Álgebra Linear e Geometria Analítica — Exame — 29/01/01

Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC

Duração: 2h

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Seja A = LU em que

L = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] e U = [ \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

(a) Calcule a inversa de L através do Algoritmo de Gauss-Jordan.

(b) Escreva U na forma DE_{23}(1), em que D é uma matriz diagonal.

(c) Com base no resultado da alínea anterior calcule a inversa de U.

(d) Sabendo que

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ] ,

resolva o sistema de equações lineares Ax = b em que b = [ 1 0 2 ]^{⊤}, através da resolução \underline{de apenas um} sistema de equações lineares com uma matriz triangular superior.

2. Sejam

A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] e b = [ \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ] .

(a) Classifique o sistema de equações lineares Ax = b.

(b) Determine uma base ortogonal para o espaço das colunas de A.

(c) Sem efectuar quaisquer cálculos, diga qual é a característica de A^{⊤}A. Classifique o sistema de equações lineares em que a matriz é A^{⊤}A e o termo independente é A^{⊤}b.

(d) Verifique que x̄ = [ −3 − 1/2 0 ]^{⊤} é uma solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema Ax = b.

(e) Qual é o ângulo que fazem os vectores [ 2 1 2 ]^{⊤} e b − Ax̄? Porquê? Faça os cálculos e confirme o resultado.

v.s.f.f.

3. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras e indique um contra-exemplo para cada uma das afirmações falsas. (n designa um número inteiro positivo.)

(a) Toda a matriz simétrica é diagonalizável.

(b) Se AB = 0, com A, B ∈ M_{2}(ℝ), então ou A tem uma linha de zeros ou B tem uma coluna de zeros.

(c) Se A ∈ M_{n}(ℝ) é singular, então A não tem valores próprios reais.

(d) Se três vectores de ℝ^{n} são linearmente dependentes, então ou um deles é o vector nulo ou dois deles são linearmente dependentes.

(e) Uma recta em ℝ^{3}, S_{1} = {p_{1}} + F_{1}, e um plano em ℝ^{3}, S_{2} = {p_{2}} + F_{2}, são paralelos se F_{2} ⊂ F_{1}.