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| Lição nº 1 13/09/2005 |
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| Algumas informações sobre a disciplina de Análise Matemática III: programa, método de avaliação e bibliografia. Indicação da página da Internet na qual poderão ser consultados todos os elementos relevantes para esta disciplina: www.mat.uc.pt/~adsg. 1 Cálculo diferencial em R^n. 1.1 Produto interno, norma e métrica em R^n. Definição. Algumas observações. 1.2 Algumas noções topológicas em R^n. Definição de bola aberta. |
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| Lição nº 2 15/09/2005 |
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| 1.2 Algumas noções topológicas em R^n. Definições de bola fechada, vizinhança, conjunto limitado, ponto interior, ponto exterior, ponto fronteiro, interior, exterior, fronteira, fecho, conjunto aberto, conjunto fechado, ponto de acumulação, derivado e ponto isolado. Algumas observações. 1.3 Funções reais definidas em R^n. Limites e continuidade. Algumas propriedades das funções contínuas. Domínio, contradomínio e gráfico de funções reais definidas em R^n. |
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| Lição nº 3 20/09/2005 |
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| 1.3 Funções reais definidas em R^n. Limites e continuidade. Algumas propriedades das funções contínuas. Definições de curva de nível, limite de uma função num ponto, limite direccional de uma função num ponto, segundo uma direcção e um sentido e limite trajectorial de uma função num ponto. Alguns resultados envolvendo esses conceitos. Um teorema sobre os limites de somas, produtos e quocientes de funções e sobre o limite do produto de um escalar por uma função. |
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| Lição nº 4 22/09/2005 |
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| 1.3 Funções reais definidas em R^n. Limites e continuidade. Algumas propriedades das funções contínuas. Definição de função contínua num ponto. Algumas propriedades das funções contínuas. 1.4 Derivação parcial Definições de derivada parciais de primeira ordem e de ordem superior a um. Exemplos. 1.5 Mudança na ordem de derivação Teorema de Schwarz. |
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| Lição nº 5 27/09/2005 |
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| 1.6 Significado geométrico das derivadas parciais de primeira ordem. 1.7 Funções diferenciáveis e diferencial de uma função. Definição de função diferenciável num ponto. Condições necessárias de diferenciabilidade. Exemplos. |
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| Lição nº 6 29/09/2005 |
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| 1.7 Funções diferenciáveis e diferencial de uma função. Condições suficientes de diferenciabilidade. Exemplos. |
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| Lição nº 7 04/10/2005 |
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| 1.7 Funções diferenciáveis e diferencial de uma função. Definição de: diferencial de uma função, num ponto, segundo um vector; diferencial total de uma função, num ponto e acréscimo de uma função, num ponto. Algumas relações entre esses conceitos. Exemplos. 1.8 Regras de derivação das funções compostas. Um teorema relativo a duas funções reais de uma variável real e uma função real de duas variáveis reais. Exemplo. Realização do primeiro miniteste. |
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| Lição nº 8 06/10/2005 |
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| 1.8 Regras de derivação das funções compostas. Um teorema sobre três funções reais de duas variáveis reais. Exemplo. 1.9 Generalização de alguns resultados anteriores a funções definidas em R^n e com valores em R^m. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana. Divergência e rotacional. Os conceitos de limite e de continuidade para funções definidas em R^n e com valores em R^m. Definição de derivada direccional. Uma regra de cálculo da derivada direccional, para funções diferenciáveis. |
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| Lição nº 9 11/10/2005 |
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| 1.9 Generalização de alguns resultados anteriores a funções definidas em R^n e com valores em R^m. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana. Divergência e rotacional. Definição de gradiente, matriz jacobiana, jacobiano e divergência. Um resultado sobre o valor máximo da derivada direccional, num ponto interior do domínio, de uma função diferenciável nesse ponto, segundo vectores unitários. |
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| Lição nº 10 13/10/2005 |
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| 1.9 Generalização de alguns resultados anteriores a funções definidas em R^n e com valores em R^m. Derivada direccional; gradiente e matriz jacobiana. Divergência e rotacional. Definição de rotacional. Um resultado sobre derivadas de composições de funções vectoriais. 1.10 Derivadas direccionais de ordem superior à primeira, para funções vectoriais. Fórmula de Taylor. Definição e cálculo da derivada direccional de segunda ordem. |
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| Lição nº 11 18/10/2005 |
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| 1.10 Derivadas direccionais de ordem superior à primeira, para funções vectoriais. Fórmula de Taylor. Definição e cálculo da derivada direccional de ordem superior à primeira. Exemplos. Fórmula de Taylor. 1.11 Funções implícitas. Funções definidas explicitamente e funções definidas implicitamente - definição e alguns exemplos. |
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| Lição nº 12 20/10/2005 |
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| 1.11 Funções implícitas. Um teorema sobre a existência de funções definidas implicitamente em vizinhanças convenientes de determinados pontos. Um teorema sobre as derivadas de funções definidas implicitamente. Exemplos. |
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| Lição nº 13 27/10/2005 |
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| 1.11 Funções implícitas. Derivadas de funções definidas implicitamente - exemplos (conclusão). Derivada da função inversa a partir de funções definidas implicitamente e de funções compostas. Miniteste nº 2. |
