Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 10

134. Sejam x, y ∈ IR^{n}. Demonstre que:

(a) Se ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}, então x e y são ortogonais.

(b) Se ∥x∥ = ∥y∥, então os vectores x + y e x − y são ortogonais.

(c) Se x e y forem ortogonais então ∥x + y∥ = ∥x − y∥. Interprete geometricamente em IR^{2} e IR^{3}, as alíneas (c) e (d).

135. Sendo x, y ∈ IR^{n} e sendo θ o ângulo entre eles, mostre que ∥x − y∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2} − 2 ∥x∥ ∥y∥ cos θ. (Em IR^{2} ou IR^{3}, isto é o clássico Teorema dos Co-senos, ou Teorema de Carnot, sobre triângulos.) Note que este enunciado generaliza o Teorema de Pitágoras.

136. Que múltiplo de v_{1} = (1, 1) devemos subtrair de v_{2} = (4, 0) para que o resultado seja ortogonal a v_{1}? Faça uma figura.

137. Seja F o subespaço de IR^{4} constituído pelos vectores ortogonais a (1, −1, 1, −1) e a (2, 3, −1, 2). Determine uma base para F. A partir dessa base determine uma base ortonormada para F.

138. Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormada para IR^{3} a partir dos vectores (1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 3, 4).

139. Seja F o subespaço de IR^{4} gerado pelos vectores (1, 1, −1, −2), (−2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7) e (3, −3, −3, −9). Determine a dimensão de F e encontre uma base ortonormada para F.

140. Projecte o vector b = (1, 3, 2) sobre os vectores (não ortogonais) v_{1} = (1, 0, 0) e v_{2} = (1, 1, 0). Mostre que, ao contrário do caso ortogonal, a soma das duas projecções não dá a projecção ortogonal de b sobre o subespaço gerado por v_{1} e v_{2}.

141. Calcule a projecção ortogonal do vector (2, −2, 1) sobre o plano gerado pelos vectores (1, 1, 1) e (0, 1, 3).

142. (a) Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} = 1 \\ x_{2} = 1 \\ x_{1} + x_{2} = 0. \end{matrix}

(b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por \overline{x} a solução encontrada, determine a projecção p = A\overline{x} de b sobre o espaço das colunas de A.

(c) Calcule o erro ∥A\overline{x} − b∥.

(d) Verifique que b − p é perpendicular às colunas de A.

143. Mesmo exercício para o sistema

\{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{2} = 1 \\ 2x_{1} + 5x_{2} = 0 \\ 3x_{1} + 7x_{2} = 2. \end{matrix}

144. Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema (com m equações e uma incógnita) x = β_{1}, x = β_{2}, …, x = β_{m}.

145. Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema do exercício 72.(d) substituindo o segundo membro da última equação por 0.

146. O sistema do exercício 72.(c) é impossível. Verifique que a solução no sentido dos mínimos quadrados desse sistema não é única. Seria isso de esperar? Porquê?

147. Determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos seguintes pontos (e represente graficamente):

(a) (0, 0), (1, 0), (3, 12); (b) (−1, 2), (1, −3), (2, −5), (0, 0).

148. Ache uma fórmula geral para o declive e a ordenada na origem da recta que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos pontos (α_{1}, β_{1}), …, (α_{m}, β_{m}).