Álgebra Linear e Geometria Analítica — Exame — 03/01/01

Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC

Duração: 2h

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere as matrizes:

B = [ \begin{matrix}1 & 0 & −3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] e C = [ \begin{matrix}10 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 30 \end{matrix} ] .

(a) Classifique as matrizes B e C.

(b) Calcule o produto BC, sem efectuar quaisquer cálculos, e através de dois raciocínios diferentes.

(c) Determine os valores próprios de B e de C.

(d) A matriz B é diagonalizável?

2. Sejam

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 1 \end{matrix} ] e y = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] .

(a) Calcule o produto Ay.

(b) Com base na alínea anterior, classifique o sistema de equações lineares Ax = b em que

b = [ \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ] .

(c) Resolva o sistema de equações lineares Ax = b, classificando-o.

(d) Determine uma base para o espaço nulo de A.

(e) Será possível escrever o vector y como combinação linear dos elementos da base determinada na alínea (d)?

(f) Qual é a característica da matriz A? E a nulidade?

(g) Escreva a factorização P A = LU da matriz A. v.s.f.f.

3. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras e indique um contra-exemplo para cada uma das afirmações falsas. (n e m designam números inteiros positivos.)

(a) Toda a matriz (quadrada) diagonalizável é invertível.

(b) Toda a matriz em escada em que o número de pivots é igual ao número de colunas é não singular.

(c) (Seja A ∈ M_{m×n}(ℝ) com m < n.) A dimensão do espaço das linhas é menor do que a dimensão do espaço das colunas.

(d) Se Q ∈ M_{n}(ℝ) é ortogonal, então o produto interno entre Qx e Qy é igual quaisquer que sejam x e y em ℝ^{n}.

(e) Um hiperplano em ℝ^{3} é um subespaço de dimensão 2.