\documentclass[amstex,twoside]{article}

\input{preamble.tex}

\newcommand{\mxg}{Harry Potter}
\newcommand{\data}{19 de Fevereiro de 2002}
\newcommand{\id}{f1ex18}
\newcommand{\titulo}{\id}

\begin{document}

\handout{\id}{\data}{Professor: \prof}{Aluno: \mxg}{\titulo}


    \begin{enumerate}
    \item As ra\'{\i}zes de $f( x) = \sin x - \cos 3x$ s\~ao os pontos $x$ para os quais as fun\c c\~oes $\sin
x$ e $\cos 3x$ coincidem. No intervalo $[0,\pi/4]$, a fun\c c\~ao
$\sin x$ \'e crescente e
     a fun\c c\~ao $\cos 3x$ \'e decrescente. Como a
     monotonia de ambas \'e estrita e $f(0)f(\pi/4) < 0$, existe uma
     \'unica raiz de $f$ em $[0,\pi/4]$, denotada $x^*$.
    \item \label{b} A fun\c c\~ao $f^\prime$ \'e cont\'{\i}nua \`a Lipschitz em $[0,\pi/4]$
    se existir um escalar $\gamma$ tal que
    $$
    |f^\prime(x)-f^\prime(y)|\leq \gamma |x - y|, \mbox{ para todo } x,y \in [0,\pi/4].
    $$
     Como $f^\prime (x) = \cos x + 3 \sin (3x)$ \'e continuamente diferenci\'avel em $\Rea$ ent\~ao
     podemos aplicar o teorema do valor m\'edio. Assim,
     para cada $x,y \in [0,\pi/4]$
    $$
    f^\prime(x)-f^\prime(y) = f^{\prime\prime} (z) (x - y)
    $$
    para algum $z$ entre $x$ e $y$ (\underline{Nota}: $z$ depende de $x$ e de $y$).
    Se escolhermos
    $$
    \gamma \geq \max_{z \in [0,\pi/4]} |f^{\prime\prime} (z)| =
    \max_{z \in [0,\pi/4]} |- \sin z + 9 \cos (3z)|,
    $$
     $\gamma  = 10$, por exemplo, ent\~ao tem-se
    $$
    |f^\prime(x)-f^\prime(y)| = |f^{\prime\prime} (z)| \ | x - y| \leq \gamma  \ | x - y| ,
    \mbox{ para todo } x,y \in [0,\pi/4],
    $$
    pelo que se conclui a continuidade \`a Lipschitz de $f^\prime$ em $[0,\pi/4]$.

    Mais, $f^\prime (x^*) \neq 0$ porque $f^\prime (x) = \cos x + 3 \sin 3x > 0$,
    para todo $x \in ]0,\pi/4[$,
    e $f^\prime$ n\~ao se anula em 0 e $\pi/4$.
    \item A rela\c c\~ao recursiva do m\'etodo de Newton que define uma sucess\~ao $\{x_k\}$ que se
    espera vir a convergir para $x^*$ \'e
 $$
    x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}  = x_k - \frac{\sin x_k - \cos 3x_k}{\cos x_k +3 \sin 3x_k}
$$
    Em geral, n\~ao \'e poss\'{\i}vel assegurar antecipadamente a converg\^encia da sucess\~ao $\{x_k\}$ para
    $x^*$. O teorema da converg\^encia local do m\'etodo de Newton define uma condi\c c\~ao suficiente
    para assegurar essa converg\^encia: $f^\prime$ cont\'{\i}nua \`a Lipschitz num intervalo fechado
    que contenha $x^*$, $f^\prime (x^*) \neq 0$, e o ponto inicial
    $x_0$ escolhido suficientemente pr\'oximo de $x^*$. Nessas condi\c c\~oes o teorema garante ainda
    uma taxa de converg\^encia quadr\'atica para $x^*$.

    No caso de se saber que a sucess\~ao $\{x_k\}$ converge para $x^*$ ent\~ao a partir de certa ordem um dos termos
    da sucess\~ao $\{x_k\}$ estar\'a suficientemente pr\'oximo de $x^*$. Esse termo desempenhar\'a
    o papel de $x^0$ no teorema que enunci\'amos no par\'agrafo anterior. Como vimos na al\'{\i}nea \ref{b},
$f^\prime$ \'e cont\'{\i}nua \`a Lipschitz num intervalo fechado que cont\'em
$x^*$ e $f^\prime (x^*) \neq 0$.

Estando nas condi\c c\~oes do teorema da converg\^encia local do m\'etodo de Newton
podemos ent\~ao afirmar que a sucess\~ao $\{x_k\}$ converge para $x^*$ com
 taxa de converg\^encia  quadr\'atica.

 Converg\^encia quadr\'atica significa que existe um escalar $c$ tal que
    $$
    | x_{k+1} - x_* | \leq c | x_k - x_* |^2, \mbox{ para todo } k \in \Nat.
    $$

    \end{enumerate}

\end{document}
