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| Lição nº 1 13/09/2005 |
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| Considerações básicas sobre o funcionamento da disciplina: programa, bibliografia, avaliação. Cap.0 - Introdução à teoria das probabilidades. 1. Breve nota histórica. 2. Teoria elementar das probabilidades: teoria clássica de Laplace; teoria frequencista. |
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| Lição nº 2 15/09/2005 |
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| Cap. 1 - Espaços de probabilidade. 1. Modelação de uma experiência aleatória: espaço fundamental; caracterização do espaço dos acontecimentos; regras de composição entre acontecimentos; limite de uma sucessão de acontecimentos. Limites das sucessões monótonas de acontecimentos. |
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| Lição nº 3 20/09/2005 |
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| Conclusão do sumário da lição anterior. Tribo de acontecimentos. Espaço probabilizável. Espaço de probabilidade de Kolmogorov. O modelo de Kolmogorov e o modelo clássico de Laplace. 2.Propriedades de uma probabilidade: probabilidade do acontecimento impossível, aditividade e monotonia de uma probabilidade. |
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| Lição nº 4 22/09/2005 |
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| 2. Propriedades de uma probabilidade: teorema de Poincaré. desigualdade de Boole, sub-sigma aditividade. Continuidade monótona ascendente de uma probabilidade. Continuidade monótona descendente de uma probabilidade. Teorema de caracterização de uma probabilidade. | ||
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| Lição nº 5 27/09/2005 |
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| Conclusão do sumário da lição anterior. 3. Probabilidade condicionada por um acontecimento. Introdução e motivação. Definição e primeiras consequências. Propriedades da probabilidade condicionada: teorema da probabilidade composta. |
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| Lição nº 6 29/09/2005 |
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| Propriedades da probabilidade condicionada: teoremas da probabilidade total e de Bayes. 4. Independência estocástica de acontecimentos. Motivação; definição de independência de dois acontecimentos e sua caracterização. Exemplo de aplicação. Independência e incompatibilidade. |
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| Lição nº 7 04/10/2005 |
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| Independência estocástica de um qualquer número finito de acontecimentos. Definição e principais consequências; teorema de caracterização. Independência estocástica de uma família numerável de acontecimentos. Definição e principais consequências. Exemplo de aplicação da independência estocástica de acontecimentos. |
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| Lição nº 8 06/10/2005 |
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| Cap.2 - Variáveis aleatórias reais e leis de probabilidade sobre IR. 1. Introdução e definições de base. Espaço de probabilidade induzido por uma variável aleatória real (v.a.r.). 2. Função de distribuição de uma v.a.r.: definição e principais propriedades. |
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| Lição nº 9 11/10/2005 |
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| 2. Conclusão do sumário da lição anterior. Caracterização de uma lei de probabilidade sobre IR pela sua função de distribuição (f.d.). Conjunto de pontos de descontinuidade da função de distribuição. 3. Classificação das leis de probabilidade sobre IR. Leis discretas. Caracterização, função de probabilidade. |
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| Lição nº 10 13/10/2005 |
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| 3. Classificação de leis de probabilidade sobre IR . Conclusão do sumário da lição anterior. Função de distribuição de uma lei discreta. Exemplos de leis discretas: lei de Dirac, lei de Bernoulli e lei binomial. |
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| Lição nº 11 18/10/2005 |
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| 3. Classificação de leis de probabilidade sobre IR (continuação). Lei de Poisson. Análise de alguns casos práticos relativos a leis discretas. Leis difusas. Definição e caracterização. Leis absolutamente contínuas. Função densidade de probabilidade. |
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| Lição nº 12 20/10/2005 |
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| Leis absolutamente contínuas. Caracterização de uma lei absolutamente contínua pela sua função de distribuição. Exemplos de leis absolutamente contínuas. Lei uniforme sobre um intervalo real limitado (a,b). Lei normal - definição e existência. |
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| Lição nº 13 25/10/2005 |
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| Lei normal (cont.) - Estabilidade das leis normais pelas transformações lineares afins. Simetria da lei normal. A lei normal centrada e reduzida. Aplicações práticas do estudo da lei normal. Leis mistas - definição e decomposição de Lebesgue. Exemplo de aplicação. |
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| Lição nº 14 27/10/2005 |
