Teoria da Optimização (MM) Sumários da turma Teórica 1 2005 / 2006         Lição nº 1 29/09/2005   Apresentação.       Lição nº 2 29/09/2005   Introdução à Programação Linear (definição de combinação convexa, conjunto convexo, poliedro, solução básica, método Simplex).       Lição nº 3 13/10/2005   Método Primal-Simplex Formas gerais de escrever um programa linear: padrão e canónica. Conversão entre as duas formas de escritas de um programa linear (introdução de variáveis folga). Método Primal-Simplex e interpretação gráfica em R2. Determinação de uma primeira solução básica admissível: método das duas fases. Transformação de variáveis livres em restrições de não negatividade.       Lição nº 4 13/10/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 5 20/10/2005   Apresentação oral sobre o tema: multiplicadores de Lagrange (avaliação contínua). Método Simplex: forma matricial (definição de custo reduzido). Relação entre as colunas das variáveis folga e a base no quadro Simplex.       Lição nº 6 20/10/2005   Introdução à Dualidade da Programação Linear: probelmas duais simétricos. Intepretação do dual como majorantes do problema primal (de maximização). Relações entre as restrições (variáveis) do problema primal e as variáveis (restrições) do dual. Teorema da Dualidade Fraca da Programação Linear em problemas duais simétricos.       Lição nº 7 03/11/2005   Teoria da Dualidade da Programação Linear. Visualização da solução dual no quadro Simplex quando as restrições são do tipo Ax <= b Teorema da Complementariedade da Programação Linear. Método Dual Simplex.       Lição nº 8 03/11/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 9 10/11/2005   Capítulo 2: Teoria Poliedral. Algumas definições (poliedro, polítopo, combinação linear/cónica/afim/convexa). Involucro cónico/afim/convexo: definições, propriedade e exemplos. Método de eliminação de Fourirer-Motzkin: exemplificação e demonstração. Teoremas sobre a solubilidade de sistemas da forma Ax=b e Ax<=b. Lema: a soma de um involucro convexo com o involucro cónico (de conjunto finitos) é um poliedro.       Lição nº 10 10/11/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 11 17/11/2005   Capítulo 2: Teoria Poliedral. * Desigualdades válidas, cone polar, caracterização do cone polar. * Faces e vértices de um poliedro. Caracterização das faces e vértices em termos das desigualdades que definem o poliedro. * Propriedades sobre os vértices de um poliedro. * Relação entre o valor óptimo de uma função linear num poliedro e nos seus vértices.       Lição nº 12 17/11/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 13 24/11/2005   Apresentação oral sobre o tema: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear definida em Rn. (avaliação contínua). Capítulo 3: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear 3.1 - Minimização sem restrições * Introdução. * Algumas definições básicas e notação. * Condições de optimalidade de primeira e segunda ordem para a minimização de uma funçÕ real. * Generalização para funções definidas em Rn. 3.2 - Convexidade * Conceitos básicos: conjunto convexo, função convexa. * Condições de convexidade de primeira e segunda ordem. * Proposições sobre mínimos/minimizantes de uma função convexa definida num conjunto convexo.       Lição nº 14 24/11/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 15 30/11/2005   Capítulo 3: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear 3.3 - Minimização sujeita a restrições lineares de igualdade * Definição de direcção admissível. * Caracterização do conjunto de direcções admissíveis. * Parametrização do conjunto de soluções admissíveis. * Transformação do problema dado num problema equivalente sem restrições. * Condições necessárias de optimalidade de primeira ordem. * Condições necessárias de optimalidade de segunda ordem. * Condições suficientes de optimalidade de segunda ordem.       Lição nº 16 30/11/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 17 07/12/2005   Resolução de alguns problemas sobre minimização sujeita a restrições lineares de igualdade. (avaliação contínua) Capítulo 3: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear 3.4 - Minimização sujeita a restrições lineares de desigualdade * Definição de direcção admissível. * Caracterização do conjunto de direcções admissíveis. * Parametrização do conjunto de soluções admissíveis. * Condições necessárias de optimalidade de primeira ordem.       Lição nº 18 07/12/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 19 15/12/2005   Capítulo 3: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear 3.4 - Minimização sujeita a restrições lineares de desigualdade * Condições necessárias de optimalidade de segunda ordem. * Condições suficientes de optimalidade de segunda ordem. 3.5 - Minimização sujeita a restrições lineares de igualdade e desigualdade * Caracterização do conjunto de direcções admissíveis. * Condições necessárias de optimalidade de primeira ordem. * Condições necessárias de optimalidade de segunda ordem. * Condições suficientes de optimalidade de segunda ordem. 3.6 - Minimização sujeita a restrições não lineares de igualdade * Definição de arco admissível, vector tangente a uma superfície num ponto e plano tangente a uma superfície num ponto. * Definição de ponto regular de uma superfície. * Caracterização do plano tangente a uma superfície num ponto. * Particularização dos resultados obtidos no caso de restrições lineares.       Lição nº 20 15/12/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 21 21/12/2005   Capítulo 3: Condições de optimalidade para a minimização de uma função não linear 3.6 - Minimização sujeita a restrições não lineares de igualdade * Condições necessárias de optimalidade de primeira ordem. * Condições necessárias de optimalidade de segunda ordem. * Condições suficientes de optimalidade de segunda ordem. 3.7 - Minimização sujeita a restrições não lineares de igualdade e desigualdade * Definição de arco admissível, vector tangente a uma superfície num ponto e plano tangente a uma superfície num ponto. * Definição de ponto regular de uma superfície. * Caracterização do plano tangente a uma superfície num ponto. * Particularização dos resultados obtidos no caso de restrições lineares. * Condições necessárias de optimalidade de primeira ordem. * Condições necessárias de optimalidade de segunda ordem. * Condições suficientes de optimalidade de segunda ordem.       Lição nº 22 21/12/2005   Continuação da aula anterior.       Lição nº 23 21/12/2005   Capítulo 4: Introdução à análise de Pareto 4.1 - Motivação e alguns conceitos básicos 4.2 - Propriedade das soluções de Pareto no caso de variáveis contínuas 4.3 - Propriedade das soluções de Pareto no caso de variáveis discretas (diferenças relativamente ao caso contínuo) O Professor, José Luis Esteves dos Santos