Equações Diferenciais e Modelação Sumários da turma Teórica 1 2005 / 2006         Lição nº 1 12/09/2005   Apresentação. Considerações gerais sobre a disciplina e indicação da bibliografia e método de avaliação. Motivação para o estudo da teoria das equações diferenciais: referência a exemplos ilustrativos com ligação a problemas do "mundo real".       Lição nº 2 15/09/2005   Equações diferenciais: algumas noções básicas. Noção de solução de uma equação diferencial ordinária (EDO). Soluções explícitas e soluções implícitas. Comentários relativos às noções de solução geral, família de soluções e soluções particulares e singulares a respeito de uma família de soluções. Alguns aspectos geométricos na teoria das equações diferenciais: campos de direcção. Exemplos.       Lição nº 3 19/09/2005   Campos de direcção (cont.) e curvas isoclínicas. Exemplos. Equações de variáveis separáveis. Exemplo de aplicação envolvendo uma equação logística. Interpretação das soluções no caso de a equação descrever um processo de variação populacional       Lição nº 4 22/09/2005   Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Métodos do factor integrante e da variação das constantes arbitrárias. Exemplos envolvendo problemas de queda de corpos (modelo de Galileu) e a velocidade na queda das gotas de chuva (modelo de Stokes). Comentários acerca da possibilidade de resolver uma EDO de primeira ordem "invertendo" os papéis das variáveis dependente e independente. Exemplos.       Lição nº 5 26/09/2005   Algumas EDO's clássicas. Equações homogéneas, homográficas, de Bernoulli, de Riccati e de Clairault. Exemplos. Relação entre EDO de Riccati e EDO lineares de segunda ordem.       Lição nº 6 29/09/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Método de Euler. Exemplos e considerações acerca das limitações deste método numérico.       Lição nº 7 03/10/2005   Modelação matemática. Etapas do processo de modelação. Exemplos: desintegração radioactiva (datação de obras de arte), modelos de crescimento populacional (modelos de Malthus e de Verhulst--ou logístico) e lei do arrefecimento de Newton (este último desenvolvido na aula prática).       Lição nº 8 06/10/2005   Equações diferenciais lineares de ordem n. Definição e classificação. Motivações. Operador diferencial linear de ordem n. Estudo da EDO linear de ordem n homogénea: o espaço vectorial das soluções tem dimensão n.       Lição nº 9 10/10/2005   Estudo da EDO linear de ordem n homogénea (cont.). Noções de sistema fundamental de soluções (SFS) e de wrosnskiano. Propriedades do wronskiano. Critério de independência linear, `a custa do wronskiano, para soluções da EDO linear de ordem n homogénea. Exemplos. Propriedades básicas das soluções da EDO linear de ordem n completa. Noção de solução geral para este tipo de EDO.       Lição nº 10 13/10/2005   Estudo da EDO linear de ordem n (cont.). Métodos de d'Alembert (ou abaixamento de ordem) e de Lagrange (ou da variação dos das constantes arbitrárias). Exemplos.       Lição nº 11 17/10/2005   Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Determinação de sistemas fundamentais de soluções. Exemplos.       Lição nº 12 20/10/2005   Continuação do sumário da lição anterior.       Lição nº 13 24/10/2005   Realização da 1ª Frequência.       Lição nº 14 27/10/2005   Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes não homogéneas. Método do polinómio anulador. Exemplos.       Lição nº 15 31/10/2005   Transformada de Laplace. Definição e primeiros exemplos. Funções de ordem exponencial no infinito. Teorema de existência da transformada de Laplace para funções seccionalmente contínuas e de ordem exponencial no infinito.       Lição nº 16 03/11/2005   Propriedades da transformada de Laplace (linearidade, translação no domínio de frequência e derivada de uma transformada). Exemplos.       Lição nº 17 07/11/2005   Propriedades da transformada de Laplace (transformada da derivada, transformada de uma função periódica, Teorema de Heaviside). Exemplos.       Lição nº 18 10/11/2005   Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais. Exemplos.       Lição nº 19 14/11/2005   Introdução ao estudo dos sistemas de equações diferenciais ordinárias. Redução de uma equação diferencial (escalar) linear de ordem n, dada sob a forma normal, a um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos. Forma matricial para os sistemas lineares. Caso dos sistemas homogéneos: propriedades básicas e exemplos.       Lição nº 20 17/11/2005   Sistemas lineares homogéneos cuja matriz dos coeficientes é de entradas constantes. Teste de independência linear. Determinação de soluções à custa dos valores e vectores próprios da matriz do sistema. Exemplos.       Lição nº 21 21/11/2005   Determinação de soluções de sistemas lineares homogéneos à custa dos valores e vectores próprios da matriz dos coeficientes. Caso em que os valores próprios são complexos. Início do estudo no caso em que a multiplicidade dos valores próprios é superior a 1, por recurso à noção de exponencial de uma matriz. Exemplos.       Lição nº 22 24/11/2005   Realização da 2ª Frequência.       Lição nº 23 28/11/2005   Algorítmo para a determinação de n soluções linearmente dependentes de um sistema diferencial linear cuja matriz é de ordem n, à custa dos valores e vectores próprios generalizados da matriz. Exemplos. Noção de matriz fundamental de soluções de um sistema diferencial. Algumas propriedades das matrizes fundamentais de soluções. Fórmula de cálculo da exponencial de uma matriz à custa de uma matriz fundamental.       Lição nº 24 05/12/2005   Sistemas diferenciais lineares não homogéneos (fórmula geral das soluções obtida à custa do método da variação dos parâmetros). Exemplos. Teorema de existência e unicidade para um sistema diferencial linear (enunciado e demonstração).       Lição nº 25 12/12/2005   Teorema de existência e unicidade para um sistema linear (conclusão da demonstração). Algumas consequências envolvendo a exponencial matricial. Referência à importância do estudo dos teoremas de existência e unicidade de soluções para uma equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais), do ponto de vista das aplicações, em particular na aplicação dos métodos numéricos para resolução de equações diferenciais. Preenchimento de um inquérito pedagógico.       Lição nº 26 15/12/2005   Funções (vectoriais) lipschitzianas. Condição suficiente para que uma função vectorial seja lipschitziana (envolvendo as derivadas parciais da função). Teorema de existência e unicidade para um sistema diferencial não linear. Método das aproximações sucessivas de Picard (caso vectorial). Exemplos e contra-exemplos.       Lição nº 27 19/12/2005   Realização da terceira frequência. FIM DO CURSO TEÓRICO. O Professor, José Carlos Petronilho