Lição nº 1
20/09/2005
 
Bibliografia e progama da disciplina.

      Lição nº 2
26/09/2005
 
Definição e propriedades de medidas. Medida regular, medida de Borel, medida de Radon.

      Lição nº 3
27/09/2005
 
Definição de medida de Radon, a partir de medida de Borel regular restrita a um conjunto mensurável de medida finita. Enunciados de critérios de aproximação de medidas de conjuntos (critério de Carathéodory). Definição de função mensurável.

      Lição nº 4
03/10/2005
 
Propriedades das funções mensuráveis: soma, produto, módulo, minimo, máximo, ínfimo, supremo, limite inferior, limite superior e caraterização de função mensurável não negativa.

      Lição nº 5
04/10/2005
 
Enunciado e demonstração do teorema de Lusin.

      Lição nº 6
10/10/2005
 
Enunciado e demonstração do teorema de Egoroff.
Definição de integral de Lebesgue.

      Lição nº 7
11/10/2005
 
Enunciado e demonstração do lema de Fatou, teorema da convergência monótona de Beppo-Levi e teorema da convergência dominada.

      Lição nº 8
17/10/2005
 
Propriedades do integral de Lebesgue.

      Lição nº 9
18/10/2005
 
Medida produto. Teorema de Fubini. Medida de Lebesgue.

      Lição nº 10
24/10/2005
 
Continuação da aula anterior.
Derivadas de medidas de Radon.

      Lição nº 11
31/10/2005
 
Integração de derivadas : teorema da diferenciação para medidas de Radon. Teorema da decomposição de Lebesgue. Teorema da decomposição de Lebesgue-Besicovitch. Teorema da representação de Riesz.

      Lição nº 12
07/11/2005
 
Definição de norma, métrica e produto interno em espaços vectoriais. Definição de espaço de Banach e de espaço de Hilbert. Definição de funcional (ou forma linear contínua), espaço dual.
Topologia fraca num espaço de Banach. Demonstração de que a topologia fraca é separada. Definição de convergência fraca de uma sucessão e propriedades da convergência fraca.

      Lição nº 13
08/11/2005
 
Topologia forte e fraca em dimensão finita. Topologia fraca, conjuntos convexos.

      Lição nº 14
21/11/2005
 
Topologia fraca e operadores lineares. Topologia fraca*, injecção canónica. Demonstração de que a topologia fraca* é separada. Propriedades da convergência fraca*. Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki. Definição de espaço reflexivo.

      Lição nº 15
22/11/2005
 
Caracterização de espaço reflexivo (bola unitária fechada é compacta na topologia fraca). Demonstração de que um subespaço fechado de um espaço de Banach, munido da norma induzida, é reflexivo. Demonstração de que um espaço de Banach é reflexivo se e só se o seu dual é reflexivo. Demonstração de que um subconjunto convexo, fechado e limitado, de um espaço de Banach reflexivo, é compacto. Demonstração de que uma aplicação semi-contínua inferiormente e convexa, definida num subconjunto convexo e fechado de um espaço de Banach reflexivo,
atinge um mínimo nesse conjunto. Definição de espaço métrico separável.
Demonstração de que se o dual de um espaço de Banach é separável, então o espaço é também separável. Demonstração de que um espaço de Banach é reflexivo e separável se e só se o seu dual também é reflexivo e separável. Enunciados dos teoremas que relacionam a separabilidade com a possibilidade de identificar as topologias fracas, com topologias induzidas por métricas.

      Lição nº 16
28/11/2005
 
Demonstração de dois resultados de compacidade:
i) toda a sucessão limitada num espaço de Banach reflexivo tem uma sucessão convergente na topologia fraca,
ii) toda a sucessão limitada no dual de um espaço de Banach separável tem uma subsucessão convergente na topologia fraca*.

Espaços uniformemente convexos. Demonstração do teorema de Milman-Pettis.

      Lição nº 17
29/11/2005
 
Espaços Lp: definição, desigualdade de Holder, demonstração de que Lp é um espaço de Banach.

      Lição nº 18
05/12/2005
 
Demonstração dos seguintes resultados em espaços Lp:
i) Lp é espaço reflexivo para p maior do que 1 e finito,
ii) teorema da representação de Riesz,
iii) densidade do espaço das funções contínuas com suporte compacto em Lp, para p finito e maior ou igual a 1,
iv) Lp é separável para p finito e maior ou igual a 1.

      Lição nº 19
06/12/2005
 
Espaços Lp: definição do dual de L1 e propriedades do espaço Lp com p infinito.

      Lição nº 20
12/12/2005
 
Definição de produto de convolução em Lp e propriedades. Definição de suporte de função de Lp.

      Lição nº 21
13/12/2005
 
Sucessões regularizantes: definição e exemplo. Aproximação de funções contínuas e de funções do espaço Lp por funções infinitamente diferenciáveis, usando sucessões regularizantes.
Demonstração de que o espaço das funções com suporte compacto e derivadas contínuas de qualquer ordem é denso em Lp, para p maior ou igual a 1.


O Professor,
Isabel Maria Narra de Figueiredo