Lição nº 1
14/02/2006
 
Apresentação. Bibliografia, avaliação e programa. Motivação: continuidade em R.

      Lição nº 2
16/02/2006
 
Espaços métricos: definição e exemplos. Bola aberta. Conjuntos e funções limitadas.

      Lição nº 3
21/02/2006
 
Continuidade entre espaços métricos. Conjuntos abertos: definição, exemplos e caracterização de continuidade.

      Lição nº 4
23/02/2006
 
Espaços topológicos: definição e exemplos. Continuidade entre espaços topológicos. Espaços metrizáveis. Métricas topologicamente equivalentes.

      Lição nº 5
02/03/2006
 
Subconjuntos fechados. Aderência e interior. Caracterização da continuidade através da aderência. Funcões aberta e fechada.

      Lição nº 6
07/03/2006
 
Homeomorfismo. Topologia de subespaço. Topologia gerada e base de um espaço topológico.

      Lição nº 7
09/03/2006
 
Vizinhança de um ponto. Ponto isolado e de acumulação. Caracterização da aderência e do interior.

      Lição nº 8
14/03/2006
 
Topologia produto: exemplos, caracterização e estudo da continuidade.

      Lição nº 9
16/03/2006
 
Sucessões convergentes. Ponto aderente de uma sucessão. Espaços de Fréchet e Axioma de separação de Hausdorff.

      Lição nº 10
21/03/2006
 
Conexidade: definição, exemplos e resultados principais.

      Lição nº 11
23/03/2006
 
Conexidade: continuação. Conjuntos conexos por arcos. Componebtes conexas.

      Lição nº 12
28/03/2006
 
Espaços compactos: definição, caracterização e exemplos. Preservação da compacidade por funções contínuas. Teorema de Heine-Borel.

      Lição nº 13
30/03/2006
 
Teorema de Tychonoff. Espaços métricos totalmente limitados.
Sucessões de Cauchy e espaços métricos completos.

      Lição nº 14
04/04/2006
 
Caracterização dos espaços métricos compactos. Completude dos espaços l_p. Funções uniformemente contínuas.

      Lição nº 15
06/04/2006
 
Estudo da completude de espaços de funções. Completamento de espaços métricos.

      Lição nº 16
11/04/2006
 
Espaços vectoriais normados: definição e exemplos. Espaços de Banach. Métrica induzifda por uma norma. Operadores lineraes e operadores lineares limitados.

      Lição nº 17
20/04/2006
 
Normas topologicamente equivalentes. Norma de um operador limitado. Condição necessária e suficientes para a completude do espaço dos operadores limitados.

      Lição nº 18
27/04/2006
 
Exemplos de transformações lineraes. Séries convergentes e absolutamente convergentes.

      Lição nº 19
02/05/2006
 
Caracterização dos espaços normados completos. Espaços vectoriais normados induzidos por uma aplicação. Soma directa de espaços normados.

      Lição nº 20
04/05/2006
 
Espaços normados de dimensão finita.

      Lição nº 21
11/05/2006
 
Funcionais convexas. Teorema de Hahn-Banach.

      Lição nº 22
16/05/2006
 
Teorema de Hahn-Banach(continuação): aplicações.

      Lição nº 23
18/05/2006
 
Caracterização dos espaços normados de dimensão finita.
Espaços duais.

      Lição nº 24
23/05/2006
 
Teorema de Baire. Teorema da aplicação aberta. Teorema da função inversa. Teorema do gráfico fechado.

      Lição nº 25
25/05/2006
 
Espaços Euclidianos e de Hilbert: definições, exemplos e principais propriedades.

      Lição nº 26
30/05/2006
 
Subespaço ortogonal a um conjunto. Teorema de representação de Riesz.

      Lição nº 27
01/06/2006
 
Conjuntos ortogonais, ortonormados e completos. Séries de Fourier num espaço euclidiano. Identidades de Parseval e desigualdade de Bessel.


O Professor,
Gonçalo Gutierres da Conceição