7# '8Pooo(@xo1 Qa* !hz/aaaaaa MINISTRIO DA EDUCAO DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDRIO MATEMTICA 10, 11 e 12 ANOS Programa 1995 VVVVVVV SUMRIO INTRODUO 1 FINALIDADES 3 OBJECTIVOS GERAIS 4 CONTEDOS 5 ORIENTAO METODOLGICA 8 RECURSOS 10 AVALIAO 13 GESTO DO PROGRAMA 14 ACTIVIDADES COMPLEMENTARES 15 QUADRO RESUMO 16 Distribuio dos temas em cada ano 16 DESENVOLVIMENTO DOS TEMAS E INDICAES METODOLGICAS 17 10 ANO 18 Tema I - Geometria no Plano e no Espao I 18 Tema II - Funes e Grficos - Generalidades. Funes polinomiais. Funo mdulo 20 Tema III - Estatstica 22 11 ANO 25 Tema I - Geometria no Plano e no Espao II 25 Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial I - Funes racionais e com radicais. Taxa de variao /Derivada 27 Tema III - Sucesses 29 12 ANO 31 Tema I - Probabilidades e Combinatria 31 Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial II 33 Tema III - Trigonometria e Nmeros Complexos 35 TEMA GERAL: Lgica e Raciocnio Matemtico 36 INTRODUO A Lei de Bases do Sistema Educativo, aprovada em Outubro de 1986, obrigava a uma reforma do sistema de ensino e definia princpios e orientaes bsicas para uma reorganizao dos planos curriculares dos ensinos bsico e secundrio. A Comisso de Reforma do Sistema Educativo encarregou-se de interpretar as orientaes curriculares da Lei de Bases, tomando as opes curriculares fundamentais, no que respeita aos critrios de seleco das matrias curriculares e aos princpios orientadores da estrutura curricular. Ficou definida ento a configurao da educao secundria, nos seus objectivos, organizao estrutural e plano de estudos. Neste quadro geral, a Matemtica aparece como disciplina da Formao Especfica de vrios agrupamentos a que atribuda uma carga horria semanal de 4 horas em cada um dos anos do ensino secundrio. Assim publicado em forma de lei, em 1989. neste quadro que elaborado o programa do ensino secundrio de Matemtica, com uma primeira aplicao experimental em algumas escolas e depois, desde 1993, com aplicao generalizada em todas as escolas do pas. Se durante a aplicao experimental do programa surgiram dificuldades de concretizao, mesmo contando com cargas horrias excepcionais, a generalizao da sua aplicao em todas as escolas multiplicou essas dificuldades e deu-lhes uma visibilidade nacional que o quadro da experincia, pela sua prpria natureza, no podia ter dado. Ao segundo ano da generalizao, o volume dos problemas tornou clara a necessidade de proceder a ajustamentos desse programa. Este ajustamento no vem constituir um novo programa. Procurando preservar os objectivos da renovao do ensino da matemtica, este ajustamento pretende estabelecer maior clareza e melhor organizao dos contedos temticos, explicitar a articulao entre metodologias, objectivos e contedos, reforar a articulao vertical com o 3 ciclo do ensino bsico e harmonizar no tempo, quando possvel, algumas articulaes interdisciplinares. Porque uma das principais dificuldades dos professores nas escolas e um dos principais problemas residia na extenso do programa, o ajustamento do programa considerou tambm a excluso de itens de contedo que a experincia mostrou constiturem sobrecarga e impedimento para que aos alunos fosse dado acesso a temas fundamentais e fundadores. O programa ajustado, agora aprovado, foi elaborado sobre uma base de relatos de experimentadores e professores e de pareceres de professores e especialistas em Matemtica e no ensino da Matemtica, que, em vrios momentos, foram chamados para se pronunciarem individual ou institucionalmente sobre os problemas e as verses de propostas de ajustamento. Foram consultadas e participaram as escolas do ensino superior e do ensino secundrio pblico e privado, sociedades cientficas, associaes de professores e instituies. Tambm os autores dos programas de Matemtica e de Fsica foram consultados e participaram, a esse nvel, no desenvolvimento do trabalho deste ajustamento do programa. Os fundamentos do programa - finalidades, objectivos gerais, orientaes metodolgicas - permanecem sem alteraes ou com alteraes de pormenor. Assim tambm aconteceu com a explicitao dos recursos necessrios leccionao da Matemtica, em que se procurou fazer simples adequaes evoluo tecnolgica, particularmente relativas emergncia das calculadoras com capacidades grficas, que mantendo as capacidades das calculadoras cientficas, bem como a portabilidade e o preo, vm permitir novas e significativas aprendizagens que, at h pouco tempo, s eram possveis com o uso de computadores. No que respeita organizao dos temas e ao seu desenvolvimento, bem como s metodologias utilizadas, h alteraes significativas, no s porque foram excludos alguns contedos de cada tema, mas principalmente porque foram organizados de outro modo no sentido de possibilitar e encorajar a abordagem temtica. Ao mesmo tempo pretende-se desencorajar o aprofundamento deslocado deste ou daquele contedo por exerccios e tcnicas rotineiros que, muitas vezes, foram e so tomados como nico meio de consolidar aprendizagens.. Foram retirados todos os captulos facultativos enquanto tal, embora se mantenham alguns itens assinalados com (*) que podem ou no ser leccionados. Neste ajustamento, as questes de Lgica, Teoria de Conjuntos e de formas de raciocnio foram retirados do corpo do programa e passam a estar referidas como tema parte, com um determinado desenvolvimento. Procura-se, deste modo, influenciar os professores no sentido de no abordar estas questes como contedo em si, mas de as utilizar quotidianamente em apoio do trabalho de reflexo cientfica que os actos de ensino e de aprendizagem cientfica sempre comportam, e s na medida em que elas vm esclarecer e apoiar uma apropriao verdadeira dos conceitos. Neste tema, para alm das questes clssicas de lgica, teoria dos conjuntos e raciocnio demonstrativo, introduzem-se tambm itens integradores dos diversos tipos de raciocnio cientfico e formas de organizar o pensamento e as actividades de resoluo de problemas. Estes assuntos podem e devem ser abordados com os alunos do ensino secundrio, mas com oportunidade e virados para necessidades sentidas de racionalizar, melhorar ou dar organizao a mtodos pessoais, ou como suporte de momentos de reflexo sobre a natureza do conhecimento. Em muitos aspectos, a organizao dos temas e as indicaes metodolgicas integram informaes sobre oportunidade de abordar questes sobre a experimentao no ensino da matemtica, de lgica e raciocnio, de histria da matemtica mas tambm informaes sobre novos tipos de instrumentos de avaliao. As indicaes sobre avaliao devem ser, pois, procuradas no tanto no pequeno texto sob esse ttulo, mas mais no corpo do programa, nos diversos elementos de trabalho sugeridos. FINALIDADES So finalidades da disciplina no ensino secundrio: Desenvolver a capacidade de usar a Matemtica como instrumento de interpretao e interveno no real. Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, assim como a memria , o rigor, o esprito crtico e a criatividade. Promover o aprofundamento de uma cultura cientfica, tcnica e humanstica que constituam suporte cognitivo e metodolgico tanto para o prosseguimento de estudos como para a insero na vida activa. Contribuir para uma atitude positiva face Cincia. Promover a realizao pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade OBJECTIVOS GERAIS So objectivos gerais da disciplina no ensino secundrio: VALORES/ATITUDESCAPACIDADES/APTIDESCONHECIMENTOSDesenvolver a confiana em si prprio: Exprimir e fundamentar as suas opinies. Revelar esprito crtico, de rigor e de confiana nos seus raciocnios. Abordar situaes novas com interesse, esprito de iniciativa e criatividade. Procurar a informao de que necessita. Desenvolver interesses culturais: Manifestar vontade de aprender e gosto pela pesquisa. Interessar-se por notcias e publicaes relativas Matemtica e a descobertas cientficas e tecnolgicas. Apreciar o contributo da Matemtica para a compreenso e resoluo de problemas do Homem atravs do tempo. Desenvolver hbitos de trabalho e persistncia: Elaborar e apresentar os trabalhos de forma organizada e cuidada. Manifestar persistncia na procura de solues para uma situao nova. Desenvolver o sentido da responsabilidade: Responsabilizar-se pelas suas iniciativas e tarefas. Avaliar situaes e tomar decises. Desenvolver o esprito de tolerncia e de cooperao: Colaborar em trabalhos de grupo, partilhando saberes e responsabilidades. Respeitar a opinio dos outros e aceitar as diferenas. Intervir na dinamizao de actividades e na resoluo de problemas da comunidade em que se insere. Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemtica na interpretao e interveno no real: Analisar situaes da vida real identificando modelos matemticos que permitam a sua interpretao e resoluo. Seleccionar estratgias de resoluo de problemas. Formular hipteses e prever resultados. Interpretar e criticar resultados no contexto do problema. Resolver problemas nos domnios da Matemtica, da Fsica, da Economia, das Cincias Humanas, Desenvolver o raciocnio e o pensamento cientfico: Descobrir relaes entre conceitos de Matemtica. Formular generalizaes a partir de experincias. Validar conjecturas. Fazer raciocnios demonstrativos usando mtodos adequados. Compreender a relao entre o avano cientfico e o progresso da humanidade. Desenvolver a capacidade de comunicar: Comunicar conceitos, raciocnios e ideias, oralmente e por escrito, com clareza e progressivo rigor lgico. Interpretar textos de Matemtica. Exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens. Usar correctamente o vocabulrio especfico da Matemtica. Usar a simbologia da Matemtica. Apresentar os textos de forma clara e organizada.Ampliar o conceito de nmero e desenvolver o clculo: Aperfeioar o clculo em Idba1()R e usar a calculadora tirando partido das suas potencialidades. Operar com expresses racionais, irracionais e exponenciais, logartmicas e trigonomtricas. Resolver equaes, inequaes e sistemas. Usar as noes de lgica indispensveis clarificao de conceitos. Ampliar os conhecimentos de Geometria no Plano e no Espao: Resolver problemas de incidncia, paralelismo e perpendicularidade no plano e no espao, por via intuitiva e analtica. Utilizar vectores no estudo do plano e do espao, em referencial ortonormado. Compreender e utilizar noes bsicas de cnicas. Iniciar o estudo da Anlise Infinitesimal: Interpretar fenmenos e resolver problemas recorrendo a funes e seus grficos. Estudar sucesses definidas de diferentes formas. Aplicar conhecimentos de Anlise Infinitesimal no estudo de funes de varivel real. Ampliar os conhecimentos de Estatstica e Probabilidades: Interpretar e comparar distribuies estatsticas. Resolver problemas de contagem. Resolver problemas envolvendo clculo de probabilidade. Conhecer aspectos da Histria da Matemtica: Conhecer personalidades e factos marcantes da Histria da Matemtica e relacion- -los com momentos histricos de relevncia cultural ou social. n CONTEDOS A escolha dos temas foi feita tendo em conta os contedos presentes no anterior programa e a preocupao de algum equilbrio entre reas diversas da Matemtica. Os quadros seguintes mostram que existe um grande equilbrio entre as quatro grandes reas seleccionadas: Clculo Diferencial Geometria (no plano e no espao) Funes e sucesses Probabilidades (com Anlise Combinatria) e Estatstica 10, 11 e 12 anos  A quantidade de temas curriculares, a sua extenso e profundidade foi substancialmente diminuda em relao a programas anteriores, parecendo exequvel a sua leccionao; uma maior diminuio poderia conduzir a uma deficiente formao dos alunos do ensino secundrio. Os temas clssicos de Anlise, lgebra e Geometria esto presentes nestes contedos, embora o segundo se encontre dividido pelos outros temas. Esta classificao deve ser considerada de forma muito relativa, pois, no corpo do programa, assumem importncia significativa no s tcnicas especficas, mas estratgias que, constituindo uma base de apoio que os alunos utilizam na sua actividade matemtica independentemente do tema, atravessam o programa de forma transversal. Referimo-nos a Resoluo de Problemas Modelao Matemtica Lgica e Raciocnio Matemtico Tecnologia e Matemtica Histria da Matemtica sendo de difcil quantificao, mas no sendo por isso menos importantes que os temas antes referidos. Alm do mais o estudo dos diversos temas est integrado tanto quanto possvel sendo estabelecidas um grande nmero de conexes, para que os alunos possam ver que so aspectos complementares de uma mesma realidade. Foi dada uma posio de destaque Geometria por ser o tema tratado em primeiro lugar tanto no 10 como no 11 anos e so dadas indicaes que permitem que seja retomada em praticamente