagem do conceito de limite de função num ponto real. No Caderno de Apoio do 11º ano é afirmado que "No presente programa optou-se pela versão alternativa" por ser "mais simples de formular e permitir também uma formulação mais simples da noção de continuidade" e "em segundo porque a própria noção de "limite por valores diferentes" (como outras afins como a de “limite à esquerda” e “à direita”) passa a poder ser encarada como caso particular de um noção geral de limite “segundo um conjunto” que é muito simplesmente o limite da restrição da função inicial a esse conjunto (cf. descritor 1.3)." Já rebati estes argumentos na nota anterior. Mas o que parecer ser o grande argumento para a mudança é:

"É de notar também que esta é a abordagem seguida em grande número de cursos e manuais universitários e que a definição até agora mais usual no ensino secundário obriga a cuidados suplementares para que se evitem erros no enunciado de determinadas propriedades, os quais por vezes se podem detetar, mesmo em boas obras de referência."

Não é uma boa prática, mesmo num caderno para professores, falar em "determinadas propriedades" sem especificar quais são. Assustam-se as pessoas com algo de indefinido sem qualquer necessidade. Penso que se estarão a referir ao teorema do "limite da função composta", exatamente um dos novos temas que se pretende introduzir no ensino secundário com esta proposta (mais um tema que não é estudado no ensino secundário em mais nenhum país do mundo!)

Com efeito, o enunciado do teorema do "limite da função composta" é diferente conforme se toma uma definição ou outra. No caso da definição clássica, o teorema tem um enunciado do tipo

Teorema 1:
Se f:X->R e g:Y->R são duas funções com f(X) contido em Y, se f tem limite B quando x tende para A, se g tem limite C quando y tende para B e se g é uma função contínua em B, então gof tem por limite C quando x tende para A.

No caso da nova definição, que se pretende agora impor, o enunciado seria realmente mais simples:

Teorema 2:
Se f:X->R e g:Y->R são duas funções com f(X) contido em Y, se f tem limite B quando x tende para A e se g tem limite C quando y tende para B, então gof tem por limite C quando x tende para A.

A condição de continuidade para g está por vezes ausente no enunciado do Teorema 1, e isso faz com que nesse caso o teorema não seja verdadeiro. Basta pensar no seguinte contra-exemplo: f constante igual a zero em R, g igual a zero para y diferente de zero e g(0)=1. Tem-se, usando a definição clássica, que f tem sempre limite zero em qualquer ponto A, g tem limite zero em qualquer ponto B, logo gof deveria ter limite zero em qualquer ponto A. Mas gof é constante e igual a 1 pelo que tem limite 1 em qualquer ponto A.

A primeira objeção a colocar é se esta discussão deve ser tida com os alunos no ensino secundário! Este tema, como muitos outros temas novos que estão incluídos na proposta, são adequados e acessíveis para alunos do ensino secundário? Que outros países do mundo tratam estes temas no ensino secundário? Porque será?…

A ideia de que serão tudo simplificações com esta nova definição bourbakista é contudo totalmente errada, independentemente do maior ou menor grau de abstração exigido.

Pensemos no que acontece com os limite laterais. Vou tomar como definição comum de limite lateral nos dois casos, a definição de limite de f(x) quando x tende para A por valores em ]-∞,A[ ou ]A,+∞[, respetivamente, para limite lateral esquerdo e direito. De acordo com a definição clássica de limite o teorema será o seguinte:

Teorema 3:
f tem limite quando x tende para A (ponto aderente ou pertencente ao domínio de f) se e somente se f tem limite à direita e à esquerda em A e se esses limites são iguais.

Ou seja, se os limites laterais forem iguais então esse valor comum é necessariamente o valor do limite de f(x) quando x tende para A.

Teorema 4:
f tem limite quando x tende para A (no domínio de f) se e somente se f tem limite à direita e à esquerda em A, se esses limites são iguais e se esse valor comum é igual a f(A).