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| 4. Parâmetros de localização e de dispersão. Esperança matemática de uma v.a.r. discreta. Motivação, definição e existência. Exemplo de uma lei discreta sem esperança matemática. Esperança matemática das leis binomial e de Poisson. Esperança matemática de uma v.a.r. absolutamente contínua. Definição e existência. A lei de Cauchy como uma lei sem esperança matemática. |
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| Lição nº 15 03/11/2005 |
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| Esperança matemática da lei normal. Esperança matemática de uma v.a.r. de lei mista. Definição, existência e exemplo de aplicação. Esperança matemática de uma função de uma v.a.r.. Exemplos de aplicação. Propriedades da esperança matemática. |
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| Lição nº 16 08/11/2005 |
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| Teste de avaliação. | ||
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| Lição nº 17 10/11/2005 |
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| Propriedades dos momentos de uma v.a.r.. Mediana de uma lei de probabilidade sobre IR. Definição e principais consequências. |
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| Lição nº 18 15/11/2005 |
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| Quantis. Definição e principais consequências. Alguns quantis particulares (mediana, quartis, percentis,...). Exemplos de aplicação. Cap. III - Vectores aleatórios reais- Leis de probabilidade sobre IRn. 1. Generalidades sobre vectores aleatórios reais (ve.a.r.)de dimensão n: definição, variáveis marginais, lei de probabilidade de um ve.a.r., leis de probabilidade marginais. |
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| Lição nº 19 17/11/2005 |
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| 2. Função de distribuição de uma lei de probabilidade sobre IRn absolutamente contínua. Definição e propriedades. 3. Variáveis aleatórias reais independentes. Definição e primeiras consequências. Teorema de caracterização da independência de variáveis aleatórias reais. |
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| Lição nº 20 22/11/2005 |
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| Conclusão do sumário da lição anterior. 4. Classificação das leis de probabilidade sobre IRn. Leis discretas: definição e caracterização pela função de probabilidade. Leis marginais de um ve.a.r. discreto. Caracterização da independência de variáveis aleatórias reais discretas. Leis difusas e absolutamente contínuas. Densidade de probabilidade sobre IRn. Leis marginais de um ve.a.r. absolutamente contínuo. |
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| Lição nº 21 24/11/2005 |
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| Conclusão do sumário da lição anterior. Função de distribuição de uma lei de probabilidade sobre IRn absolutamente contínua. Caracterização da independência de variáveis aleatórias reais absolutamente contínuas. | ||
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| Lição nº 22 29/11/2005 |
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| 5. Momentos de vectores aleatórios reais. Esperança matemática de um vector aleatório real (ve.a.r.) e de uma função real de um ve.a.r.. Covariância entre duas variáveis aleatórias reais. Definição e existência. Desigualdade de Cauchy-Shwarz no espaço das v.a.r. com momento de 2ª ordem finito. Propriedades da covariância entre duas v.a.r.. |
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| Lição nº 23 06/12/2005 |
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| Coeficiente de correlação. Definição, existência e propriedades. Matriz de variâncias e covariâncias. Definição, existência e propriedades. Esperança matemática do produto de v.a.r. independentes. Exemplo de aplicação. |
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| Lição nº 24 13/12/2005 |
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| Cap. IV - Função característica e aplicações. 1. Variáveis aleatórias de valores complexos. 2.Função característica de um vector aleatório real. 3. Exemplos de funções características. Função característica das leis binomial e normal centrada e reduzida. 4. Propriedades da função característica. Função característica de uma transformação afim de uma v.a.r.. Função característica de uma qualquer lei normal. 5. Função característica e independência de variáveis aleatórias reais. Função característica da soma de variáveis aleatórias reais independentes. |
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| Lição nº 25 15/12/2005 |
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| Estabilidade das leis binomial, de Poisson e normal. 6. A função característica e os momentos de uma variável aleatória real. Algumas aplicações do estudo da função característica. |
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| Lição nº 26 20/12/2005 |
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| Algumas aplicações do estudo dos vectores aleatórios e da função característica. Resolução dos exercícios 7 da folha 8 e do exercício 9 da folha 6. | ||
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O Professor,
Nazaré Lopes