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Lição nº 1 20/09/2005 |
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Bibliografia e progama da disciplina. |
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Lição nº 2 26/09/2005 |
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Definição e propriedades de medidas. Medida regular, medida de Borel, medida de Radon. |
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Lição nº 3 27/09/2005 |
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Definição de medida de Radon, a partir de medida de Borel regular restrita a um conjunto mensurável de medida finita. Enunciados de critérios de aproximação de medidas de conjuntos (critério de Carathéodory). Definição de função mensurável. |
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Lição nº 4 03/10/2005 |
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Propriedades das funções mensuráveis: soma, produto, módulo, minimo, máximo, ínfimo, supremo, limite inferior, limite superior e caraterização de função mensurável não negativa.
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Lição nº 5 04/10/2005 |
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Enunciado e demonstração do teorema de Lusin. |
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Lição nº 6 10/10/2005 |
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Enunciado e demonstração do teorema de Egoroff. Definição de integral de Lebesgue. |
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Lição nº 7 11/10/2005 |
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Enunciado e demonstração do lema de Fatou, teorema da convergência monótona de Beppo-Levi e teorema da convergência dominada. |
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Lição nº 8 17/10/2005 |
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Propriedades do integral de Lebesgue. |
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Lição nº 9 18/10/2005 |
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Medida produto. Teorema de Fubini. Medida de Lebesgue. |
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Lição nº 10 24/10/2005 |
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Continuação da aula anterior. Derivadas de medidas de Radon. |
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Lição nº 11 31/10/2005 |
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Integração de derivadas : teorema da diferenciação para medidas de Radon. Teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema da decomposição de Lebesgue-Besicovitch. Teorema da representação de Riesz. |
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Lição nº 12 07/11/2005 |
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Definição de norma, métrica e produto interno em espaços vectoriais. Definição de espaço de Banach e de espaço de Hilbert. Definição de funcional (ou forma linear contínua), espaço dual. Topologia fraca num espaço de Banach. Demonstração de que a topologia fraca é separada. Definição de convergência fraca de uma sucessão e propriedades da convergência fraca.
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Lição nº 13 08/11/2005 |
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Topologia forte e fraca em dimensão finita. Topologia fraca, conjuntos convexos. |
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Lição nº 14 21/11/2005 |
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Topologia fraca e operadores lineares. Topologia fraca*, injecção canónica. Demonstração de que a topologia fraca* é separada. Propriedades da convergência fraca*. Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki. Definição de espaço reflexivo. |
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Lição nº 15 22/11/2005 |
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Caracterização de espaço reflexivo (bola unitária fechada é compacta na topologia fraca). Demonstração de que um subespaço fechado de um espaço de Banach, munido da norma induzida, é reflexivo. Demonstração de que um espaço de Banach é reflexivo se e só se o seu dual é reflexivo. Demonstração de que um subconjunto convexo, fechado e limitado, de um espaço de Banach reflexivo, é compacto. Demonstração de que uma aplicação semi-contínua inferiormente e convexa, definida num subconjunto convexo e fechado de um espaço de Banach reflexivo, atinge um mínimo nesse conjunto. Definição de espaço métrico separável. Demonstração de que se o dual de um espaço de Banach é separável, então o espaço é também separável. Demonstração de que um espaço de Banach é reflexivo e separável se e só se o seu dual também é reflexivo e separável. Enunciados dos teoremas que relacionam a separabilidade com a possibilidade de identificar as topologias fracas, com topologias induzidas por métricas. |
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Lição nº 16 28/11/2005 |
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Demonstração de dois resultados de compacidade: i) toda a sucessão limitada num espaço de Banach reflexivo tem uma sucessão convergente na topologia fraca, ii) toda a sucessão limitada no dual de um espaço de Banach separável tem uma subsucessão convergente na topologia fraca*.
Espaços uniformemente convexos. Demonstração do teorema de Milman-Pettis. |
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Lição nº 17 29/11/2005 |
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Espaços Lp: definição, desigualdade de Holder, demonstração de que Lp é um espaço de Banach. |
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Lição nº 18 05/12/2005 |
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Demonstração dos seguintes resultados em espaços Lp: i) Lp é espaço reflexivo para p maior do que 1 e finito, ii) teorema da representação de Riesz, iii) densidade do espaço das funções contínuas com suporte compacto em Lp, para p finito e maior ou igual a 1, iv) Lp é separável para p finito e maior ou igual a 1. |
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Lição nº 19 06/12/2005 |
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Espaços Lp: definição do dual de L1 e propriedades do espaço Lp com p infinito.
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Lição nº 20 12/12/2005 |
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Definição de produto de convolução em Lp e propriedades. Definição de suporte de função de Lp. |
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Lição nº 21 13/12/2005 |
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Sucessões regularizantes: definição e exemplo. Aproximação de funções contínuas e de funções do espaço Lp por funções infinitamente diferenciáveis, usando sucessões regularizantes. Demonstração de que o espaço das funções com suporte compacto e derivadas contínuas de qualquer ordem é denso em Lp, para p maior ou igual a 1. |
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O Professor, Isabel Maria Narra de Figueiredo
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