Pseudaria (5)
<<Figuras são, não apenas o objecto dos problemas geométricos, como também um importante auxílio para problemas de todos os tipos, que nada apresentam de geométrico na sua origem.>> George Polya
<<Quando um estudante comete erros realmente tolos ou é irritantemente vagaroso, a causa é sempre a mesma: ele não tem qualquer desejo de resolver o problema, nem mesmo deseja entendê-lo adequadamente e, por isso, não chegou sequer a compreendê-lo. Portanto, o professor que realmente deseja ajudar o aluno deve, antes de tudo, estimular a sua curiosidade, incutir-lhe certo desejo de resolver o problema.>> George Polya
No presente número aparece a solução da falácia 5 e é proposta uma nova falácia, a 8. Assinalo com prazer que esta última falácia me foi proposta por um leitor (e por correio electrónico!). Por uma questão de completude devo assinalar que recebi também uma resposta de Eduardo Leal à falácia 4.
Agradeço toda a colaboração, tanto para as soluções das falácias como na proposta de novas falácias no espírito de Euclides.
Enunciado:
Consideremos o triângulo [ARS] onde PQ e RS são paralelas.
Os segmentos [PQ] e [RS] são claramente desiguais: logo [PQ] tem mais pontos que [RS]. Mas, traçando segmentos partindo de A e intersectando o lado [RS], observamos que a cada ponto de [PQ] corresponde um ponto de [RS] e vice-versa: logo [PQ] tem o mesmo número de pontos que [RS]. Em conclusão: o todo [RS] é igual a uma parte [PQ] .
Solução (enviada por Paolo Nardini, Liceo A. Vallisneri, Itália):
Na falácia 5 só se mostra que há uma bijecção entre os pontos do segmento [PQ] e os pontos do segmento [RS]. Isto é uma demonstração do facto que dois segmentos quaisquer têm o mesmo número (infinito) de pontos e não é uma prova do facto que dois segmentos quaisquer têm que ser iguais. Por exemplo, os segmentos considerados [PQ] e [RS] têm o mesmo número de pontos e não são iguais; tendo eles infinitos pontos (sendo conjuntos com infinitos pontos) pode acontecer que o todo [RS] esteja em correspondência biunívoca com um outro segmento que é igual a uma parte dele (neste caso o adjectivo igual tem o seu verdadeiro sentido geométrico euclidiano e significa sobreponível através dum movimento rígido - ou seja duma isometria). Estas coisas estranhas, como bem sabemos, acontecem considerando conjuntos infinitos, já que o adjectivo infinito indica precisamente um conjunto que pode ser posto em correspondência biunívoca com um subconjunto próprio dele mesmo. Portanto todos os segmentos do plano têm o mesmo número infinito de pontos, mas certamente não são todos iguais entre
Recebi também uma solução de Helena Maria Monteiro Rocha (aluna do curso de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra).
Eis agora uma nova falácia para a qual solicito o envio de soluções:
Falácia 8 (proposta por Josué Baptista, Escola Secundária Ângelo Augusto da Silva, Funchal)
Seja [ABC] um triângulo rectângulo e seja [BD] a altura do triângulo [ABC] em relação à sua hipotenusa. É dado que
É ainda dado que a razão de semelhança que transforma o triângulo [ABC] no triângulo [BDC] é 2/3.
Os triângulos [ABC] e [BDC] são realmente semelhantes (e ao triângulo [ABD]) como é fácil provar através da igualdade dos seus ângulos, o que implica que os lados correspondentes são proporcionais. Como o triângulo [ABC] é semelhante ao triângulo [BDC] vem que
isto é, 5/k = y/2. Sendo a razão de semelhança 2/3 então k = 2/3 x 5, isto é, k = 10/3. Também y = 3/2 x 2, isto é, y = 3.
Como y é a hipotenusa do triângulo [BDC] e obtivemos y < k, concluímos que a hipotenusa do triângulo [BDC] é menor do que o cateto [BD] do mesmo triângulo.
Endereços para o envio de soluções:
endereço postal:
Departamento de Matemática
Universidade de Coimbra
Apartado 3008
3000 Coimbra
endereço electrónico: jaimecs@mat.uc.pt
endereço na WEB: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pseud/index.html
Voltar atrás