Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 0

O Conjunto dos Números Complexos

1. Escreva na forma algébrica:

(a) (3 − 2i)(4 + 5i) + (3 − 2i)(4 − 5i);  (b) (2 − i)(4 + 3i)(5 + 2i);  (c) \frac{3−2i}{4+3i};
(d) \frac{2−2i}{7+i} + \frac{3+4i}{2−3i};  (e) i^{4} − 3i^{3} + 4i^{2} + 2i − 6;  (f) (\frac{2i}{1+i})^{4} ;
(g) \frac{(3+2i)^{2}(1−3i)}{(3+i)(1+2i)} + \frac{1+i}{1−i};  (h) \frac{4+i}{4−i} + \frac{4−i}{4+i};  (i) \frac{3+2i}{(2+i)(3−2i)};
(j) ∑_{k=0}^{100} i^{k};  (k) (1 − 3i)^{−2};  (l) i^{2000}.

2. Determine z ∈ C que torna (6 − i)z um número real e 6 − i + z um imaginário puro.

3. Demonstre as seguintes propriedades dos números complexos:

(a) \overline{\overline{z}} = z;  (b) |\overline{z}| = |z|;  (c) | − z| = |z|;
(d) z + \overline{z} = 2 Re (z);  (e) z − \overline{z} = 2i Im (z);  (f) z\overline{z} = |z|^{2};
(g) \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w};  (h) \overline{−z} = −\overline{z};  (i) \overline{z.w} = \overline{z}.\overline{w};
(j) z^{−1} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} ;  (k) |z.w| = |z|.|w|;  (l) |\frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|}.

4. Mostre que \overline{[\frac{(3+7i)^{2}}{8+6i}]} = \frac{(3−7i)^{2}}{8−6i} .

5. Mostre que, se um número complexo λ for raiz de um polinómio p(z) com coeficientes reais, então \overline{λ} também é raiz de p(z).

6. Escreva os seguintes polinómios como produtos de factores de grau 1:

(a) z^{2} + 1; (b) z^{4} − 1; (c) z^{2} − 2z + 5.

7. Encontre dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 9.

8. Demonstre as seguintes propriedades do módulo de números complexos:

(a) |z + w|^{2} = |z|^{2} + 2 Re(z\overline{w}) + |w|^{2};  (b) |z − w|^{2} = |z|^{2} − 2 Re(z\overline{w}) + |w|^{2};
(c) |z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2(|z|^{2} + |w|^{2});  (d) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|;
(e) Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|;  (f) |z + w| ≤ |z| + |w|;

(g) ||z| − |w|| ≤ |z − w|.

9. Represente na forma trigonométrica os seguintes números complexos:

(a) − 5;  (b) 5i;  (c) − 2 − 2i;
(d) 1 + \sqrt{3}i;  (e) 3\sqrt{3} + 3i;  (f) (1 − i)(−1 + \sqrt{3}i);
(g) − 1 − i;  (h) \sqrt{3}/2 − i/2;  (i) − \sqrt{2} + i\sqrt{2}.

10. Escreva (\frac{1+i\sqrt{3}}{1−i\sqrt{3}})^{20} na forma algébrica.

11. Mostre que, para todo o n ∈ IN, se tem (\frac{1+i}{1−i})^{n} = cis(n\frac{π}{2}).

12. Determine e represente geometricamente:

(a) as raízes cúbicas de 1;  (b) as raízes cúbicas de − 1;
(c) as raízes quadradas de i;  (d) as raízes quartas de − 1;
(e) as raízes quartas de 2i;  (f) as raízes de índice n de 1.

13. Determine as raízes cúbicas de −\frac{8}{\sqrt{2}} + \frac{8}{\sqrt{2}} i e represente-as geometricamente.

14. Determine as quatro raízes da equação z^{4} + 4 = 0 e use-as para escrever o polinómio z^{4} + 4 como produto de factores de grau 2 com coeficientes reais.

15. Resolva, em C, as seguintes equações:

(a) z^{2} = −1;  (b) z^{3} = 1 + i;  (c) z^{6} = i + 1;
(d) z^{4} − \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{i}{2} = 0;  (e) (z + 3i)^{6} = i + 1;  (f) z^{4} − 1 = 0;
(g) z^{2} + 2z + 2 = 0;  (h) 4z^{3} + 13z + 17 = 0;  (i) z^{2} + iz + 2 = 0.

16. Considere a circunferência de centro na origem das coordenadas e raio 1. Determine os vértices do hexágono regular inscrito nessa circunferência e que contém como vértice o ponto (1, 0).

17. Identifique no plano complexo as regiões definidas pelas seguintes condições:

(a) |z − 1| = 1 e |z − i| ≤ 1;  (b) |z − 2| = |z − 3i| ≤ 2;
(c) |\frac{z}{z+1} | ≤ 2;  (d) |\frac{1}{z} | ≤ 2;
(e) Re (z − iz) ≥ 2;  (f) |5z − 5 + 10i| < 5 e |\frac{4}{z} | < 2.