todos os outros temas do Ajustamento. Deu-se prioridade criao de condies para uma grande diversidade de tipos de trabalho em Matemtica, tanto de carcter geral como especficos de cada tema, em detrimento de um aprofundamento que na maioria das vezes ilusrio se no for cimentado na compreenso dos processos elementares. Nos temas de Geometria procura-se um equilbrio entre a Geometria por via intuitiva com a Geometria Analtica, de modo a desenvolver tanto o raciocnio geomtrico directo como a resoluo de problemas de geometria por via algbrica, sem esquecer o desenvolvimento de capacidades de visualizao geomtrica. Existe ainda um equilbrio entre os diversos temas a nvel de cada um dos anos de escolaridade, como se pode observar nos quadros seguintes: 10 ano   11 ano   12 ANO  O estudo do Clculo Diferencial precedido de um tema em que se estudam as propriedades elementares das funes e seu grficos, dando oportunidade a que os alunos se familiarizem com este tpico fundamental da matemtica actual. No estudo do Clculo Diferencial d-se prioridade ao trabalho com a noo de derivada, sendo deixada a formalizao da definio de limite para uma fase posterior. Ao contrrio dos programas anteriores, a noo de limite visada primeiro de forma apenas intuitiva; em seguida formalizada no tema de sucesses, sendo mais tarde generalizada para funes quaisquer (via definio de Heine). ORIENTAO METODOLGICA As finalidades e objectivos enunciados determinam que o professor, ao aplicar este programa, contemple equilibradamente: o desenvolvimento de atitudes; o desenvolvimento de capacidades; a aquisio de conhecimentos e tcnicas para a sua mobilizao. Tendo como pressuposto ser o aluno agente da sua prpria aprendizagem, prope-se uma metodologia em que os conceitos so construdos a partir da experincia de cada um e de situaes concretas; os conceitos so abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos nveis de rigor e formalizao; se estabelece maior ligao da Matemtica com a vida real, com a tecnologia e com as questes abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento numa perspectiva histrico-cultural. Neste contexto, destaca-se a importncia das actividades a seleccionar, as quais devero contribuir para o desenvolvimento do pensamento cientfico, levando o aluno a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforo das atitudes de autonomia e de cooperao. Cabe ao professor, de acordo com a realidade da turma, encontrar o equilbrio entre o nmero de trabalhos individual e de grupo (a realizar dentro e fora da aula), assim como o espao para a sua interveno: dinamizando, questionando, fazendo snteses, facultando informao ... O programa pretende dar continuidade, sem brusca mudana de nvel, s aprendizagens realizadas no 3. ciclo, agora coincidente com o ensino obrigatrio, ajustando-se ao nvel de desenvolvimento e de cultura dos alunos. Parte-se, quando possvel, de problemas e situaes experimentais para que, com o apoio na intuio, o aluno aceda gradualmente formalizao dos conceitos. So identificadas situaes para estabelecer conexes entre os diversos temas de forma a proporcionar uma oportunidade de relacionar os vrios conceitos, promovendo uma viso integrada da Matemtica. A utilizao obrigatria da tecnologia que, alm de ferramenta, fonte de actividade, de investigao e de aprendizagem, pretende preparar os alunos para uma sociedade em que os meios informticos tero um papel considervel na resoluo de problemas de ndole cientfica. Capacidade de utilizar a Matemtica A anlise de situaes da vida real e a identificao de modelos matemticos que permitam a sua interpretao e resoluo, nomeadamente a propsito do estudo da Estatstica e das Funes, constituem uma oportunidade de abordar o mtodo cientfico. A resoluo de problemas, meio privilegiado para desenvolver o esprito de pesquisa, deve contemplar, alm de situaes do domnio da Matemtica, outras, da Fsica, da Economia, da Geografia, ... Raciocnio dedutivo No ensino secundrio, o aluno ser solicitado frequentemente a justificar processos de resoluo, a encadear raciocnios, a confirmar conjecturas, a demonstrar frmulas e alguns teoremas. Noes muito elementares de Lgica sero introduzidas medida que se revelem teis clarificao de processos e de raciocnios. A Axiomtica das Probabilidades (muito simplificada) visa dar aos alunos alguma cultura sobre a construo hipottico-dedutiva de uma Cincia. Alguns problemas de Geometria no Espao podem ser excelentes oportunidades para praticar o raciocnio dedutivo. Comunicao Tendo em conta a estreita dependncia entre os processos de estruturao do pensamento e da linguagem, absolutamente necessrio que as actividades tenham em conta a correco da comunicao oral e escrita. O aluno deve verbalizar os raciocnios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com lgica e recorrer, cada vez mais, linguagem simblica da Matemtica, sua preciso e ao seu poder de sntese. Esta evoluo decorrer naturalmente da necessidade de comunicar aos outros as suas ideias. necessrio proporcionar ao aluno oportunidade para expor um tema preparado, a resoluo de um problema ou a parte que lhe cabe num trabalho de grupo. Os trabalhos escritos, individuais ou de grupo, quer sejam pequenos relatrios, monografias, ..., devem ser apresentados de forma clara, organizada e com aspecto grfico cuidado. Perspectiva histrico-cultural Actividades com uma perspectiva histrica humanizam o estudo da disciplina, mostrando a Matemtica como cincia em construo. Proporcionam tambm excelentes oportunidades para pesquisa de documentao. A informao sobre a gnese e o percurso de um conceito ao longo dos tempos e a sua relao com o progresso da humanidade pode fomentar, ou aumentar, o interesse pelo tema em estudo, ao mesmo tempo que constitui uma fonte de cultura. Papel do professor Na concretizao da metodologia proposta cabe ao professor ser simultaneamente dinamizador e regulador do processo de ensino-aprendizagem, criando situaes motivadoras e adoptando uma estratgia que implique o aluno na sua aprendizagem e desenvolva a sua iniciativa. Assume, neste nvel de ensino, importncia fundamental o contrato pedaggico a estabelecer com o aluno, na negociao e definio de consensos para os projectos de trabalho, na participao activa e responsvel na gesto do processo ensino-aprendizagem. A valorizao da vertente formativa da disciplina, s pode ser alcanada fomentando uma atitude positiva do aluno face Matemtica. RECURSOS A didctica prevista para a Matemtica no ensino secundrio pressupe a possibilidade de uso de materiais e equipamentos diversificados: Material de desenho para o quadro e para o trabalho individual (rgua, esquadro, compasso, transferidor); Material para o estudo da Geometria no espao (slidos geomtricos, construdos em diversos materiais: placas, arames, palhinhas, acetatos, acrlico, plstio...); Quadro quadriculado e papel milimtrico; Meios audiovisuais (retroprojector, acetatos e canetas, diapositivos, vdeo, ...); Livros para consulta e manuais; Outros materiais escritos (folhas com dados estatsticos, fichas de trabalho, fichas de avaliao, ...). Prev-se a possibilidade de recorrer a fontes para fornecimento de dados estatsticos (autarquias, clubes, hospitais, empresas, institutos, cooperativas,...); Calculadoras grficas com possibilidade de introduo de um ou dois pequenos programas; Computador. considerado indispensvel o uso de calculadoras grficas que desempenham uma parte das funes antes apenas possveis num computador e que apresentam uma sofisticao crescente e preos cada vez mais acessveis (para demonstraes com todos os alunos, calculadora com "view-screen); um computador ligado a um "data-show" para demonstraes, simulaes ou trabalho na sala de aula com todos os alunos ao mesmo tempo. Deve tender-se para a constituio nas Escolas Secundrias de Laboratrios de Matemtica que integrem estes recursos e outros que se venham a revelar necessrios. Tecnologia Nos objectivos gerais indica-se que o aluno deve ser capaz de: Interpretar fenmenos e resolver problemas recorrendo a funes e seus grficos(conhecimentos) Exprimir o mesmo conceito em diversas formas e linguagens (capacidades/aptides) Analisar situaes da vida real identificando modelos matemticos que permitam a sua interpretao e resoluo (capacidades/aptides) Formular generalizaes a partir de experincias (capacidades/aptides) No possvel atingir estes objectivos sem recorrer dimenso grfica, e essa dimenso s plenamente atingida quando os alunos traam uma grande quantidade e variedade de grficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras grficas e computadores). No se trata aqui de substituir o clculo de papel e lpis pelo clculo com apoio da tecnologia, mas, uma vez compreendidos os processos de clculo envolvidos, os alunos devem saber tirar partido da tecnologia para os clculos mais laboriosos. Na expresso feliz de Miguel de Guzmn, os alunos devem ser preparados para um "dilogo inteligente com as ferramentas que j existem". O uso de tecnologia facilita ainda uma participao activa do aluno na sua aprendizagem como j era preconizado por Sebastio e Silva, quando escrevia no "Guia para a utilizao do Compndio de Matemtica" que "haveria muitssimo a lucrar em que o ensino fosse tanto quanto possvel laboratorial, isto , baseado no uso de computadores, existentes nas prprias escolas ou fora destas, em laboratrios de clculo". O aluno deve contudo ser confrontado, atravs de exemplos concretos, com os limites da tecnologia e, caso haja tempo, pode ser referido o problema da mquina de Turing, tal como o faz Ian Stewart quando aborda os limites da computabilidade no seu livro "Os problemas da Matemtica". Uso de calculadoras grficas Hoje j esto muito difundidas e a preos acessveis as calculadoras grficas que, alm de serem tambm calculadoras cientficas completssimas, possuem capacidades de programao numa linguagem elementar, tm funes estatsticas e traam grficos estatsticos. Isto , realizam todas as funes das calculadoras cientficas e tm uma dimenso grfica que nelas no estava presente. As calculadoras grficas, que cada vez mais se utilizaro correntemente, devem ser entendidas no s como instrumentos de clculo mas tambm como meios incentivadores do esprito de pesquisa. O seu uso obrigatrio neste programa. Tal como indica Bert Waits no seu texto The Power of Visualization in Calculus(1992) e tendo em conta a investigao e as experincias realizadas at hoje, devem ser explorados com a calculadora grfica os seguintes dez tipos de actividade matemtica: Abordagem numrica de problemas; Uso de manipulaes algbricas para resolver equaes e inequaes e posterior confirmao usando mtodos grficos; Uso de mtodos grficos para resolver equaes e inequaes e posterior confirmao usando mtodos algbricos; Modelao, simulao e resoluo de situaes problemticas; Uso de cenrios visuais gerados pela calculadora para ilustrar conceitos matemticos; Uso de mtodos visuais para resolver equaes e inequaes que no podem ser resolvidas, ou cuja resoluo impraticvel, com mtodos algbricos; Conduo de experincias matemticas, concepo e testagem de conjecturas; Estudo e classificao do comportamento de diferentes classes de funes; Anteviso de conceitos do clculo diferencial; Investigao e explorao de vrias ligaes entre diferentes representaes para uma situao problemtica. Os alunos devem ter oportunidade de entender que aquilo que a calculadora apresenta no seu cran pode ser uma viso distorcida da realidade; alm do mais, o trabalho feito com a mquina deve ser sempre confrontado com conhecimentos tericos, assim como o trabalho terico deve ser finalizado com uma verificao com a mquina. importante que os alunos descrevam os procedimentos utilizados e aquilo que se lhes apresenta. No de admitir o uso da calculadora grfica desligado de quaisquer consideraes tericas. A calculadora vai permitir que se trabalhe com um muito maior nmero de funes em que diversas caractersticas, como os zeros e os extremos, no se podem determinar de forma exacta; estas funes so importantes pois aparecem no contexto da resoluo de problemas aplicados. muito importante desenvolver a capacidade de lidar com elementos de que apenas uma parte se pode determinar de forma exacta; importante ir sempre treinando os alunos na confrontao dos resultados obtidos com os conhecimentos tericos; sem estes aspectos no se pode desenvolver a capacidade de resolver problemas de aplicaes da matemtica e a capacidade de analisar modelos matemticos. Com os cuidados referidos, e como experincias em Portugal e noutros pases mostram, a calculadora grfica dar uma contribuio positiva para a melhoria do ensino da Matemtica. Uso de computadores O computador, pelas suas