Matemática Computacional 19 de Fevereiro de 2002

f1ex18

Professor: João Soares Aluno: Harry Potter

a. As raízes de f(x) = sin x − cos 3x são os pontos x para os quais as funções sin x e cos 3x coincidem. No intervalo [0, π/4], a função sin x é crescente e a função cos 3x é decrescente. Como a monotonia de ambas é estrita e f(0)f(π/4) < 0, existe uma única raiz de f em [0, π/4], denotada x^{∗}.

b. A função f′ é contínua à Lipschitz em [0, π/4] se existir um escalar γ tal que

|f′(x) − f′(y)| ≤ γ|x − y|, para todo x, y ∈ [0, π/4].

Como f′(x) = cos x + 3 sin(3x) é continuamente diferenciável em ℝ então podemos aplicar o teorema do valor médio. Assim, para cada x, y ∈ [0, π/4]

f′(x) − f′(y) = f′′(z)(x − y)

para algum z entre x e y (\underline{Nota}: z depende de x e de y). Se escolhermos

γ ≥ max_{z∈[0,π/4]} |f′′(z)| = max_{z∈[0,π/4]} | − sin z + 9 cos(3z)|,

γ = 10, por exemplo, então tem-se

|f′(x) − f′(y)| = |f′′(z)| |x − y| ≤ γ |x − y|, para todo x, y ∈ [0, π/4],

pelo que se conclui a continuidade à Lipschitz de f′ em [0, π/4].

Mais, f′(x^{∗}) ≠ 0 porque f′(x) = cos x + 3 sin 3x > 0, para todo x ∈]0, π/4[, e f′ não se anula em 0 e π/4.

c. A relação recursiva do método de Newton que define uma sucessão {x_{k}} que se espera vir a convergir para x^{∗} é

x_{k+1} = x_{k} − \frac{f(x_{k})}{f′(x_{k})} = x_{k} − \frac{sin x_{k} − cos 3x_{k}}{cos x_{k} + 3 sin 3x_{k}}

Em geral, não é possível assegurar antecipadamente a convergência da sucessão {x_{k}} para x^{∗}. O teorema da convergência local do método de Newton define uma condição suficiente para assegurar essa convergência: f′ contínua à Lipschitz num intervalo fechado que contenha x^{∗}, f′(x^{∗}) ≠ 0, e o ponto inicial x_{0} escolhido suficientemente próximo de x^{∗}. Nessas condições o teorema garante ainda uma taxa de convergência quadrática para x^{∗}.

No caso de se saber que a sucessão {x_{k}} converge para x^{∗} então a partir de certa ordem um dos termos da sucessão {x_{k}} estará suficientemente próximo de x^{∗}. Esse termo desempenhará o papel de x^{0} no teorema que enunciámos no parágrafo anterior. Como vimos na alínea b, f′ é contínua à Lipschitz num intervalo fechado que contém x^{∗} e f′(x^{∗}) ≠ 0.

Estando nas condições do teorema da convergência local do método de Newton podemos então afirmar que a sucessão {x_{k}} converge para x^{∗} com taxa de convergência quadrática.

Convergência quadrática significa que existe um escalar c tal que

|x_{k+1} − x_{∗}| ≤ c|x_{k} − x_{∗}|^{2}, para todo k ∈ ℕ.

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