Ou seja, se os limites laterais forem iguais então esse valor comum pode não ser o valor do limite de f(x) quando x tende para A, pois esse valor pode ser diferente de f(A). Basta pensar na função g igual a zero para y diferente de zero e g(0)=1. Neste caso os limites laterais, por ambas as definições, são ambos iguais a zero; contudo, existe limite pela definição clássica e é igual exatamente a zero, mas NÃO existe limite de acordo com a definição bourbakista pois zero é diferente de g(0) que é igual a 1. Existem limites laterais iguais mas não existe limite? Grande simplicidade!!!

A ideia de ter definições uniformes obrigatórias no ensino secundário é uma ideia totalmente absurda. Significa que se espera que os estudantes "saibam" as definições mas não compreendam completamente o seu sentido. Porque se percebessem totalmente o seu sentido não ficariam confundidos com diferentes formulações dela e portanto a adoção de qualquer uma delas pelos professores deveria ser livre. Será certamente "proibido" consultar autores que sigam outras definições (Apostol, Spivak, Nikolsky e Elon Lages Lima irão para o Index?), pois a definição oficial é para seguir (e com as novas orientações do GAVE/IAVE, qualquer aluno que use no exame do 12º ano outra definição fora do programa oficial tem zero pontos na sua resposta!!!).

Ainda por cima, a definição de limite de função já foi mudada várias vezes no ensino secundário em França debaixo de enorme controvérsia. Um texto como [4] afirma mesmo que "Depuis quand des rédacteurs de programmes se permettent-ils de modifier une définition quasiment internationale, histoire de simplifier un énoncé ? Où a-t-on vu une chose pareille ?" E continua:

"Ce que cet exemple révèle est que l'on a modifié la définition d'une notion absolument fondamentale pour un pur motif d'idéologie pédagogiste, en la transformant en une notion incohérente avec le terme utilisé. Car le mot de "limite" a un sens en Français et il convient quand même que la terminologie mathématique soit conforme à la langue française. Or ce n'est pas le cas."

E acrescenta, sobre as duas definições em jogo:

"au niveau des études de lycée, il n'y en a qu'une seule qui soit cohérente et qui fournisse les résultats que l'on est en droit d'en attendre. C'est cette définition qui était fournie aux élèves français avant 1988 et qui est toujours donnée aux élèves belges, suisses romans ou alémaniques, autrichiens ou allemands quelque soit le Land dans lequel ils sont scolarisés."

Muitos outros conceitos têm definições diferentes em livros diferentes: função, aplicação, ponto de inflexão, declive de uma reta vertical, função derivável, infinito (com sinal, sem sinal determinado), etc. Quem estuda matemática sabe que os livros consultados podem apresentar definições diferentes e o que se exige é que: 

"Quel que soit le choix effectué, il faut veiller a la cohérence." [3]

Claro que não é fácil a alunos do ensino secundário (e superior?) consultar bibliografia (ou a internet) onde sejam usadas definições diferentes mas, devidamente guiados pelos seus professores, todas as dúvidas podem ser esclarecidas.

Qual das definições de limite de função deverá ser usada de preferência no ensino secundário? Olhando para a quantidade de clássicos que escolhem a definição usual em Portugal no ensino secundário, essa definição deveria continuar a ser usada. Mas, além disso, como assinala Elon Lages Lima [2], quando refere que ao considerar o limite de f(x) quando x tende para A não exige que A pertença ao domínio X da função f,

"Nos casos mais interessantes de limite, tem-se A não pertencente a X."

Num tópico que dois reputados investigadores consideram ser "truly the bête noire of analysis" [5] deveria ter havido mais cuidado (mais reflexão, mais troca de ideias, menos ideologia rígida!).

Referências:

[1] Alexander Bogomolny, What Is Limit?
http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsLimit.shtml

[2] Elon Lages Lima, Curso de análise, vol.1, IMPA/CNPq, Brasília, 1987.

[3] Daniel PERRIN, A propos de la definition de la limite d'une fonction en un point
http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf

[4] Bertrand Rungaldier, L'imposture de l'enseignement scientifique dans les lycées français
http://skhole.fr/l-imposture-de-l-enseignement-scientifique-dans-les-lycees-francais-par-bertrand-rungaldier

[5] Tall, David and Vinner, Shlomo. (1981) Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, Vol.12 (No.7). pp. 151-169.