potencialidades, nomeadamente nos domnios da representao grfica de funes e da simulao, permite actividades no s de explorao e pesquisa como de recuperao e desenvolvimento, pelo que constitui um valioso apoio a alunos e professores, devendo a sua utilizao considerar-se obrigatria neste programa. Segundo estatsticas recentes, existem em Portugal em mdia 20 computadores por Escola Secundria. Estes computadores devem tambm estar ao servio da disciplina de Matemtica. Os alunos devem ter oportunidade de trabalhar directamente com um computador, com a frequncia possvel de acordo com o material disponvel. Vrios tipos de programas de computador so teis e enquadram-se no esprito do programa. Programas de Geometria como o Cabri-Gomtre, de Clculo Numrico e Estatstico com uma Folha de Clculo, de Grficos e demonstrao como o Funes (Vitor Teodoro - editado pelo ex-GEP, disponvel, tal como outros, no DEP-GEF), o MicroCalc (Harley Flanders), de lgebra Computacional como o DERIVE ou o Mathematica, ou de simulao como os da srie Soft-Cincias (editados pelas SPF, SPQ e SPM), fornecem diferentes tipos de perspectivas tanto a professores como a alunos. Outros programas comeam igualmente a aparecer no mercado portugus. Neste sentido recomenda-se enfaticamente o uso de computadores, tanto em salas onde os alunos podero ir realizar trabalhos prticos, como em salas com condies para se dar uma aula em ambiente computacional, alm do partido que o professor deve tirar como ferramenta de demonstrao na sala de aula usando um data-show com retroprojector. O trabalho com computadores dever ainda ser explorado e desenvolvido em todos os trabalhos da rea Escola em que tal se proporcionar e ainda nas disciplinas de Informtica constantes do currculo (como a Introduo s Tecnologias da Informao), em ligao com a disciplina de Matemtica. AVALIAO A avaliao deve ter em conta dois dados fundamentais. A nvel do Ensino Secundrio existiro sempre um certo nmero de provas de mbito nacional ou regional. Por um lado o professor deve ter em conta na sua avaliao a existncia destas provas (realizando provas de estilos diversificados, incluindo por exemplo algumas questes de escolha mltipla, que preparem os alunos para enfrentar os momentos de avaliao global), mas por outro lado deve dessacraliz-las pois a verdadeira preparao para essas provas feita trabalhando com regularidade e afinco ao longo do ano. O professor no deve reduzir as suas formas de avaliao aos testes escritos, antes deve diversificar as formas de avaliao de modo a que cerca de metade seja feita usando outros instrumentos que no testes clssicos. Os testes escritos em si mesmos podero ter aspectos muito positivos se a sua utilizao for ponderada com outros elementos de avaliao. S assim se podero testar outras competncias e capacidades que se pretendem desenvolver no ensino secundrio. Em particular recomendamos fortemente que em cada perodo um dos elementos de avaliao seja obrigatoriamente uma redaco matemtica (sob a forma de resoluo de problemas, demonstraes, composies/reflexes, projectos, relatrios, notas e reflexes histricas, etc) que reforce a importante componente da comunicao matemtica (o trabalho pode ser proveniente de um trabalho individual, de grupo, de um trabalho de projecto ou da participao na rea-Escola). No corpo do programa aparecem muitas referncias que podero propiciar este tipo de avaliao. GESTO DO PROGRAMA indispensvel que o professor, alm de conhecer bem o programa de cada ano que vai leccionar, tenha um conhecimento global do programa do ensino secundrio, bem como uma perspectiva integradora dos programas dos ciclos do ensino bsico. O professor deve prever, desde o incio do ano, momentos para o desenvolvimento de trabalhos individuais, trabalhos de grupo, trabalhos de projecto e actividades investigativas. O programa de cada ano desenvolve-se por trs grandes temas. O professor deve aproveitar todas as ligaes entre os temas em cada ano e de cada ano com os anos anteriores, por forma que o aluno encare a Matemtica como um todo integrado e no como um conjunto fragmentado em temas, ao mesmo tempo que possibilita a ampliao e consolidao de cada conceito, sempre que ele retomado. Inicia-se o 10 ano com o estudo da Geometria no Plano e no Espao, porque a Geometria , por excelncia, um tema formativo no sentido mais amplo do termo que, pela resoluo de problemas apropriados desenvolve variadas capacidades, desde a observao ao raciocnio dedutivo, ao mesmo tempo que deixa perceber verdadeiras conexes entre os vrios temas da Matemtica, da lgebra Anlise e Estatstica. por isso que to importante, desde o incio, trabalhar com a Geometria, tentando superar algumas (no todas necessariamente) eventuais dificuldades ou lacunas que os alunos tragam dos ciclos anteriores. Comear por este tema permite o desenvolvimento de capacidades de visualizao e representao atravs de figuras que to necessrias so para o estudo de todos os outros temas. Os contedos de Estatstica j abordados no terceiro ciclo do ensino bsico permitem resolver as situaes que os alunos podem ter de enfrentar em projectos suscitados pela rea Escola. Mas cabe ao professor decidir se ou no oportuno aproveitar o tema de cada projecto em desenvolvimento e antecipar o estudo do tema de Estatstica do 10 ano ou para o leccionar sobre um molde de trabalho de projecto. Sempre que o professor detectar nos alunos lacunas inultrapassveis em temas de ciclos anteriores, deve desencadear mecanismos de remediao, como os previstos apoios pedaggicos acrescidos. Em cada tema importante encontrar-se um equilbrio entre o desenvolvimento significativo dos conceitos, capacidades e aptides e o domnio do clculo. Do mesmo modo, a introduo da lgica, da linguagem matemtica e simblica, das formas de raciocnio cientfico (matemtico e outros) deve aproveitar todas as oportunidades, impregnar o quotidiano da aprendizagem matemtica, sem se transformar num contedo com valor em si mesmo. O grau de formalismo deve sempre ter em conta o nvel de maturidade matemtica dos alunos e deve surgir, se possvel como necessidade, depois de o professor ter a certeza que o aluno apropriou verdadeiramente o conceito. Outro cuidado tem a ver com o uso da tecnologia: preciso ter sempre presente que a "tecnologia" em si no est em causa como contedo de ensino, mas que so as aprendizagens que ela pode proporcionar que justificam o seu uso. Para cada tema indica-se uma previso do nmero de aulas necessrias sua abordagem na leccionao. No sendo mais do que uma previso, essa indicao deve ser encarada com flexibilidade, sem prejuzo do peso relativo e da profundidade do tratamento desejado que o nmero de aulas previsto indicia. O professor deve ter como preocupao fundamental abordar e desenvolver, em cada ano, os variados tpicos do programa, pois eles fornecem mtodos matemticos diversificados e desempenham funes diferentes todas imprescindveis para, em conjunto, contriburem para a formao integral do cidado autnomo e livre. Nunca se deve valorizar um contedo de tal forma que se possa prejudicar irremediavelmente a formao em algum dos grandes temas ou no desenvolvimento de alguma das capacidades/aptides reportadas na redaco das finalidades e dos objectivos gerais deste programa de ensino. ACTIVIDADES COMPLEMENTARES Recomenda-se que os professores desenvolvam as seguintes actividades complementares, em estreita ligao com os objectivos definidos para a disciplina de Matemtica: a) A participao na rea Escola deve envolver sempre uma componente matemtica, como por exemplo: recolha de dados e sua anlise estatstica, elaborao de grficos a partir de funes conhecidas, estudo ou elaborao de modelos matemticos simples que se ajustem s situaes em estudo, pr em evidncia a contribuio histrica que a matemtica deu para o tema em apreo,... b) O trabalho desenvolvido na rea Escola deve poder ser um trabalho de base matemtica, em que as outras disciplinas iro dando contribuies conforme as reas (histria, aplicaes, filosofia, etc) c) Deve ser incentivada (mas no forada) a participao dos alunos nas Olimpadas de Matemtica; complementarmente deve ser incentivada a discusso dos problemas que foram sendo propostos ao longo dos anos; devem ser organizadas sesses de resoluo de problemas em regime de clube de Matemtica, como preparao para as Olimpadas de matemtica ou para simples recreao dos alunos mais interessados; devem ser incentivadas realizaes tipo Olimpadas, desde o Problema da Semana, da Quinzena,... at realizao de pequenos torneios escolares (tipo rally-paper) ou inter-escolas. d) Devem ser convidados professores da escola ou exteriores escola para proferir pequenas palestras sobre temas relacionados com a Matemtica (explicao de uma descoberta recente como o ltimo Teorema de Fermat, explorao de um tema histrico, de aplicaes da matemtica,...) e) Sempre que existir uma semana cultural na Escola deve haver um lugar para a Matemtica, pois a Matemtica tambm cultura. Desde exposio dos trabalhos dos alunos at ao pedido de exposies elaboradas por outras entidades (APM, SPM, Museus da Cincia,...) ou a simulao de congressos cientficos em que os alunos apresentam comunicaes ou atribuem prmios tipo Oscar ou tipo Nobel (ou melhor, Medalha Fields), tudo deve ser pretexto para falar da matemtica, criar gosto pela Matemtica ou fornecer aos alunos outra viso da Matemtica. f) A Biblioteca da Escola deve ter um nmero razovel de textos de matemtica. Os textos oficiais (Programas -vrios exemplares-, publicaes do ex-GEP, do IIE,...), as obras citadas nos programas oficiais, as obras de Sebastio e Silva, os livros da coleco O prazer da Matemtica da Editora Gradiva, o "Jornal de Mathematica Elementar" e a "Galeria de Matemticos" do J.M.E., as publicaes da APM e da SPM no devem faltar em qualquer biblioteca escolar. Logo que tal seja possvel, as Escolas devem fazer-se scios institucionais da APM e da SPM, para garantir a recepo regular de novas publicaes. Livros escolares de outros pases (em particular de Espanha, Frana, Inglaterra, Itlia e Estados Unidos) e sobre Histria da Matemtica ("Histria Concisa da Matemtica" de Struik, "Histria da matemtica" de C. Boyer, Ed. Edgard Blcher, "Mathmatiques au fil des ges"- Ed. Gauthier-Villars, "Histoire de Problmes - Histoire des Mathmatiques" - Ed. Ellipses dos IREM e "The History of Mathematics - A Reader", Open University) sero um manancial de ideias para trabalhar com os alunos. QUADRO RESUMO Distribuio dos temas em cada ano 10 ANO11 ANO12 ANO1. Geometria no Plano e no Es-pao I Resoluo de problemas de geometria no plano e no espao O mtodo cartesiano para estudar Geometria no plano e no espao Vectores livres no plano e no espao Estudo vectorial da recta no plano e no espao Equao reduzida da recta no plano 1 Geometria no Plano e no Es-pao II Resoluo de problemas envolvendo tringulos ngulo e arco generalizados Funes seno, co-seno e tangente; definio e variao (estudo no crculo trigonom-trico) Equaes trigonomtricas ele-mentares Produto escalar de dois vectores no plano e no espao Conjuntos definidos por con-dies Equao cartesiana de planos e rectas no espao. Interseco de planos e resolu-o de sistemas; equaes car-tesianas da recta no espao Paralelismo e perpendiculari-dade de rectas e planos (inter-pretao vectorial)1. Probabilid. e Combinatria Introduo ao clculo de Pro-babilidades Distribuio de frequncias relativas e distribuio de pro-babilidades Definio axiomtica de Pro-babilidades (caso finito) e pro-priedades; definio de proba-bilidade condicionada e sua verificao da axiomtica. Combinatria Tcnicas de contagem; permu-taes, arranjos com e sem repetio; pares de um conjun-to e combinaes sem repeti-o; propriedades. Tringulo de Pascal. Binmio de Newton. Aplicaes ao clculo de Pro-babilidades Acontecimentos independen-tes; O problema das provas re-petidas e referncia lei bino-mial de probabilidade2. Funes e Grficos - Genera-lidades. Funes polinomiais. Funo mdulo. Grfico cartesiano de uma fun-o em referencial ortogonal Definio de funo, grfico e representao grfica de uma funo. Estudo intuitivo de proprie-dades das: Funes quadrticas; referncia parbola Funo mdulo Funes definidas por 2 ou mais ramos Funes polinomiais (graus 3 e 4) Equaes e inequaes do 2 grau; Inequaes com mdu-los Decomposio de polinmios2. Introduo ao Clculo Dife-rencial I- Funes Racionais e Com Radicais. Taxa de varia-o/Derivada Estudo de propriedades das Funes racionais do tipo f(x) = a+b/(cx+d); referncia hiprbole (Aproximao experimental da noo de limite) Operaes com funes: soma, diferena, produto, quociente, composio. Noo de taxa mdia de variao; noo de taxa de variao; interpretao geom-trica e fsica. Determinao da derivada em casos simples; aplicaes