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| Lição nº 1 13/09/2005 |
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| Apresentação do programa. Início da revisão de matéria de Álgebra. Corpos, anéis, ideais, homomorfismos. |
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| Lição nº 2 14/09/2005 |
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| Continuação da aula anterior. Exemplos de anéis e ideais. Ideal gerado por um conjunto. Operações com ideais. |
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| Lição nº 3 20/09/2005 |
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| Definição de anel quociente. Propriedades e exemplos. Máximos divisores comuns e menores múltiplos comuns. Sua relação com a soma e a intersecção de ideais. Anéis polinomiais. Definições e exemplos. Ideais principais e não principais. Exemplos. |
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| Lição nº 4 28/09/2005 |
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| Ideais primos e ideais maximais. Definições e primeiros exemplos. Conjuntos parcialmente ordenados. Cadeias. Diagramas de coberturas. Elementos maximais. Máximo. Exemplos. |
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| Lição nº 5 29/09/2005 |
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| Critério de maximalidade. I é maximal sse A/I é corpo. Cadeias maximais num conjunto parcialmente ordenado. Existência de cadeias maximais. Exemplos: casos finitos; (N,<=); (N,|). Princípio de Hausdhorff. | ||
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| Lição nº 6 06/10/2005 |
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Equivalência de diversos enunciados: Princípio de Hausdorff, da cadeia maximal; Lema de Zorn; axioma da escolha. Demonstração de que o L.Zorn implica a existência de ideais maximais em anéis comutativos com identidade. Nota. Os sumários das aulas T-Ps passarão a ser escritos na mesma sequência que os das aulas Ts, para melhor enquadramento. |
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| Lição nº 7 12/10/2005 |
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| Boa ordenação; exemplos. Ilustração do princípio da boa ordenação. O princípio da boa ordenação e sua equivalência ao axioma da escolha. Demonstração da existência de ideias maximais. |
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| Lição nº 8 13/10/2005 |
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| O nilradical de um anel: Nil(A). Demonstração de que o nilradical é a intersecção de todos os ideais primos. Exemplos (Z e Z_n). | ||
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| Lição nº 9 19/10/2005 |
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| Resolução de problemas envolvendo o anel Zn: determinação do nilradical; os ideais de Z_n e seus geradores. | ||
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| Lição nº 10 20/10/2005 |
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| Continuação da resolução de problemas. Definição de radical de um ideal; demostração de propriedades elementares. |
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| Lição nº 11 26/10/2005 |
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| Aula teórico prática: resolução de exercícios; propriedades do radical de um ideal. Produto de dois ideais. O radical da soma e o radical do produto de dois ideiais. |
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| Lição nº 12 27/10/2005 |
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| Domínios de factorização única. Elementos primos e irredutíveis. Teorema de Gauss. Referência à possibilidade de diagonalizar matrizes sobre um domínio de ideais principais. | ||
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| Lição nº 13 03/11/2005 |
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| Homomorfismos de módulos. Submódulos. Núcleo e imagem. Operações com módulos: produto cartesiano e soma de módulos. Definição de soma directa (através do 'critério de representação única'). Demonstração de que dois submodulos são parcelas directas sse têm intersecção nula. Exemplos. | ||
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| Lição nº 14 02/11/2005 |
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| Demonstração de que o radical de um ideal é a intersecção de todos os ideais primos que o cemtêm. Problema: determinação do radical duma intersecção. Introdução à teoria dos módulos. Primeiras definições e exemplos: ideais, A^n, anéis polinomiais, o K[x]-módulo induzido por uma aplicação linear. Caso dos espaços vectoriais. |
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| Lição nº 15 09/11/2005 |
