Processos Estocásticos (MM) Sumários da turma Teórica 1 2005 / 2006         Lição nº 1 19/09/2005   Apresentação. Generalidades sobre o curso: programa, bibliografia, sistema de avaliação. I. Introdução aos processos estocásticos Exemplos que motivam o estudo de famílias numeráveis e não numeráveis de variáveis aleatórias: passeio aleatório, processo de renovamento.       Lição nº 2 20/09/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Definição de processo estocástico. Leis de dimensão finita de um processo estocástico. Condições de consistência de Kolmogorov.       Lição nº 3 26/09/2005   I. Introdução aos processos estocásticos I.1 Processos gaussianos Complemento sobre a lei normal multidimensional. Definição e propriedades.       Lição nº 4 27/09/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Exemplos de aplicação.       Lição nº 5 03/10/2005   I.1 Processos gaussianos Definição de processo gaussiano. Exemplos. Processo de Wiener. I.2 Processos de segunda ordem Definição e exemplos. Ruídos brancos, médias móveis. Funções média e de covariância.       Lição nº 6 04/10/2005   I.3 Processos estacionários Processos fortemente e fracamente estacionários: definições e exemplos. Propriedades da função de autocovariância de um processo fracamente estacionário. I.4 Processos de acréscimos estacionários e processos de acréscimos independentes Definições e exemplos.       Lição nº 7 10/10/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Determinação das leis de dimensão finita de um processo de acréscimos estacionários e independentes. Exemplos de aplicação. Processo de Poisson homogéneo. Expressões analíticas das funções média e de covariância. I.5 Processos de Markov Definição e exemplos. O processo de Poisson homogéneo como um processo de Markov.       Lição nº 8 11/10/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Condições necessárias e suficientes para que um processo gaussiano seja de Markov. Aplicação ao processo de Wiener. Classificação dos processos de Markov. Breve comentário sobre as origens do processo de Wiener. O processo de Wiener como uma versão do passeio aleatório a tempo contínuo.       Lição nº 9 17/10/2005   II. Cadeias de Markov a tempo discreto II.1 Definição e primeiras propriedades Definição de cadeia de Markov homogénea. Matriz de probabilidades de transição. Exemplos: passeio aleatório, modelo de fila de espera a tempo discreto, processo de ramificação.       Lição nº 10 18/10/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Caracterização de uma cadeia de Markov homogénea. Consequências. Exemplos. II.2 Probabilidades de transição de ordem superior Probabilidades de transição a n-passos: definição e propriedades.       Lição nº 11 24/10/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Equações de Chapman-Kolmogorov. Distribuição da cadeia no instante n. Condição necessária e suficiente de estacionaridade forte. Noção de distribuição estacionária. Exemplos. Distribuição do tempo da primeira entrada num estado.       Lição nº 12 25/10/2005   II.2 Probabilidades de transição de ordem superior Distribuição do tempo da primeira entrada numa estado e suas propriedades. Exemplos. II.3 Classificação dos estados Estados recorrentes e estados transitórios. Estados recorrentes positivos e nulos. Condição necessária e suficiente de recorrência e suas consequências.       Lição nº 13 31/10/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Período de um estado. Estados periódicos e aperiódicos. II.4 Decomposição do espaço dos estados Relação de comunicação entre estados. Cadeias irredutíveis. Propriedades de solidariedade entre estados. Noção de conjunto fechado e sua relação com a recorrência. Aplicação ao caso das cadeias com um número finito de estados. Decomposição do espaço dos estados. Forma canónica da matriz de probabilidades de transição. Exemplos de aplicação.       Lição nº 14 07/11/2005   II.5 Probabilidades de absorção Probabilidade de absorção numa classe recorrente: definição e propriedades. Exemplo: cálculo da probabilidade de ruína de um jogador. II.6 Comportamento assintótico Comportamento assintótico da sucessão de matrizes de transição a n-passos. Consequências. Aplicações ao caso das cadeias com um número finito de estados.       