Inverso de funes; funes com radicais quadrticos e c-bicos- 2. Introduo ao Clculo Dife-rencial II Funo exponencial e funo logartmica de bases maiores que 1. Regras operatrias de expo-nenciais e logaritmos. Aplica-es concretas. Limite de funo segundo Heine; Propriedades operat-rias sobre limites; limites not-veis; indeterminaes. Assmp-totas. Continuidade Teorema de Bolzano-Cauchy e aplicaes numricas Funes derivveis. Regras de derivao e derivadas de fun-es elementares. Segunda de-finio do nmero e Segundas derivadas e concavi-dade. Estudo de funes em casos simples Problemas de optimizao3. Estatstica Objecto e histria Recenseameno e sondagem Populao e amostra Estatstica descritiva e Estats-tica Indutiva Organizao e interpretao de caracteres estatsticos (qualitati-vos e quantitativos) Medidas de localizao de uma amostra Medidas de disperso Diagramas de "extremos e quar-tis" Referncia a distribuies bidi-mensionais 3. Sucesses Introduo ao conceito de su-cesso A suc. como funo de varivel natural; suc. montonas; suc.. limitadas; progr. aritmticas e geomtricas. Estudo intuitivo de (1+1/n)sup4(n) e primeira definio de e Limites: Infinitamente grandes e infini-tsimos; Limites de sucesses e convergncia; determinao de limites3. Trigonometria e Nmeros Complexos Funes seno, co-seno e tan-gente; estudo de propriedades; clculo de derivadas Introduo histrica dos n-meros complexos, atravs dos problemas da resolubilidade algbrica. Complexos na forma algbrica e na forma trigonomtrica. Operaes Domnios planos e condies em varivel complexa.n DESENVOLVIMENTO DOS TEMAS E INDICAES METODOLGICAS Apresenta-se, para cada ano e para cada grande tema, o desenvolvimento que pretende citar exaustivamente todos os contedos obrigatrios e facultativos. Em alguns casos, por se entender necessrio um esclarecimento particular referem-se objectivos precisos nesse desenvolvimento dos temas. H quem pense que se pode substituir o programa no seu todo pela lista de itens de contedo fornecidos no desenvolvimento dos diversos temas. No assim. As indicaes metodolgicas que acompanham o desenvolvimento dos temas esclarecem as questes estratgicas da metodologia de ensino e do "fazer matemtica", definem as formas de abordar os contedos, sugerem oportunidades de introduzir outros conceitos e de estabelecer conexes, de utilizar tecnologia, de experimentar, etc, e s por isso so importantes e imprescindveis partes do programa a par dos contedos. Podemos mesmo dizer que a forma de aprender a fazer matemtica um contedo do ensino de Matemtica. Para alm disso, as indicaes metodolgicas so importantes e imprescindveis neste programa e tm de ser seguidas, porque nelas que se estabelecem em pormenor, para alm da forma de abordagem, a profundidade requerida e o rigor exigido nas formalizaes dos conceitos e definies, para alm do tipo de exerccios e actividades que podem ser propostos aos alunos. Nessas indicaes metodolgicas aparecem mesmo instrues no sentido de evitar certos tipos de exerccios que, desse modo, so excludos do programa e no podem ser considerados. A repetio de exerccios rotineiros consome tempo precioso, necessrio para a leccionao do programa, desaconselhada tambm porque, da sua leccionao, resulta a desqualificao dos conceitos que pretendem consolidar. Resumindo, cada contedo do ensino secundrio de Matemtica no est mais do que esboado no desenvolvimento dos temas; para efeitos deste programa, as indicaes metodolgicas no so simples indicaes e concorrem at para a definio dos contedos de ensino. De acordo com o desenvolvimento de cada tema e o grau de profundidade a atribuir abordagem de cada contedo, faz-se corresponder um determinado nmero de horas leccionao de cada tema. Embora isso no constitua uma instruo rgida, ela deve ser uma referncia obrigatria de planificao e deve limitar a abordagem de cada tema, de modo a que, mesmo com prejuzo do aprofundamento deste ou daquele contedo especfico, todos os temas sejam abordados com todos os alunos. As indicaes metodolgicas, ao sugerir actividades e preocupaes a ter, acabam por sugerir diversificao de tipos de instrumentos e de oportunidades de avaliao das aprendizagens. 10 ANO Tema I - Geometria no Plano e no Espao I (36 aulas) O ensino da Geometria reveste-se da maior importncia devendo desenvolver no aluno uma intuio geomtrica e um raciocnio espacial assim como capacidades para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, usar e aplicar a Matemtica, formular e resolver problemas abstractos ou numa perspectiva de modelao matemtica. Deve ainda desenvolver no aluno capacidades de organizao e de comunicao quer oral quer escrita. O professor deve no incio da unidade propor aos alunos actividades que permitam recordar e ampliar os conhecimentos adquiridos no 3 ciclo de modo a estabelecer uma boa articulao entre este ciclo e o ensino Secundrio. Tanto em geometria plana como em geometria do espao todo o ponto de vista axiomtico excludo devendo a prtica com as figuras ter um papel central e decisivo no ensino das noes matemticas que esto em jogo. O professor deve propor actividades de construo, de manipulao de modelos e ligadas a problemas histricos fazendo surgir a partir do problema e do caminho que se faz para a sua resoluo uma grande parte dos resultados tericos que pretende ensinar ou recordar. A explorao de programas adequados no computador pode ajudar eficazmente o aluno a desenvolver a percepo dos objectos do plano e do espao. Devem explorar-se sempre que possvel as conexes da Geometria com outras reas da Matemtica e o seu desenvolvimento deve prolongar-se noutros temas. DesenvolvimentoIndicaes MetodolgicasResoluo de problemas de geometria no plano e no espao (Pretende-se que os problemas a propor promovam o desenvolvi-mento de capacidades de experi-mentao, raciocnio geomtrico e a anlise crtica, conduzindo ao esta-belecimento de conjecturas e sua verificao.) Alguns tpicos de geometria a considerar em situaes concretas na resoluo de problemas podem ser por exemplo : Modos de definir um plano. Propriedades usuais do paralelismo de duas rectas, de dois planos, de uma recta e um plano, assim como as propriedades usuais de perpendicularidade de duas rectas, de uma recta e de um plano. Interseco de slidos por um plano dado. Construo de uma representao da seco obtida. Estabelecimento de relaes mtricas entre figuras, nomeadamente entre medidas lineares, reas e volumes. Este tema pode ser introduzido a partir de actividades em que os alunos reflictam na organizao do espao e no modo como algumas propriedades dos seus objectos elementares (pontos , rectas e planos ) permitem validar conjecturas. O professor pode propor ao aluno actividades com poliedros (entre outros, estudar os cinco slidos de Plato: cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro, dodecaedro ). Partindo dos seus modelos podem ser estudadas as propriedades dos polgonos que constituem as suas faces . importante que os alunos recordem as definies dos tringulos, quadrilteros e polgonos usuais e com base nestas descubram e verifiquem novas propriedades . Os alunos devem ser capazes de desenhar exemplos representativos de cada quadriltero bem como dos polgonos regulares. O aluno deve ser levado a reconhecer que quando uma figura do espao est contida num plano se podem utilizar neste plano todas as propriedades da geometria plana. Os problemas a propor aos alunos no devem ser numerosos. Devem ser ricos e no se reduzir a propostas fragmentadas. mais importante um problema bem explorado do que muitos tratados apressadamente. As actividades devem estar ligadas manipulao de modelos geomtricos e o professor deve insistir para que o aluno exprima correctamente os seus raciocnios, oralmente e por escrito, atravs de pequenas composies. Tambm se pretende que os alunos realizem pequenas investigaes. Com os slidos usuais, pretende-se que o aluno fique a saber desenhar representaes planas destes, descrever a interseco de um desses slidos por um plano dado e saber construir e desenhar uma representao da interseco obtida, utilizando as regras da perspectiva cavaleira (o aluno deve comear por modelar a situao por exemplo com slidos de arestas, com slidos transparentes ou de qualquer outro modo sugestivo). Devem ser estudadas as propriedades do polgono obtido como seco. A resoluo de problemas numricos ligados ao calculo e comparao de distncias, reas e volumes em configuraes do plano ou do espao poder constituir uma oportunidade para o aluno voltar a trabalhar com nmeros irracionais e/ou valores aproximados recorrendo calculadora. O aluno deve ser estimulado a recorrer ao calculo mental e estimativa para confirmar se os valores encontrados so aceitveis.  Tema I - Geometria no Plano e no Espao I DesenvolvimentoIndicaes MetodolgicasGeometria Analtica O mtodo cartesiano para estudar geometria no plano e no espao: Referenciais cartesianos ortogonais e monomtricos no plano e no espao. Correspondncia entre o pla-no e Idba1()Rsup3(2), entre o espao e Idba1()Rsup3(3). Conjuntos de pontos e condies. Distncia entre dois pontos. Circunferncia, crculo, elipse e mediatriz; Superfcie esfrica, esfera e plano mediador. Vectores livres no plano e no espao: Componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado do plano Componentes e coordenadas de um vector num referencial ortonormado do espao. Adio de vectores e multiplicao por um escalar; propriedades. Colinearidade de dois vectores Soma de um ponto com um vector. Diferena de dois pontos. Norma de um vector. Coordenadas do ponto mdio de um segmento de recta. Equao vectorial da recta no plano e no espao. Equao reduzida da recta no plano e equao x=xsdo3(0) .  O professor deve propor ao aluno actividades que o levem a sentir a necessidade e vantagem do uso de um referencial, quer no plano quer no espao. O professor pode fornecer figuras e/ou umreferencial numa grelha e pedir a colocao da figura ou do referencial para obter as melhores coordenadas experimentando com vrias figuras no plano e no espao. Ser vantajoso que o professor aproveite os problemas com que iniciou a unidade, recorrendo aos modelos j utilizados para fazer aparecer as novas noes (referencial, coordenadas , vectores , ... ) levando o aluno a justificar determinadas proposies por mais de um processo. S mais tarde deve recorrer a desenhos em perspectiva. No plano, o aluno deve descobrir as relaes entre as coordenadas de pontos simtricos relativamente ao eixo das abcissas, ao eixo das ordenadas e bissectriz dos quadrantes mpares. No espao, o aluno deve descobrir as relaes entre pontos simtricos relativamente aos planos coordenados e aos eixos coordenados. importante aproveitar as analogias mas tambm salientar as diferenas no tratamento analtico do plano e do espao . Pretende-se que o aluno deduza propriedades de figuras geomtricas (tringulos e quadrilteros) usando vectores e explore a ligao do clculo vectorial com a Fsica. A circunferncia, a elipse e a superfcie esfrica devem ser tratadas essencialmente como lugares geomtricos sem a preocupao de fazer mltiplos exerccios que envolvam apenas as suas equaes. O mesmo para a mediatriz e o plano mediador. A equao da elipse obtm-se facilmente a partir da circunferncia por meio de uma mudana afim de uma das coordenadas. No devem ser feitos exerccios repetitivos com as equaes da recta, da elipse ou da circunferncia. O professor deve incentivar o aluno a fazer em todas as situaes uma figura geomtrica de modo a tirar proveito da visualizao do problema e a desenvolver a sua capacidade de representao no deixando que o aluno se limite resoluo exclusiva de equaes e utilizao de frmulas . Alm do mais o aluno deve descrever com algum detalhe o processo utilizado, justificando adequadamente. n 10 ANO Tema II - Funes e Grficos - Generalidades. Funes polinomiais. Funo mdulo (36 aulas) Os conhecimentos sobre funes, indispensveis para a compreenso do mundo em que vivemos, vo ser ampliados com base no estudo numrico e grfico devendo privilegiar o trabalho intuitivo com funes que relacionam variveis da vida corrente, da Geometria, da Fsica, da Geografia ou de outras disciplinas. Em particular faz-se o estudo detalhado das funes polinomiais e da funo mdulo e resolvem-se grfica e numericamente algumas equaes e inequaes. Este tema tem um nfase muito grande na ligao entre as frmulas e as representaes geomtricas. Esta ligao muito importante para todos os que utilizarem matemtica. A capacidade de as relacionar uma capacidade fundamental para o mundo de hoje e do futuro e assim este tema dever fornecer uma formao para a vida toda to bsica como a tabuada. Pr-Requisitos: Os alunos devem conhecer a funo afim; devem poder reconhecer essa funo atravs do grfico, esboar o grfico e devem conhecer algumas propriedades (monotonia e zeros de forma apenas intuitiva e usando os conhecimentos de equaes). Os alunos devem saber resolver equaes e inequaes do 1 grau e resolver equaes do 2 grau. Os alunos devem conhecer os nmeros reais e representar intervalos de nmeros reais. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Grfico cartesiano de uma funo em referencial ortogonal. Definio de funo, grfico e representao grfica de uma funo. Estudo intuitivo tanto a partir de um grfico particular como usando calculadora grfica de propriedades das funes e dos seus grficos (domnio, contradomnio, pontos notveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relao ao eixo dos YY e origem, limites nos ramos infinitos) e anlise dos efeitos das mudanas de parmetros nos grficos das funes (considerando a variao para cada parmetro separadamente) para as seguintes funes: i) Funes quadrticas; estudo a partir da famlia de funes definida por f(x)=ax2 + bx +c e a partir dos zeros e do sinal do trinmio ax2 + bx +c; ii) funo mdulo; estudo da famlia de funes definidas por f(x) = a |bx + c| + d ; iii) funes definidas por dois ou mais ramos (cujo domnio um intervalo ou unio de intervalos).  Para todos os tipos de funes devem ser dados exemplos a partir de questes concretas (tanto de outras reas da matemtica como os constantes em livros de Fsica, Qumica, Geografia, Economia, etc, em recortes de jornais). Particular importncia dever ser dada a situaes problemticas, situaes de modelao matemtica e a exemplos ligados com o trabalhos da rea-Escola e com a Geometria, devendo retomar-se alguns exemplos estudados no tema anterior. Os alunos devem reconhecer que o mesmo tipo de funo pode constituir um modelo de diferentes tipos de situaes problemticas. Com vista a facilitar o uso de uma linguagem rigorosa (mas no formalista) o professor pode introduzir os conceitos de condio e proposio e referir sumariamente ao longo do tema as propriedades da conjuno, disjuno, negao e implicao. Os alunos devem sempre traar um nmero aprecivel de funes tanto manualmente em papel quadriculado ou papel milimtrico como usando calculadora grfica ou computador. Dificuldade a no exceder nas funes definidas por dois ou mais ramos: f(r) = |r - a|, g(x) = |x - 3| + 1, h(x) =  No estudo das famlias de funes os alunos podem realizar pequenas investigaes.  Tema II - Funes e Grficos - Generalidades. Funes polinomiais. Funo mdulo DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Resoluo de problemas envolvendo a expresso de uma varivel em funo de outra, ou recorrendo a uma representao grfica. Referncia parbola, s suas principais propriedades e sua importncia histrica. Equaes e inequaes do 2 grau; inequaes com um mdulo. Estudo de funes polinomiais e polinmios, com particular incidncia nos graus 3 e 4. Possibilidade da decomposio de um polinmio em factores (informao). Decomposio de um polinmio em factores em casos simples, por diviso dos polinmios e recorrendo regra de Ruffini. Justificao desta regra. Estudo grfico de inequaes envolvendo polinmios com recurso calculadora grfica ou a partir de uma decomposio em factores do polinmio, usando uma tabela de variao de sinais. Os alunos devem verificar que obtiveram o resultado esperado usando o outro mtodo, ou usando propriedades conhecidas. Estudo de transformaes simples de funes (tanto usando papel e lpis como calculadora grfica): dada a funo f tanto a partir de um grfico como a partir de uma expresso analtica, esboar o grfico das funes definidas por y = f(x)+a, y = f(x+a), y = af(x), y = f(ax), y = |f(x)|, y = f(|x|), com a positivo ou negativo, descrevendo o resultado recorrendo a linguagem geomtrica. Resoluo de problemas concretos envolvendo funes polinomiais. (*) Estudo intuitivo de curvas que se ajustem a um conjunto de pontos dados.  Experimentando com a calculadora grfica ou computador, os alunos devem observar que podem ser apresentadas diferentes representaes grficas de um mesmo grfico, variando as escalas da representao grfica. Quando for usada a calculadora grfica os alunos devem explorar claramente os diversos comportamentos. Os alunos devem saber evitar concluses apressadas e devem ser incentivados a elaborar conjecturas em funo do que se lhes apresenta mas devem ser sistematicamente treinados na anlise crtica de todas as suas concluses. Os alunos devem observar que a representao grfica depende de forma decisiva do rectngulo de visualizao escolhido. Devem ainda estudar situaes em que uma descrio qualitativa satisfatria do comportamento da funo s possvel com um grfico mltiplo (conjunto de grficos em diferentes rectngulos de visualizao) Os alunos devem determinar pontos notveis (como interseco com os eixos coordenados) e extremos de forma aproximada (com uma aproximao definida a priori) a partir do grfico traado na calculadora grfica ou computador. No estudo de polinmios os alunos devem trabalhar tanto com po-linmios do tipo 3x3 + x2+ 5 em que o trabalho ser numrico e grfi-co e em que para ter uma informao satisfatria so precisos dois gr-ficos, como devem trabalhar com polinmios do tipo x3 + x2 - 3x + 1, em que por tentativas possvel encontrar uma raiz (neste caso 1) e, depois de usar a regra de Ruffini, reduzir a um polinmio de grau inferior. Um aluno dever registar por escrito as observaes que fizer ao usar a calculadora grfica ou outro material, descrevendo com cuidado as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas concluses relativamente aos resultados esperados (para desenvolver o esprito crtico e a capacidade de comunicao matemtica). (*) O estudo de curvas deve ser feito de modo informal, experimentando o aluno qual dos tipos de funes j estudadas melhor se ajusta (poder ser analisada a soma dos desvios ou a soma dos quadrados dos desvios). n 10 ANO Tema III - Estatstica (20 aulas) Algumas das noes que se tratam nesta unidade j foram abordadas no 3 ciclo por isso possvel em qualquer altura reinvestir nestes conhecimentos e complet-los progressivamente. Assim, o professor pode, se o considerar vantajoso, tratar este tema de uma forma descontnua ao longo do ano, nomeadamente sob a forma de trabalho de projecto. O aluno dever ficar a saber organizar, representar e tratar dados recolhidos em bruto (ou tabelados) para da tirar concluses numa anlise sempre critica e sempre consciente dos limites do processo de matematizao da situao. importante que o estudo da Estatstica contribua para melhorar a capacidade dos alunos para avaliar afirmaes de carcter estatstico, fornecendo-lhes ferramentas apropriadas para rejeitar quer certos anncios publicitrios quer notcias ou outras informaes em que a interpretao de dados ou a realizao da amostragem no tenha sido correcta. Este tema fornece uma excelente oportunidade para actividades interdisciplinares, individualmente ou em grupo, devendo o professor ao definir o plano de trabalho com os alunos incentiv-los a recorrer ao computador. No final, os alunos devem interpretar e comunicar os resultados turma fazendo uma anlise crtica e estando conscientes que modos diferentes de apresentar as concluses podem alterar a mensagem. Pr-Requisitos: Estatstica do 3 ciclo do Ensino Bsico. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Objecto da Estatstica e breve nota histrica sobre a evoluo desta Cincia; utilidade na vida moderna. Clarificao de quais os fenmenos que podem ser objecto de estudo estatstico; exemplificao de tais fenmenos com situaes da vida real, salientando o papel relevante da Estatstica na sua descrio. Recenseamento e sondagem. As noes de populao e amostra. Compreenso do conceito de amostragem e reconhecimento do seu papel nas concluses estatsticas; distino entre os estudos e concluses sobre a amostra e a correspondente anlise sobre a populao. Noes intuitivas sobre as escolhas de amostras, sobre a necessidade de serem aleatrias, representativas e livres de vcios de concepo. Estatstica Descritiva e Estatstica Indutiva.  Os alunos podem recolher dados na turma, em revistas, livros ou junto de instituies, empresas, servios pblicos, autarquias, I.N.E, Comunidade Europeia,. ... devendo, no entanto , ter-se em conta a maturidade e sensibilidade dos alunos para os problemas apresentados. O professor deve acentuar que o principal objectivo da Estatstica Descritiva organizar os dados observados (amostra) e extrair deles as caractersticas mais importantes, resumindo a informao neles contida (reduo dos dados). Deve salientar-se que a Estatstica Descritiva se limita ao estudo da amostra. Numa segunda fase, a da Estatstica Indutiva, conhecidas as propriedades da amostra procura-se inferir para todo o universo. Esta segunda fase no faz parte do programa.  Tema III - Estatstica DesenvolvimentoIndicaes MetodolgicasOrganizao e interpretao de caracteres estatsticos (qualitativos e quantitativos): Anlise grfica de atributos qualitativos (grficos circulares, diagramas de bandas, pictogramas); determinao da moda; Anlise de atributos quantitativos: varivel discreta e varivel contnua. Dados agrupados em classes. Varivel discreta: tabelas de frequncias (absolutas, relativas e relativas acumuladas); grfico de barras; (grficos circulares e pictogramas); funo cumulativa. Varivel continua: tabelas de frequncias (absolutas, relativas e relativas acumuladas); grficos (histograma, polgono de frequncias); funo cumulativa. Medidas de localizao de uma amostra: Moda ou classe modal; mdia; mediana; quartis. Medidas de disperso de uma amostra: Amplitude; varincia; desvio padro; amplitude interquartis. Discusso das limitaes destes parmetros estatsticos. O professor deve rever o estudo dos atributos qualitativos, nomeadamente o estudo grfico procurando clarificar a distino entre os diferentes tipos de atributos e correspondente estudo. Quando os dados so quantitativos pode ser til usar um tipo de representao sugestiva - Stem-and-leaf (caule e folha) - que se pode considerar entre a tabela e o grfico. Utiliza-se principalmente para representar amostras de dois dgitos e consiste em escrever do lado esquerdo de uma linha vertical o dgito (ou dgitos) da classe de maior grandeza, seguidos dos restantes. Esta representao facilita o calculo da mediana e reflecte a forma da distribuio da populao subjacente aos dados observados. Os alunos devem construir tabelas de frequncias absolutas ou efectivos , de frequncias relativas e de frequncias relativas acumuladas associadas a dados preferencialmente correspondentes a situaes reais. Os alunos devem ainda construir e interpretar grficos de barras (caso discreto), histogramas e grficos poligonais (caso contnuo) e, eventualmente, em ambos os casos, grficos circulares e pictogramas. Os alunos devem definir e interpretar a funo cumulativa e fazer a respectiva representao grfica. No estudo de variveis estatsticas contnuas dever ter-se em conta que o seu estudo tem subjacente a hiptese de que em cada classe a frequncia (absoluta ou relativa) est uniformemente distribuda ( isto , a frequncia por unidade de amplitude de cada classe igual ao quociente entre a frequncia e a amplitude dessa classe). No caso contnuo, a funo cumulativa dever ser introduzida de forma intuitiva; assim, dever-se- comear por calcular o seu valor nos extremos das classes e, em seguida , usando a hiptese de distribuio uniforme, construir os segmentos de recta associados a cada classe. Os alunos devem compreender e interpretar medidas de localizao, em particular , as medidas de tendncia central assim como as medidas de disperso. No se pedem frmulas estatsticas para alm da mdia e do desvio padro, devendo utilizar-se as funes estatsticas da calculadora mal tenham os alunos compreendido os conceitos a que essas frmulas referem. Recorrendo anlise conjunta das medidas de localizao e de disperso , em particular recorrendo mdia e ao desvio padro os alunos devem interpretar distribuies. A mediana e os quartis devero ser definidos a partir da funo cumulativa no devendo no entanto perder-se a interpretao corrente (por exemplo, no caso da mediana: o valor que tem sua esquerda e sua direita o mesmo nmero de observaes). Alm disso, no caso discreto dever ser apresentada a regra prtica para o clculo da mediana cuja deduo poder ilustrar a interpretao atrs referida; desnecessria , a este nvel , a apresentao das regras prticas para a determinao dos 1 e 3 quartis bem como a sua obteno no caso contnuo. Dever ser observado que, no caso contnuo , o clculo da mdia e do desvio padro s possvel se introduzirmos uma varivel discreta relacionada com a que est em estudo. Isto feito por intermdio da varivel das marcas cuja escolha legitimada pela hiptese de distribuio uniforme em cada classe. Com exemplos devem ser estudadas propriedades elementares da mdia e da varincia ou do desvio padro ; em particular, analisar o efeito nestes parmetros de uma transformao linear afim dos valores da varivel.  