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| Problemas sobre elementos primos e elementos irredutíveis. Exemplos de domínios de factorização única (DFU). Exemplos de domínios que não são DFU: o anel I das funções inteiras complexas e o anel Z[\sqrt(-5)]. Os invertíveis de I. Referência a teoremas importantes da análise complexa (o do anulamento de funções analíticas, a factorização infinita, etc). Definição e algebrização do quociente de um módulo por um seu submódulo. |
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| Lição nº 16 10/11/2005 |
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| Algebrização do quociente dum módulo por um seu submódulo (conclusão). Exemplos de quocientes extraídos da geometria: os subespaços de E_3 e suas dimensões; quociente de E_3 por um plano que passe pela origem. Demonstração do primeiro teorema de isomorfismo de Noether: Im f~M/ker f. |
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| Lição nº 17 16/11/2005 |
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| Exemplos de quocientes. Demonstração de dois teoremas de isomorfismo: 1. Se K submódulo de N submódulo de M, então (M/K)/(N/K)~M/N 2. Se M1 e M2 são submódulos de M, então (M1+M2)/M2~M1/(M1\cap M2). Conjuntos (finitos) livres, ou linearmente independentes. Submódulo gerado por um conjunto (finito). Bases. Exemplos (Z e Zn). |
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| Lição nº 18 17/11/2005 |
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| Módulos gerados por um conjunto finito. Módulos livres. Teorema de apresentação de módulos finitamente gerados. O caso de bases infinitas (sem demonstrações). Exemplos: Z_n e A[x]. Início do tópico "condições de cadeia". Cadeias de subespaços de espaços vectoriais. |
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| Lição nº 19 23/11/2005 |
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| Condições de cadeia (ascendente e descendente) em conjuntos parcialmente ordenados. Equivalência à existência de meximais em cada subconjunto. Caso dos espaços vectoriais de dimensão finita (cadeias maximais e dimensão). Caso da dimensão infinita. Anéis noetherianos e artinianos. Exemplos. Demonstração de que um anel é noetheriano sse todo o ideal é finitamente gerado. | ||
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| Lição nº 20 24/11/2005 |
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| Módulos noetherianos. Definição. Exemplos de noetherianos e de não noetherianos. Demonstração de que um módulo é noetheriano sse todos os seus submódulos são finitamente gerados. | ||
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| Lição nº 21 30/11/2005 |
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| Propriedades dos módulos noetherianos: 1. Todo o submódulo dum m.n. é noetheriano. 2. Toda a imagem homomórfica dum m.n. é noetheriana. 3. O produto cartesiano de módulos n. é noetheriano. Demonstração do teorema da base, de Hilbert e Noether: se A é anel noetheriano, A[x] também é. |
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| Lição nº 22 06/12/2005 |
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| AUla de 3 horas. Demonstração de que o produto de módulos noetherianos é noetheriano. Resolução de problemas sobre anéis e módulos noetherianos, e sobre domínios de factorização única. |
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| Lição nº 23 07/12/2005 |
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| Sistemas de equações algébricas; conjuntos de soluções; variedades algébricas. Exemplos. O conceito abstracto de topologia: definição e exemplos clássicos. Prova de que as variedades constituem os fechados duma topologia (a topologia de Zariski). Todo o sistema de equações polinomiais é equivalente a um subsistema finito. Resolução de problemas sobre módulos e anéis noetherianos. |
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| Lição nº 24 14/12/2005 |
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| Ideal anulador de uma variedade algébrica: I(V). Demonstração de que o radical de um ideal J de K[X] está contido no anulador de V(J). Enunciado do Teorema dos Zeros de Hilbert: num corpo algebricamente fechado, rad(J)=IV(J). Exemplos de ilustração do TZH. Variedades redutíveis e irredutíveis. Demonstração de que uma variedade é irredutível sse o seu anulador é primo. Exemplos num corpo algebricamente fechado. |
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| Lição nº 25 15/12/2005 |
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| Demonstração de que toda a variedade algébrica é união finita de variedades irredutíveis. Referência à unicidade. Exemplos e resolução de problemas: irredutibilidade de variedades conhecidas (rectas, planos, cónicas, quádricas). Referência especial ao caso da hipérbole (caso complexo e caso real). Fim do semestre. |
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O Professor,
Eduardo Marques Sá