Álgebra Linear e Geometria Analítica — Exame — 14/01/02 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC Duração: 2h30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Seja

A = [ \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ a_{21} & 2 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{matrix} ] ,

em que a_{21}, a_{23} e a_{32} designam números reais.

(a) Indique, se for possível, valores reais para a_{21}, a_{23} e a_{32} de forma a que a matriz A: i. tenha característica 1; ii. faça com que o correspondente sistema homogéneo tenha uma incógnita

livre; iii. torne possíveis e determinados todos os sistemas de equações lineares da

forma Ax = b para todos os vectores b em ℝ^{3}.

(b) Faça a_{21} = 0 e a_{23} = a_{32} = 1 e calcule a decomposição A = LDL^{⊤} da matriz A.

2. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] .

(a) Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados deste sistema.

(b) Com base no cálculo feito na alínea anterior, determine e represente geometri-

camente a recta de regressão linear correspondente aos pontos

(α_{1}, β_{1}) = (0, 0), (α_{2}, β_{2}) = (1, 1) e (α_{3}, β_{3}) = (2, 0). v.s.f.f.

3. Sejam u e v dois vectores ortogonais de ℝ^{n}.

(a) Mostre que

⟨u, αu + βv⟩ = α∥u∥^{2} e ⟨v, αu + βv⟩ = β∥v∥^{2},

em que α e β representam números reais.

(b) Suponha agora que os vectores u e v são ortogonais e não nulos. Mostre, recorrendo aos resultados da alínea anterior, que u e v são linearmente independentes.

4. Considere a matriz

A = [ \begin{matrix}4 & 0 & −5 \\ 0 & −1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{matrix} ] .

(a) Calcule A + I_{3} e, com base neste cálculo, indique um valor próprio de A.

(b) Determine todos os valores próprios de A.

(c) Calcule os espaços próprios associados aos valores próprios de A. (Nota: os valores próprios, considerados sem repetições, são −1 e 2.)

(d) Diga se A é diagonalizável e indique uma matriz diagonalizante.