Tema III - Estatstica DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Diagramas de extremos e quartis Referncia a distribuies bidimensionais (abordagem grfica e intuitiva): Diagrama de disperso; dependncia estatstica; ideia intuitiva de correlao; exemplos grficos de correlao positiva, negativa ou nula. Coeficiente de correlao e sua variao em [ -1 , 1 ]. Definio de centro de gravidade de um conjunto finito de pontos; sua interpretao fsica. Ideia intuitiva de recta de recta de regresso; sua interpretao e limitaes.  O aluno deve construir e interpretar diagramas de extremos e quartis de uma distribuio, enquanto grfico que permite ter simultaneamente em conta medidas de localizao e de disperso. A partir de exemplos de nuvens de pontos o aluno deve identificar o tipo de correlao. A medida que se utiliza com mais frequncia para medir o grau da associao linear o coeficiente de correlao (linear) que se representa por r . No devem ser propostos exerccios que envolvam o clculo (a no ser pela mquina) nem de exigir o conhecimento da frmula do coeficiente de correlao. Os alunos devem verificar, a partir de exemplos, algumas propriedades do coeficiente de correlao: - O valor de r est no intervalo [ -1 , 1 ] - Quanto maior for o mdulo de r, maior ser a correlao linear entre os valores de x e de y . - Significado e interpretao do sinal de r. Pode definir-se a recta de regresso (linear) como a recta tal que a soma dos quadrados das distncias de cada ponto da nuvem recta seja mnima . Informar que se pode calcular como sendo a recta que passa pelo centro de gravidade da distribuio e cujo declive dado pelo coeficiente de regresso; sobre este coeficiente informar apenas que o sinal o mesmo do coeficiente de correlao e em seguida calcul-lo usando a calculadora. Os alunos podero ainda obter a recta de regresso na calculadora grfica e em seguida verificar que passa pelo centro de gravidade. conveniente chamar a ateno dos alunos que a equao da recta de regresso desligada da nuvem de pontos no nos permite certificar se ela foi ou no influenciada por um pequeno nmero de pontos anormais. Ora, por vezes, uma investigao adicional destes pontos poder permitir eventualmente rejeit-los e obter assim uma recta mais ajustada. n 11 ANO Tema I - Geometria no Plano e no Espao II (36 aulas) A trigonometria tem a sua origem no estudo da medio de tringulos. Problemas relacionados com a navegao, a topografia, a indstria de moldes, entre muitos outros, exigem a resoluo de tringulos. Mais tarde ao serem estudadas as funes trigonomtricas veremos aparecer o seno e o co-seno como modelos matemticos para fenmenos peridicos tais como variaes de temperatura , de mars,..., mas nesta primeira abordagem para alm da resoluo de problemas que envolvam tringulos trata-se somente de ampliar o conceito de ngulo que passa a ser encarado como gerado por uma semi-recta em movimento (sentido positivo ou negativo) bem como o estudo do circulo trigonomtrico e a resoluo de algumas equaes trigonomtricas simples. A calculadora facilitar o estudo da Trigonometria e permitir que o tempo seja dedicado compreenso dos conceitos e s aplicaes ligadas a problemas reais, reduzindo-se o nfase em exerccios de clculo. A continuao do estudo da Geometria com a noo de produto escalar e suas aplicaes ligada resoluo de problemas deve permitir ao aluno melhorar as suas capacidades de visualizao e representao aumentando a sua intuio geomtrica. Devem continuar a explorar-se as ligaes da Geometria aos outros contedos. Os conhecimentos adquiridos nesta unidade devem mostrar ao aluno como a linguagem das coordenadas e dos vectores lhe fornece novos utenslios para resolver problemas j abordados noutras perspectivas. DesenvolvimentoIndicaes MetodolgicasResoluo de problemas que envolvam tringulos. ngulo e arco generalizados: - Radiano. - Expresso geral das amplitudes dos ngulos com os mesmos lados, em graus e radianos. Funes seno, co-seno e tangente: definio; variao (estudo no crculo trigonomtrico); valores em /6, /4 e /3 radianos. Relaes entre as funes circulares de a, e de /2 - a, /2 + a, -a, +a e - a. Expresso geral das amplitudes dos ngulos com o mesmo seno, co-seno ou tangente. Equaes trigonomtricas elementares. Devem propr-se aos alunos problemas variados ligados a situaes concretas onde apliquem mtodos trigonomtricos (problemas ligados a slidos, a moldes, navegao, topografia , histricos,...) de modo a que o aluno se aperceba da importncia da trigonometria para as vrias Cincias. As calculadoras permitem que o aluno se preocupe menos com os clculos e mais com a compreenso do problema. Embora se refiram estes valores por se considerar que importante que o aluno conhea alguns valores exactos das funes trigonomtricas, nomeadamente para que mais tarde possa confirmar pontos do traado de grficos de funes trigonomtricas, no devem os alunos trabalhar preferencialmente com eles pois possuem uma calculadora. Devem aperceber-se da diferena em trabalhar por exemplo com sen1 em graus e radianos de modo a ter sempre bem presente em que modo est a calculadora e interpretar convenientemente os resultados. Depois de compreendidas as relaes referidas por observao do circulo trigonomtrico tornam-se desnecessrios exerccios repetitivos de puras tcnicas de clculo e rotina. importante que os alunos verifiquem que se mantm as relaes: ;  e =  e as usem na determinao de uma funo trigonomtrica, conhecida outra. As equaes trigonomtricas a resolver devem ser simples do tipo sen (kx) = sen a , cos( kx+a) = cos a , tg (kx) = tg a. No de excluir uma breve referncia aos seno e co-seno como funes reais de variel real e aos grficos destas funes trigonomtricas. Tema I - Geometria no Plano e no Espao II DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Expresso geral das amplitudes dos ngulos com o mesmo seno , co-seno ou tangente. Equaes trigonomtricas elementares. Produto escalar de dois vectores no plano e no espao: - Definio e propriedades. - Expresso do produto escalar nas coordenadas dos vectores em referencial ortonormado. - ngulo de duas rectas; inclinao de uma recta; declive como tangente da inclinao no caso da equao reduzida da recta no plano. - Perpendicularidade de vectores e de rectas. - Aplicao do produto escalar deduo da frmula do desenvolvimento de cos(x-y) Conjuntos definidos por condies. Breve referncia equao cartesiana do plano definido por um ponto e o vector normal. Interseco de planos; interpretao geomtrica; resoluo de sistemas. Equaes cartesianas da recta no espao. Paralelismo e perpendicularidade de rectas e planos (interpretao vectorial). (*) Programao linear - breve introduo.  A partir da equao vectorial o aluno pode chegar facilmente s equaes cartesianas da recta. O ensino deve dedicar a maior nfase anlise e interpretao de figuras quer planas quer tridimensionais pois o aluno para resolver problemas da vida corrente ou relacionados com reas da engenharia, arquitectura,... precisa de usar intuio e raciocnios geomtricos. O professor deve assegurar que neste estudo da Geometria o aluno no se limite unicamente manipulao de condies desligadas de situaes concretas e sem as interpretar. Deve procurar que a aprendizagem dos novos conceitos aparea ligada resoluo de problemas como prolongamento da geometria estudada no ano anterior (agora o aluno poder justificar propriedades das figuras usando as suas representaes em coordenadas)n 11 ANO Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial I - Funes racionais e com radicais. Taxa de variao / /Derivada (36 aulas) Com o estudo numrico e grfico de novas funes - racionais e envolvendo radicais - aplicam-se os conhecimentos do 10 ano relativos a funes. Tal como no 10 ano privilegiam-se funes que relacionam variveis com significado concreto. As operaes com funes so abordadas neste Tema. Sero estudadas funes inversas e funes compostas. introduzida a noo de taxa mdia de variao e taxa de variao/derivada recorrendo a um uso informal da noo de limite. Pr-Requisitos: Os alunos devem conhecer a funo afim e a funo definida por f(x) = k/x, com k>0 e x>0. Todo o Tema II - Funes e Grficos do 10 ano. Trigonometria do tema anterior. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Estudo intuitivo tanto a partir de um grfico particular, como usando calculadora grfica de propriedades das funes e dos seus grficos (domnio, contradomnio, pontos notveis, monotonia, continuidade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em relao ao eixo dos YY e origem, assmptotas, limites nos ramos infinitos) e anlise dos efeitos das mudanas de parmetros nos grficos das funes (considerando a variao para cada para cada parmetro separadamente) para as seguintes funes: i) funes racionais definidas por  ; ii) funes definidas por dois ou mais ramos (cujo domnio um intervalo ou unio de intervalos). Uso da calculadora para uma aproximao experimental da noo de limite, de - e +. Referncia hiprbole, informao das suas principais propriedades e da sua importncia histrica. Operaes com funes (soma, diferena, produto, quociente, composio) num contexto do estudo de funes racionais envolvendo polinmios do 2 e 3 grau. Resoluo de problemas envolvendo as funes anteriores e as estudadas em anos anteriores, tanto sob os aspectos analticos como numricos e grficos.  Valem aqui indicaes metodolgicas semelhantes s dadas para o Tema II - Funes e Grficos do 10 ano, pelo que no sero repetidas. No estudo das propriedades das funes os alunos devem ser obrigados a utilizar uma linguagem cada vez mais precisa. A noo de limite deve ser utilizada de forma intuitiva (incluindo a de limite lateral esquerdo e direito); ser formalizada mais tarde. Neste contexto devem ser introduzidos os smbolos + e -, devendo chamar-se a ateno para o facto de no serem nmeros reais, mas apenas smbolos com um significado preciso. Retomando os conhecimentos de polinmios, o aluno dever ser capaz de transformar expresses como  em  ou  em  e observar que, do ponto de vista computacional, normalmente se ganha em preciso, pois se efectua um nmero mais reduzido de operaes. Por outro lado esta simplificao permite que se estude o comportamento no infinito sem necessidade de recorrer ao grfico. Os alunos devem usar este processo e o grfico para l chegar e em seguida verificar pelo outro processo. Os alunos devem poder concluir intuitivamente o limite no infinito de uma funo racional. A resoluo de equaes e inequaes fraccionrias apenas deve aparecer num contexto de resoluo de problemas, por exemplo. ligados ao estudo de grficos ou de modelao matemtica. Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial I - Funes racionais e com radicais. Taxa de variao/Derivada DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Noo de taxa mdia de variao; clculo da taxa mdia de variao. Noo de taxa de variao; obteno da taxa de variao (valor para que tende a t.m.v. quando a amplitude do intervalo tende para zero) em casos simples. Clculo aproximado da taxa de variao. Exemplos concretos, e em particular, envolvendo velocidades e aceleraes. Interpretao geomtrica da taxa de variao; definio de derivada (recorrendo noo intuitiva de limite). Constatao, por argumentos geomtricos, de que: i) se a derivada positiva num intervalo aberto a funo crescente e se a derivada negativa num intervalo aberto a funo decrescente; ii) se a funo derivvel num intervalo aberto e se tem um extremo relativo num ponto ento a derivada nula nesse ponto (anlise dos casos  e |x|). Dexterminao da derivada em casos simples (funo afim, funes polinomiais do 2 e 3 grau, funo racional do 1 grau, funo mdulo) Resoluo de problemas envolvendo derivadas num contexto de aplicaes. Operaes com funes: inverso. Funes com radicais quadrticos ou cbicos. Operaes com radicais quadrticos e cbicos e com potncias de expoente fraccionrio. Simplificaes de expresses com radicais (no incluindo a racionalizao) Uma aplicao das operaes com radicais: obteno da equao da elipse a partir da sua propriedade focal.  