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| Lição nº 1 19/09/2005 |
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| Apresentação. Introdução: EDPs; classificação e ordem. Equação de transporte: solução do problema de valor inicial. | ||
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| Lição nº 2 20/09/2005 |
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| Equação de Laplace: solução fundamental. Fórmula de representação para a equação de Poisson. Fórmulas do valor médio. | ||
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| Lição nº 3 26/09/2005 |
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| Converso do Teorema do valor médio. Princípio do máximo forte. Unicidade para a equação de Poisson. Regularidade das funções harmónicas. | ||
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| Lição nº 4 27/09/2005 |
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| Estimativas para as derivadas de funções harmónicas. Teorema de Liouville. Fórmula de representação em $R^n$. Analiticidade das funções harmónicas. | ||
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| Lição nº 5 03/10/2005 |
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| Desigualdade de Harnack. Função de Green: fórmula de representação e simetria. | ||
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| Lição nº 6 04/10/2005 |
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| Função de Green em $R^n_+$ e em $B(0,r)$; fórmula de Poisson e núcleo de Poisson. | ||
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| Lição nº 7 10/10/2005 |
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| Métodos de energia: unicidade para a equação de Laplace e princípio de Dirichlet. A equação do calor. Solução fundamental da equação do calor. | ||
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| Lição nº 8 11/10/2005 |
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| Formulas de representação para a solução da equação do calor: problema homegéneo e não-homogéneo. A bola "de calor". | ||
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| Lição nº 9 17/10/2005 |
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| Propriedade do valor médio para soluções da equação do calor. Princípio do máximo forte e unicidade. Princípio do máximo em $R^n$. | ||
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| Lição nº 10 18/10/2005 |
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| Equação do calor: unicidade para o problema de Cauchy; regularidade. Métodos de energia para a equação do calor: Unicidade para a frente e para trás. Equação das ondas: fórmula de D'Alembert. | ||
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| Lição nº 11 24/10/2005 |
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| Médias esféricas: soluções para a equação das ondas em dimensão 3, em dimensão 2 e em dimensão $n$ com $n$ ímpar. | ||
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| Lição nº 12 25/10/2005 |
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| Solução para a equação das ondas em dimensão $n$ com $n$ par. Solução do problema não homogéneo. Métodos de energia: unicidade e velocidade de propagação finita. | ||
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| Lição nº 13 31/10/2005 |
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| Método das características: derivação das EDO características. Condições de fronteira: pontos admissíveis. | ||
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| Lição nº 14 07/11/2005 |
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| Condição de ponto não-característico. Admissibilidade local, invertibilidade local e Teorema de existência local segundo o método das características. | ||
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| Lição nº 15 08/11/2005 |
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| A teoria de existência local pelo método das características no caso de equações lineares e quasi-lineares. As equações características para as leis de conservação e para as equações de Hamilton-Jacobi. Cálculo de variações para a equação de Hamilton-Jacobi: o sistema Hamiltoniano; equações de Euler-Lagrange. | ||
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| Lição nº 16 14/11/2005 |
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| A transformada de Legendre: dualidade entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano. Fórmula de Hopf-Lax. | ||
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| Lição nº 17 15/11/2005 |
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| Condição de Lipschitz para a fórmula de Hopf-Lax. Semiconcavidade. Solução fraca da equação de Hamilton-Jacobi dada pela fórmula de Hopf-Lax: unicidade. | ||
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| Lição nº 18 21/11/2005 |
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| Leis de Conservação: soluções integrais, condição de Rankine-Hugoniot, condição de entropia. Exemplos. | ||
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| Lição nº 19 28/11/2005 |
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| A fórmula de Lax-Oleinik. Soluções fracas; unicidade. O problema de Riemann. | ||
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| Lição nº 20 29/11/2005 |
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| Não houve aula por ausência de alunos. | ||
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| Lição nº 21 05/12/2005 |
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| Revisão sobre espaços de Sobolev: definições; teoremas de aproximação; teorema de extensão. | ||
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| Lição nº 22 06/12/2005 |
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| Revisão sobre espaços de Sobolev: teorema de traço; desigualdades de Sobolev. Teorema de compacidade de Rellich-Kondrachov. | ||
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| Lição nº 23 07/12/2005 |
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| Teoria das equações lineares elípticas de segunda ordem: definições; o teorema de Lax-Milgram; estimativas de energia; primeiro teorema de existência. | ||
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| Lição nº 24 12/12/2005 |
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| Segundo teorema de existência: a alternativa de Fredholm. Terceiro teorema de existência: espectro do operador L. Regularidade interior das soluções em H². | ||
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| Lição nº 25 13/12/2005 |
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| Regularidade interior em H², de ordem $m$ e infinita. | ||
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| Lição nº 26 19/12/2005 |
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| Regularidade até à fronteira em H², com ordem $m$ e infinita. Princípio do máximo fraco para operadores elípticos. | ||
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| Lição nº 27 20/12/2005 |
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| Lema de Hopf. Princípios do máximo forte. Desigualdade de Harnack. | ||
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O Professor,
Manuel Portilheiro