Lição nº 15 08/11/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Existência e unicidade da distribuição estacionária de uma cadeia homogénea irredutível. Exemplos de aplicação. Teorema ergódico e suas consequências. Existência da distribuição assintótica de uma cadeia homogénea irredutível.       Lição nº 16 14/11/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Interpretação da distribuição assintótica. Exemplo de aplicação. Existência das distribuições estacionária e assintótica no caso das cadeias redutíveis. Exemplos. III. Cadeias de Markov atempo contínuo III.1 Definições e primeiras propriedades Cadeias de Markov homogéneas. Funções de probabilidade de transição e suas propriedades. Leis de dimensão finita da cadeia. Exemplos.       Lição nº 17 15/11/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Caracterização do processo de Poisson homogéneo como uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo. Descrição infinitesimal do processo. Equações diferenciais de Kolmogorov (regressivas e progressivas) para o processo de Poisson homogéneo.       Lição nº 18 21/11/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Resolução das equações regressivas. Distribuições associadas a um processo de Poisson homogéneo: distribuição dos tempos de chegada e dos tempos inter-chegada. Caracterização do processo em termos dos tempos inter-chegada.       Lição nº 19 22/11/2005   III. Cadeias de Markov a tempo contínuo III.2 Processos de nascimento puro Descrição infinitesimal do processo. Equações diferenciais de Kolmogorov. Exemplo de aplicação: processo de Yule-Furry. Equações diferenciais para as funções de probabilidade das variáveis do processo. Distribuições associadas a um processo de nascimento puro.       Lição nº 20 28/11/2005   III. Cadeias de Markov a tempo contínuo III.3 Cadeias de Markov com espaço de estados finito Descrição infinitesimal do processo. Gerador infinitesimal. Equações diferenciais de Kolmogorov. Descrição do processo em termos dos tempos de espera nos estados. Cadeia de Markov embebida. Exemplos de aplicação: processos de nascimento e morte.       Lição nº 21 29/11/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. III.4 Comportamento assintótico Definição de cadeia irredutível. Existência e unicidade da distribuição estacionária de uma cadeia irredutível. Equações de estado em regime de equilíbrio. Existência da distribuição assintótica e sua interpretação. Aplicação aos processos de nascimento e morte.       Lição nº 22 05/12/2005   Complemento sobre o processo de Poisson não homogéneo. Definição do processo. Função intensidade e função média. Caracterização da lei de probabilidade das variáveis do processo. Relação entre o processo de Poisson não homogéneo e processo de Poisson homogéneo. IV. Processos de renovamento IV.1 Definição e primeiras propriedades Definição de processo de renovamento. Sucessão dos instantes de renovamento. Exemplos.       Lição nº 23 06/12/2005   IV. Processos de renovamento IV.1 Definição e primeiras propriedades Complemento sobre convolução de leis de probabilidade. Obtenção da função de probabilidade das variáveis de um processo de renovamento. Exemplos. Função de renovamento. Tempo residual, tempo corrente e tempo total. IV.2 Propriedades da função de renovamento Equação do renovamento.       Lição nº 24 12/12/2005   Continuação do sumário da lição anterior. Resolução da equação do renovamento no caso em que a lei dos tempos entre renovamentos sucessivos pertence à família gama. Majorantes e minorantes para a função de renovamento. Teorema elementar do renovamento e suas consequências.       Lição nº 25 13/12/2005   Conclusão do sumário da lição anterior. Exemplo de aplicação. IV.3 Distribuição assintótica das variáveis do processo IV.4 Tempo residual, tempo corrente e tempo total Teorema fundamental do renovamento e suas consequências. Distribuição do tempo residual no processo de Poisson homogéneo. Distribuição assintótica do tempo residual no caso geral.       Lição nº 26 19/12/2005   IV. Processos de renovamento IV.4 Tempo residual, tempo corrente e tempo total Distribuição dos tempos corrente e total no processo de Poisson homogéneo. Distribuição assintótica dos tempos corrente e total no caso geral. Paradoxo da inspecção. Exemplo de aplicação.       Lição nº 27 20/12/2005   Resolução dos exercícios 78. e 80. a), b) da Folha 7 (processos de renovamento). O Professor, Ana Cristina Rosa