Para calcular derivadas de funes simples, no necessrio invocar questes especiais sobre limites, basta recorrer noo intuitiva. No caso da funo inversa os alunos devem analisar os casos em que ser possvel inverter uma funo (poder ser introduzida a noo de injectividade, apenas como noo auxiliar) e devem constatar a relao entre os grficos de uma funo e da sua inversa. Ser necessrio introduzir a noo de raiz ndice n. Tal dever ser feito de forma algbrica. S depois se falar na funo inversa da funo potncia. Grau de dificuldade a no ultrapassar:  ,  n 11 ANO Tema III - Sucesses (20 aulas) A resoluo de problemas permite chegar ao conceito de sucesso, aceder compreenso de propriedades importantes de sucesses particulares e particularmente teis, bem como necessidade e elaborao de representaes formalizadas. Este assunto permite tambm, com facilidade e vantagens, a utilizao intensiva de calculadoras. E permite exerccios de comunicao (pela fala e pela composio escrita). As propriedades das progresses e outras sucesses definidas por recorrncia justificam a aprendizagem do mtodo de induo matemtica. Pr-Requisitos: Os estudantes precisam de deter capacidades de clculo elementares e devem dominar o conceito de funo. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Introduo ao conceito de sucesso A sucesso real como funo real de varivel natural. Sucesses montonas. Sucesses limitadas Casos particulares das progresses aritmticas e geomtricas: Termo geral, soma de n termos consecutivos. Estudo intuitivo da sucesso de termo geral num contexto de modelao matemtica; primeira definio do nmero e.  As sucesses devem aparecer como uma forma de organizar possveis resolues para situaes problemticas que so apresentadas, com base em aspectos da realidade (social) e em aspectos do estudo das diversas cincias (Matemtica includa). O estudo das sucesses pode e deve servir para evidenciar conexes entre a matemtica e as outras disciplinas: a introduo do conceito de sucesso e das suas propriedades pode ser feita introduzindo vrios problemas, de tipo geomtrico tal como vm propostos no articulado do actual programa. Outros exemplos sugestivos podem versar assuntos diversos: da geometria por exemplo, comprimento da espiral construda a partir de quartos de circunferncias; da economia por exemplo, problemas com emprstimos ou depsitos bancrios com juros sobre um capital constante (ou varivel); da biologia por exemplo, calculo do nmero de elementos de uma populao considerado um determinado modo de reproduo de cada elemento,... O estudo das sucesses como funes de varivel natural deve ser feito s depois de terem sido construdos vrios exemplos/modelos. Mas a escrita de expresses para os termos gerais das sucesses deve ser procurada como forma de representar as situaes que se vo descrevendo. Do mesmo modo se devem introduzir as noes de termo, de ordem, ou at de razo, etc O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, etc deve ser feito medida que vo aparecendo como aspectos a considerar durante a resoluo dos diferentes problemas. Do mesmo modo, devem ser abordadas as propriedades de certas sucesses (progresses). Estes problemas devem ainda servir para introduzir a definio por recorrncia., para casos simples. Os estudantes podem utilizar livremente a calculadora para procurar responder aos problemas que lhes so propostos e devem procurar formas prprias de organizao e expresso para a modelao das situaes. O professor deve explorar o uso da calculadora e deve ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar grficos. S depois de serem experimentadas variadas redaces, devem ser introduzidas as redaces simblicas consagradas. As redaces simblicas devem ento ser testadas com exerccios rpidos.  Tema III - Sucesses DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Limites Infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Definio e resultados para classificao por comparao com sucesses conhecidas. Operaes sobre infinitamente grandes e infinitsimos. Limites de sucesses e convergncia. Noo de limite real. Ilustrao de alguns resultados que justifiquem a unicidade do limite e sobre limites de sucesses convergentes obtidas a partir de outras mais simples igualmente convergentes. A convergncia das sucesses montonas e limitadas. Exemplos de sucesses montonas no convergentes. Exemplos de sucesses limitadas no convergentes. Resultados e determinao de limites por comparao de sucesses. Problemas de limites com progresses . (*) Estudo de casos simples de caos usando sucesses definidas por recorrncia  Depois de se terem introduzido as noes de sucesso como funo de varivel natural, de ordem, de termo geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucesses definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora grfica, atravs de clculos e representaes grficas de sequncias de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno, de limite de uma sucesso. Cada definio deve ser suportada por exemplos e contra-exemplos que esclaream as ideias imediatas e corrijam eventuais concepes alternativas e erradas. Deste modo, os estudantes ganham confiana nos seus prprios saberes e compreendem as novas aquisies como complementares e facilitadoras, aprofundamentos das suas competncias para dar respostas a situaes cada vez mais complexas. As definies so estabelecidas em linguagem corrente seguindo as concluses a tirar de cada exemplo e contra-exemplo. Aps cada redaco em linguagem corrente deve ser estabelecida uma redaco em simbologia matemtica e devem ento ser aplicados exerccios rpidos em que as definies simblicas sejam testadas.n 12 ANO Tema I - Probabilidades e Combinatria (36 aulas) As probabilidades fornecem conceitos e mtodos para estudar casos de incerteza e para interpretar previses baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental, fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma crtica , toda a comunicao que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estatstica. As tcnicas de contagem que aqui aparecem como auxiliar do clculo de probabilidades constituem uma aprendizagem significativa por si s, especialmente se desenvolverem mais as capacidades do raciocnio combinatrio e as conexes matemticas e menos a aplicao das frmulas. Considera-se ainda que o tema das Probabilidades constitui uma boa oportunidade para a introduo de uma axiomtica, uma das formas de organizar uma teoria matemtica . Finalmente, qualquer destes assuntos bom para prosseguir objectivos de trabalho em aspectos da Histria da Matemtica. Pr-requisitos: Noes elementares sobre conjuntos, Probabilidades do 3 Ciclo do Ensino Bsico. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Introduo ao clculo de Probabilidades: Experincia aleatria; conjunto de resultados; acontecimento como subconjunto. Operaes sobre acontecimentos. Acontecimento elementar; acontecimento certo, impossvel; acontecimentos contrrio e incompatveis. Lei dos grandes nmeros Conceito frequencista de probabilidade; Propriedades Clculo de probabilidades pela Lei de Laplace Distribuio de frequncias relativas e distribuio de probabilidades Mdia, desvio padro Representao grfica: referncia curva de Gauss e a caracteres que se distribuem normalmente Definio axiomtica de Probabilidade (caso finito) e propriedades elementares Definio de probabilidade condicionada. e sua verificao da axiomtica das probabilidades  Todo o trabalho deve iniciar-se pela realizao de experincias aleatrias ( frequncias relativas e probabilidades). Os estudantes devem ser levados a elaborar formas de registo "legveis" para os resultados das suas experincias que podem ser partilhadas em grupo. As experincias e o estudo de situaes (em particular dos jogos) devem ser aproveitadas para dinamizar discusses de tipo cientfico, bem como o trabalho cooperativo. A axiomtica das Probabilidades pode ser obtida pela intuio a partir das concluses que se forem tirando das experincias e de outros exemplos apresentados. A axiomtica, por ser curta , permite alguns exerccios de verificao simples capazes de motivar a apropriao da utilidade deste tipo de abordagem matemtica.  Tema I - Probabilidades e Combinatria DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Combinatria Tcnicas de contagem. Permutaes. Arranjos com e sem repetio. Partes de um conjunto e combinaes sem repetio; propriedades. Tringulo de Pascal. Binmio de Newton. Aplicaes ao clculo de Probabilidades Acontecimentos independentes. (*) O problema das provas repetidas e referncia lei binomial de probabilidade  No caso das contagens que sejam facilitados por raciocnios combinatrios, os alunos devem comear por contar os elementos um a um, utilizando exemplos (desde os mais simples at aos complicados), at que reconheam a utilidade dos diagramas e depois das organizaes simplificadoras. Os exemplos de conjuntos para a contagem devem surgir de situaes problemticas que lhes forem sendo propostas. Mesmo o tringulo de Pascal deve ser introduzido a partir de problemas. Muitos problemas postos podem e devem resultar da anlise de jogos conhecidos. As propriedades devem ser acedidas por meio de raciocnios combinatrios, mas no deve ser desprezada a ideia de, caso seja possvel, introduzir conexes matemticas - com mtodos recursivos e fazendo alguma demonstrao por induo matemtica. Pascal, Tartaglia e Laplace so exemplos "interessantes" para realizar incurses na histria dos conceitos matemticos, na vida dos matemticos, nas ligaes da Matemtica com outros ramos de saber e actividade. Deve ser referido que muitos resultados de contagens j eram conhecidos anteriormente noutras civilizaes (o tringulo de Pascal era conhecido na China vrios sculos antes de Pascal) Pretende-se que o aluno trate agora com rigor os conceitos anteriormente estudados de forma primordialmente intuitiva. n 12 ANO Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial II (36 aulas) Aqui so estudados de forma mais rigorosa conceitos j utilizados antes de forma intuitiva: limite, continuidade e derivada. O estudo das funes ampliado com as funes exponencial e logartmica. Pr-requisitos: Tema II - Funes e Grficos do 10 ano. Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial I do 11 ano. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Funo exponencial de base superior a um. Crescimento exponencial. Estudo das propriedades analticas e grficas da famlia de funes definida por com a > 1. Funo logartmica de base superior a um. Estudo das propriedades analticas e grficas da famlia de funes definida por  com a > 1. Regras operatrias de exponenciais e logaritmos. Aplicaes concretas de exponenciais e logaritmos. Limite de funo segundo Heine. Propriedades operatrias sobre limites (informao); limites notveis (informao). Indeterminaes. Assmptotas. Continuidade. Teorema de Bolzano-Cauchy (informao) e aplicaes numricas. Funes derivveis. Regras de derivao (demonstrao da regra da soma e do produto; informao das restantes regras). Derivadas de funes elementares (informao baseada em intuio numrica e grfica). Segunda definio do nmero e. Teorema da derivada da funo composta (informao). Segundas derivadas e concavidade (informao baseada em intuio geomtrica).  As indeterminaes so referidas apenas para mostrar as limitaes dos teoremas operatrios. Apenas se devem levantar as indeterminaes em casos simples. Dificuldade a no exceder: ; ;  Os alunos devem experimentar numrica e graficamente a relao entre os limites no infinito da exponencial, da potncia e dos logaritmos. Derivada da funo composta: grau de dificuldade a no ultrapassar f(ax), f(x+b), f(xk) Em todos os teoremas se deve analisar a necessidade das condies do enunciado atravs de contra-exemplos. Deve ser adoptada a definio: f derivvel quando a derivada existe (isto , um nmero real); limites infinitos no existem, + e - no devem nunca ser considerados como nmeros reais. e o nico nmero real tal que  .  Tema II - Introduo ao Clculo Diferencial II DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Estudo de funes em casos simples. Integrao do estudo do Clculo Diferencial num contexto histrico. Problemas de optimizao. (*) Demonstrao de alguns teoremas elementares do clculo diferencial. Dificuldade a no ultrapassar: ,  ,  Os alunos podero realizar trabalhos individuais ou em grupo de Histria do Clculo Diferencial referindo o trabalho de alguns matemticos como Fermat, Newton, Leibniz, Berkeley, Anastcio da Cunha, Bolzano, Cauchy, etc. Uma referncia obrigatria a de Jos Anastcio da Cunha; com esse pretexto referir um pouco de histria da Matemtica em Portugal desde o tempo dos descobrimentos at actualidade. Os problemas de optimizao devem ser escolhidos de uma forma a que um aluno trabalhe de uma forma to completa quanto possvel a modelao. uma boa oportunidade para discutir com os alunos o processo de modelao matemtica e a sua importncia no mundo actual. (*) Os teoremas a demonstrar devem incluir: continuidade implica limitao numa vizinhana; continuidade e f(xsdo3(0) ) 0 implicam permanncia de sinal numa vizinhana de xsdo3(0) ; derivabilidade implica continuidade; derivada da potncia inteira e racional e do quociente. n 12 ANO TEMA III - Trigonometria e Nmeros Complexos (20 aulas) Com pretexto de responder a problemas de resolubilidade algbrica amplia-se o conceito de nmero. As operaes com nmeros complexos, nas formas algbrica e trigonomtrica so aproveitadas para apropriar diferentes representaes analticas para domnios definidos geometricamente, bem como para apropriar relaes entre operaes algbricas e transformaes geomtricas. O estudante precisa dos conhecimentos de Geometria Analtica , em geral, e da Trigonometria e Idba2()R, e precisa de saber resolver equaes e inequaes dos 1 e 2 graus. Pr-Requisitos: Trigonometria do Tema I - Geometria no Plano e no Espao do 11 ano. