Álgebra Linear e Geometria Analítica — Exame — 13/02/02

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC Duração: 2h15m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Seja

A = [ \begin{matrix}1 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 5 & 1 \\ 2 & 8 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Considere a igualdade

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 5 & 1 \\ 2 & 8 & 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & −3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −4 & −1 \end{matrix} ] .

Com base nesta igualdade e sem fazer quaisquer cálculos adicionais:

(a) indique as matrizes P, L e U de uma decomposição P A = LU;

(b) indique bases para os espaços das linhas e das colunas de A.

2. Seja

A = [ \begin{matrix}a_{11} & 0 & 2 \\ 0 & −1 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

em que a_{11} e a_{31} designam números complexos.

(a) Indique, se for possível, valores complexos para a_{11} e a_{31} de forma a que a matriz A seja: i. invertível, com elementos todos reais; ii. hermítica, com pelo menos um elemento complexo não real.

(b) Faça a_{11} = 0 e a_{31} = 2 e diga por que é que obtém uma matriz diagonalizável.

Calcule, depois, os seus valores próprios. v.s.f.f.

3. Sejam

A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] e b = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] .

(a) Mostre que b ∈ C(A).

(b) Sem efectuar quaisquer cálculos diga por que é que o vector x̄ ∈ ℝ^{2} que satisfaz A^{⊤}Ax̄ = A^{⊤}b também satisfaz Ax̄ = b.

(c) Determine uma base ortonormada de C(A).

4. Seja A uma matriz do tipo m × n com elementos reais, em que m e n são números inteiros positivos. Sejam x e y dois vectores de ℝ^{n}.

(a) Escreva A(x − y) como combinação linear das colunas de A.

(b) Que relação existe entre x e y quando nul(A) = 0 e Ax = Ay?