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| Lição nº 14 03/11/2005 |
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| 1.12 Plano tangente e recta normal a uma superfície. Equações do plano tangente e da recta normal a uma superfície. 1.13 Optimização de funções reais de n variáveis reais. 1.13.1 Extremos livres. Definição de extremos locais e absolutos. Teorema sobre a existência de extremos absolutos para funções contínuas em domínios fechados e limitados. Teoremas sobre condições necessárias para a existência de extremos locais em pontos interiores do domínio de funções diferenciáveis. Definição de ponto estacionário e ponto sela. |
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| Lição nº 15 08/11/2005 |
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| 1.13 Optimização de funções reais de n variáveis reais. 1.13.1 Extremos livres. Teoremas sobre condições suficientes para a existência de extremos locais em pontos estacionários. |
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| Lição nº 16 10/11/2005 |
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| 1.13 Optimização de funções reais de n variáveis reais. 1.13.1 Extremos livres. Exemplos de aplicação dos teoremas sobre condições suficientes para a existência de extremos locais em pontos estacionários e ainda da definição desses extremos. 1.13.1 Extremos condicionados. Definição de extremo condicionado. |
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| Lição nº 17 15/11/2005 |
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| 1.13 Optimização de funções reais de n variáveis reais. 1.13.1 Extremos condicionados. Abordagem teórica dos casos de definição implícita e de definição explícita, usando as restrições, de algumas variáveis em função de outras variáveis. Método dos Multiplicadores de Lagrange. Exemplos. |
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| Lição nº 18 17/11/2005 |
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| 1.14 Funções homogéneas. Teorema de Euler. Definição de função homogénea e positivamente homogénea de um determinado grau. Exemplos Teorema de Euler para funções positivamente homogéneas. 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.1 Equações diferenciais ordinárias. Definição de: equação diferencial ordinária e de solução de uma equação diferencial. Miniteste 3. |
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| Lição nº 19 22/11/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.1 Equações diferenciais ordinárias. Definição de soluções gerais, particulares e singulares de uma equação diferencial. Exemplos Problema de condições iniciais ou de Cauchy. 2.2 Equações diferenciais, ordinárias e lineares. Definição de: equação diferencial, ordinária, linear e de ordem n, equação de coeficientes constantes e equação homogénea. Exemplos. Um teorema de existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy, no caso das equações lineares. Observações e exemplos. |
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| Lição nº 20 24/11/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.2 Equações diferenciais, ordinárias e lineares. Um teorema sobre a relação entre soluções gerais de uma equação completa e soluções gerais da correspondente equação homogénea. Um exemplo envolvendo uma equação linear de 1ª ordem. 2.3 Equações lineares, homogéneas e de ordem n. Wronskiano. Um teorema sobre a estrutura de espaço vectorial real do conjunto N das soluções de uma equação linear, homogénea e de ordem n e sobre a existência de um isomorfismo entre R^n e N. Dimensão de N. Definição de sistema fundamental de soluções (SFS) e de Wronskiano. Relação um SFS e um determinado Wronskiano. 2.4 Equação linear, completa e de ordem n. Método de Lagrange ou de variação das constantes arbitrárias. Alguns resultados preliminares. |
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| Lição nº 21 29/11/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.4 Equação linear, completa e de ordem n. Método de Lagrange ou de variação das constantes arbitrárias. Método de Lagrange - exposição e exemplos. 2.5 Equação linear, homogénea, com coeficientes constantes e de ordem n. Definição de: equação com coeficientes constantes, polinómio característico, operador derivado e operador polinomial. |
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| Lição nº 22 06/12/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.5 Equação linear, homogénea, com coeficientes constantes e de ordem n. Algumas noções sobre funções complexas. Relação entre raízes do polinómio característico e soluções da equação linear, homogénea, com coeficientes constantes e de ordem n. Determinação do integral geral desse tipo de equação. 2.6 Equacão linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Método do polinómio anulador. Determinação do integral geral de uma equacão linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n, usando o método de Lagrange. |
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| Lição nº 23 13/12/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.6 Equacão linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Método do polinómio anulador. Definição de polinómio anulador. Polinómio anulador de uma soma defunções. Método do polinómio anulador. Exemplos. 2.7 Equacão linear, completa e de ordem n. Método de D'Alembert ou de abaixamento de ordem. Um primeiro ciclo de substituições do método de D'Alembert. |
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| Lição nº 24 15/12/2005 |
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| 2 Equações diferenciais de ordem n. 2.7 Equacão linear, completa e de ordem n. Método de D'Alembert ou de abaixamento de ordem. Conclusão da exposição do método de D'Alembert. Exemplos. Realização de um inquérito pedagógico. Miniteste 4. |
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| Lição nº 25 20/12/2005 |
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| Exercícios de revisão. Esclarecimento de algumas dúvidas dos alunos. |
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O Professor,
Armando Gonçalves