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Funes seno, co-seno, tangente. Estudo intuitivo tanto a par-tir de um grfico particular, como usando calculadora gr-fica de: domnio, contrado-mnio, perodo, pontos not-veis, monotonia, continui-dade, extremos (relativos e absolutos), simetrias em rela-o ao eixo dos YY e ori-gem, assmptotas, limites nos ramos infinitos. Estudo intuitivo de  . Clculo das deri-vadas do seno e co-seno. Complexos Introduo elementar de pro-blemas de resolubilidade alg-brica e do modo como se fo-ram considerando novos n-meros. Apropriao de um modo de desenvolvimento da Matemtica, atravs da evolu-o do conceito fundamental de nmero. Experimentao da necessidade de i, seme-lhana da aceitao da neces-sidade dos nmeros negativos e "partidos". Nmeros complexos. O n-mero i. O conjunto C dos nmeros complexos A forma algbrica dos com-plexos. Operaes com com-plexos na forma algbrica. Representao de complexos na forma trigonomtrica. Es-crita de complexos nas duas formas, passando de uma para outra. Operaes com com-plexos na forma trigonom-trica. Interpretaes geomtri-cas das operaes. Domnios planos e condies em varivel complexa. (*) Demonstrao de proprieda-des de Geometria usando n-meros complexos  As derivadas do seno e do co-seno devem ser obtidas a partir das frmulas do seno e do co-seno da soma e de que =1 . A introduo dos complexos deve ser ancorada em pequena abordagem histrica, do ponto de vista dos problemas/escolhos que foram aparecendo no desenvolvimento dos estudos matemticos. Os estudantes podem realizar trabalhos sobre a extenso do conceito de nmero e sobre problemas de resolubilidade algbrica, quer do ponto de vista histrico, quer do ponto de vista da sua experincia com anteriores desenvolvimentos. Ser interessante a referncia impossibilidade da extenso a C de uma ordenao compatvel com a adio e a multiplicao. As operaes com complexos podem ser definidas na base da manuteno das propriedades das operaes e do quadrado de i ser -1. De modo intuitivo deve ser introduzido o |z|, estendendo a noo de valor absoluto de um real (distncia de dois pontos no eixo, distncia de dois pontos no plano cartesiano) A passagem forma trigonomtrica pode ser feita com referncia a outros sistemas de coordenadas. Devem ser exploradas a multiplicao por i e as diversas operaes ligadas a outras realidades matemticas - vectores, operaes com vectores, transformaes geomtricas. A resoluo e a interpretao das solues de condies em z, devem ajudar a compreender a utilidade dos diversos sistemas de representao analtica.n O tema "Lgica e Raciocnio Matemtico" aparece como "Tema Geral", lateralmente ao corpo do programa, pois no se pretende que constitua em si mesmo um contedo do programa de ensino; contudo a sua abordagem indispensvel para a formao secundria em Matemtica. Os diversos itens deste tema so obrigatoriamente tratados ao longo dos trs anos. No corpo do programa so feitas algumas sugestes para as oportunidades da abordagem destes temas, mas cabe ao professor, consideradas a maturidade dos alunos e as condies das turmas, decidir quando e onde deve fazer a abordagem proposta. Tema Geral Lgica e Raciocnio Matemtico A aprendizagem matemtica dos alunos passa por fases intuitivas e informais, mas, desde muito cedo, mesmo estas no podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstraes correctas, bem como no podem passar sem um mnimo de linguagem simblica. Na aprendizagem da matemtica elementar dos ensinos bsico e secundrio so absolutamente necessrias as demonstraes matemticas, mas estas no podem confundir-se com demonstraes formalizadas (no sentido de dedues formais em teorias formais). Neste captulo, chama-se a ateno para alguns assuntos que, no constituindo em si mesmos contedos do programa, so alguma da essncia de muitos passos da aprendizagem de diversos assuntos e constituem elementos que ajudam os estudantes a compreender demonstraes e a racionalizar os desenvolvimentos desta ou daquela teoria. Como se pode ver pelo corpo do programa, no se pretende que a matemtica ou matemticas sejam introduzidas axiomaticamente, mas pretende-se que os estudantes fiquem com a ideia de que as teorias matemticas so estruturadas dedutivamente. Defende-se que os conceitos fundamentais e as suas propriedades bsicas sejam motivados intuitivamente, mas defende-se que os alunos possam trabalh-los at chegarem a formulaes matemticas precisas, sem que, em algum momento, se confunda o grau de preciso de um conceito matemtico com qualquer grau de "simbolizao". Um conceito matemtico pode estar completa e rigorosamente compreendido expresso em lngua natural ou em linguagem matemtica ordinria que uma mistura de linguagem natural, simbologia lgica e matemtica. A escrita simblica das proposies matemticas h-de aparecer, se possvel naturalmente, para efeitos de preciso, condensao e economia, clareza de exposio. DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Noes de lgica Operaes com condies e operaes com conjuntos. Implicao formal e incluso: transitividade. Lei da converso. Primeiras leis de De Morgan. Quantificadores. Noo de teorema: hiptese, tese e demonstrao. Mtodos de demonstrao: mtodo analtico, mtodo sinttico, mtodo de reduo ao absurdo, induo matemtica. Contra-exemplos.  Todas as noes de lgica e teoria de conjuntos devem ser introduzidas medida que vo sendo precisas ou recorrendo a exemplos concretos de matria usada: resoluo de equaes e inequaes, propriedades dos mdulos, propriedades das funes, axiomtica das probabilidades. Muitos pequenos exemplos ligados ao trabalho com Idba 2()R e suas propriedades podem servir como exemplos de esclarecimento de alguma operao lgica. No que diz respeito aos mtodos de demonstrao, eles devem ser referidos medida que vo sendo usados ou aps os alunos terem j utilizado os vrios mtodos em pequenas demonstraes informais (mesmo para confirmar as suas resolues de problemas). No esto sugeridos explicitamente no corpo do programa, mas todo o estudo da Geometria Analtica se baseia numa geometria sinttica euclideana, semi-intuitiva, semi-dedutiva em que se procuram explorar intuies espaciais e habilidades dedutivas. O hbito de pensar correctamente, que o que afinal est em causa, deve ser acompanhado do hbito de argumentar oralmente ou por escrito e, sempre que possvel, os alunos devem realizar exerccios metodolgicos de descoberta de justificaes (que no so mais do que novos problemas, por vezes dentro de outros problemas cuja resoluo carece de ser comprovada). A induo matemtica, como mtodo de demonstrao, deve aparecer individualizada como exemplo particular do raciocnio dedutivo (quer para provar propriedades de sucesses, quer para provar propriedades combinatrias, se houver tempo).  Lgica e Raciocnio Matemtico DesenvolvimentoIndicaes Metodolgicas Reflexo sobre as heursticas de Polya para a resoluo de problemas. O processo de modelao matemtica. A organizao da heurstica de Polya (de Guzmn, ou outra) para a resoluo de problemas deve aparecer aos alunos aps a resoluo de vrios problemas (abstractos, por exemplo com conjuntos, ou envolvendo aplicaes) e depois dos alunos discutirem os procedimentos usados. Elas serviro como pano de fundo organizacional do pensamento para atacar os problemas, de modo a que os alunos no esqueam qualquer fase importante. importante que os estudantes se apercebam da necessidade de um plano, e que, sem que eles abandonem a criao dos seus prprios estilos de organizao e a experincia j existente, compreendam que o conhecimento destas heursticas vai permitir melhor-los. Estas organizaes de pensamento so teis para todos os aspectos da vida e no s para a Matemtica. A introduo e o desenvolvimento destes temas facilitador do "desenvolvimento da linguagem e do simbolismo para comunicar ideias matemticas" de modo que os alunos "reflictam sobre, e clarifiquem, o seu pensamento matemtico no que diz respeito s noes e relaes matemticas, formulem definies matemticas e exprimam generalizaes descobertas atravs de investigaes, exprimam as noes matemticas oralmente e por escrito, faam perguntas de clarificao e de desenvolvimento relacionadas com assuntos matemticos que leram ou ouviram falar e apreciem a economia, o poder e a elegncia da notao matemtica bem como o seu papel no desenvolvimento das ideias matemticas." Estamos em crer que estes temas, includos em experincias variadas, so facilitadores de aprendizagens que reforam a capacidade de raciocinar logicamente, pelas oportunidades de formular e testar conjecturas e analisar contra-exemplos, de avaliar a validade de raciocnios e de construir demonstraes. Finalmente, quando for oportuno (as probabilidades e a estatstica so temas e momentos apropriados na falta de outros momentos) devem ser abordadas as diferenas entre raciocnio plausvel e raciocnio demonstrativo, ao mesmo tempo que se abordam os diversos tipos de evidncia cientfica. Estas abordagens constituem bases seguras para criar um esprito crtico construtivo capaz de destrinar a qualidade relativa de cada uma das informaes que o aluno recebe. Deve ser discutido com os alunos o processo de modelao matemtica e a sua importncia no mundo actual. Este tema dever ser abordado o mais tardar a propsito dos problemas de optimizao no 12 ano. n  Departamento do Ensino Secundrio  x{|x{|}    qnPr{n{rvrPnUn{"rP!n{"fP!b{"ZP!V{"OP!K{"CP!?{"7P!3{"+P!'{" P!{"P!{pnPr{n{rvrPnUn{pPrUrPPUnUrPpUn{nUU{n{nU rPrv"rP"r"r"r"r;"rv,Times .+`~Clculo(Y Diferencial(~ Geometria)>Funes( /sucesses(~ Probab. e( Estatstica(~HNmeros(D ComplexosnaQqfrknkkfrfnkpfrknkkfrfnkkqVrfrffVrVrfpVrfrffVrVrfqVkkfV\kpVkkfV\knaQqrnrnprnrnkqrrrrprrrrqpnaQq,rn,0rnp,rn,0rnkq0rr00rrp0rr00rrq,0,00,,p,0,00,,naQq,rn,0rnp,rn,0rnkq0rr00rrp0rr00rrq,0,00, ,p,0,00, ,naQq^QrVnV^VbQrQnVp^QrVnV^VbQrQnVkqbArQrQbQbArArQpbArQrQbQbArArQq^AbV^VbQbA^G^Vp^AbV^VbQbA^G^V"rP"rP"fP"ZP"OP"CP"7P"+P" P"P(tG0(hB10(\B20(QB30(EB40(9B50(-B60("B70(B80 rPrv"rP"r"r"r"r;"rv+hClculo(Y Diferencial(~ Geometria)>Funes( /sucesses(~ Probab. e( Estatstica(~HNmeros(D Complexos k q3SR3SRa&~-.h-.kqRvRRvRa%Z8hZ8"R"R$!1qR~Rv~Ri#h#!1qR~R~hRa%<h<"R$"RqQhRhQRihq4RRR4Ra&~+h+"R"R}/q&RR4&Ri90h90}/q&RR&*Ra&~h"R"RVq*RR*3Rih"R"R IcS,Times .(S Clculo Diferencial+ 29% ~( Geometria+ 26% @]Z(J`Funes /sucesses+ 20% %(Probab. e Estatstica+ 20% -D(Nmeros Complexos+! 5%vyhyXy k vq'I=g<I'^=g<Ia*[i-.h-.kq<HZg<I<gZH<Ia*\iZ[hZ[kq<FZI<IZIZF<Ia+\hh"<I"<I!1q;+ZI<IZF;+<IiVhV!1q#+<I<I<+#8<Ia+[h8h8"<I"<Iq8<J<I#8J<IiF#hF#qI<^<II'^<Ia*[i-h-"<I"<I CiT,Times .+lN39% =N((H39% AY(D22% y1(S8k )61-38+Z Geometria!1 6D1;@8* Funes DQ1HM8* Estatstica.  qj(mjmm(j,j"m(!j"b(!_"W(!S"L(!H"@(!="5(!2"*(!'"(!"(!pj(mjmm(j,jp(m,m((,j,m(p,jj,,jj, m(m"m("mX"m"m,Times .+.y Geometria)3Funes)- EstatsticanaQq:m>j>>:m:j>p:m>j>>:m:j>kq-m:m::-m-m:p-m:m::-m-m:q->>:-2>p->>:-2>naQqjmnjnnjmjjnpjmnjnnjmjjnkq]mjmjj]m]mjp]mjmjj]m]mjq]nnj]anp]nnj]annaQq=mj=@mjp=mj=@mjkq@mm@@mmp@mm@@mmq=@=@@==p=@=@@=="m("m("b("W("L("@("5("*("("((o0(d5(Y10(N15(B20(725(,30(!35(40 m(m"m("mX"m"m+c Geometria)3Funes)- Estatsticaovofo k lq';7Q7;'K7Q7;a!$NR-.h-.kq7;MQ7;7QM;7;a $ORZ[hZ[kq79M;7;M;M97;a %OQh"7;"7;!1q7%M;7;M97%7;iVhV!1q%%7;7;7%%/7;a!%NQ8h8"7;"7;q!/7;7;%/!;7;iF#hF#q!;7K7;!;'K7;a!$NR-h-"7;"7; ;SLk,Times .+VF39% 6 G"(A 39% 2 J(522% o1uS8k v,1#z)8+L Geometria!1 ,vD11z68* Clculo* Diferencial DvQ1HzM8* Sucesses,  q\6_\__6\:\"_6!\"V6!R"L6!I"C6!@"96!6"06!-"'6!$"6!"6!p\6_\__6\:\p6_:_66:\:_6p:\\::\\: _6_"_6"_e"_"_,Times .+;k Geometria)4Clculo(uh Diferencial(k SucessesnaQqG_K\KKG_G\KpG_K\KKG_G\Kkq;_G_GG;_;_Gp;_G_GG;_;_Gq;KKG;?Kp;KKG;?KnaQqv_z\zzv_v\zpv_z\zzv_v\zkqj_v_vvj_j_vpj_v_vvj_j_vqjzzvjnzpjzzvjnznaQq6_\69_\p6_\69_\kq9__99__p9__99__q6969966p6969966"_6"_6"V6"L6"C6"96"06"'6"6"6(a-0(X-5(N(10(E(15(;(20(2(25()(30((35((40 _6_"_6"_e"_"_+U Geometria)4Clculo(uh Diferencial(k Sucesseskkzk k hq&95N59&H5N59a #KO-.h-.kq59JN595NJ959a#LOZ[hZ[kq5/J959J9G/59a$LNh"59"59!1q5$G959G/5$59i>h>!1q $59595$ 559a $KNPhP"59"59q 55959 5 959i^ h^ q 95H59 9&H59a #KO-h-"59"59 BMSe,Times .+PM46% ): (4 39% ? 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