Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 11

149. (a) Demonstre que dois planos S_{1} = {p_{1}} + F_{1} e S_{2} = {p_{2}} + F_{2} coincidem se e só se

F_{1} = F_{2} e p_{1} − p_{2} ∈ F_{1}.

(b) Conclua da alínea anterior que o subespaço director de um plano é único.

(c) Conclua ainda que qualquer vector de um plano serve como vector de translação.

150. Seja S = {p} + F um plano.

(a) Prove que, se dois vectores u e v pertencem a S, então u − v ∈ F.

(b) Prove que, reciprocamente, se u ∈ S e u − v ∈ F, então v ∈ S.

151. Prove que um plano S = {p} + F é um subespaço se e só se p ∈ F.

152. (a) O que é um plano de dimensão 0?

(b) O que é um plano de dimensão n em IR^{n}?

153. Sejam S_{1} = {p_{1}} + F_{1} e S_{2} = {p_{2}} + F_{2} dois planos de IR^{n}.

(a) Prove que, se a intersecção de S_{1} com S_{2} não for vazia, então é um plano de subespaço director F_{1} ∩ F_{2}.

(b) Prove que, se S_{1} tiver dimensão k e S_{2} tiver dimensão h, e se k + h > n, então S_{1} ∩ S_{2}, se não for vazia, tem dimensão maior ou igual a k + h − n. (Recorde o exercício 144.) Interprete os resultados em IR^{3} e em IR^{4}.

154. Prove que a intersecção de um plano S = {p} + F com um subespaço suplementar de F se reduz a um vector. Interprete este resultado para planos em IR^{2} e em IR^{3}.

155. Prove que se uma recta tem dois vectores em comum com um plano, então está contida nele.

156. Diga se os vectores a = (1, 6, 4, 4, −2) e b = (1, 6, 5, 4, −2) pertencem ao plano em IR^{5} de equação x = p + α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2}, onde p = (2, 3, −1, 1, 1), v_{1} = (3, −1, 1, −1, 1) e v_{2} = (−1, 1, 1, 1, −1).

157. Para cada uma das seguintes rectas em IR^{4}, determine a sua posição em relação ao plano que passa por (1, 0, 0, 1) e é paralelo aos vectores (5, 2, −3, 1), (4, 1, −1, 0) e (−1, 2, −5, 3):

(a) x = (3, 1, −4, 1) + α(−1, 1, 2, 1), α ∈ IR;

(b) x = (3, 0, −4, 1) + α(−1, 1, 2, 1), α ∈ IR;

(c) x = (−2, 0, −1, 2) + α(1, 1, −2, 1), α ∈ IR.

158. Mostre que são concorrentes as duas rectas em IR^{5} {(2, 1, 1, 3, −3)} + L{(2, 3, 1, 1, −1)} e {(1, 1, 2, 1, 2)} + L{(1, 2, 1, 0, 1)} e determine o seu ponto de intersecção. Indique o plano de dimensão 2 que contém estas duas rectas.

159. Mostre que não existe nenhum plano de dimensão 2 em IR^{5} que contenha as rectas {(8, 2, 5, 15, −3)} + L{(7, −4, 11, 13, −5)} e {(−7, 2, −6, −5, 3)} + L{(2, 9, −10, −6, 4)}. Indique um plano de dimensão 3 que contenha as duas rectas.

160. Escreva a equação geral (ou cartesiana) de cada um dos seguintes planos em IR^{3}:

(a) O plano que contém o ponto (1, 2, 3) e é perpendicular ao vector (−1, 1, 0).

(b) O plano que contém os pontos (2, 1, 3), (−3, −1, 3) e (4, 2, 3).

(c) O plano que contém o ponto (6, 0, −2) e é paralelo aos vectores (1, 0, 0) e (0, −2, 1).

(d) O plano que contém o ponto (4, −1, 2) e é paralelo ao plano 2x − 3y − z = 5.

161. Calcule a distância do ponto b = (2, 1, 0) ao plano de equação x + y − z = 0. Qual é o ponto desse plano que está mais próximo de b?

162. Considere o hiperplano em IR^{4} x = {p} + F, onde p = (0, 0, −3, 6) e F é gerado pelos vectores (1, 0, 2, −2), (0, 1, −2, 0) e (2, 1, 6, −4).

(a) Determine a equação cartesiana deste hiperplano.

(b) Calcule a distância de x_{0} = (5, 3, −1, −1) a esse hiperplano.

163. O ângulo entre dois planos ⟨u, x − p⟩ = 0 e ⟨v, x − q⟩ = 0 é o ângulo entre u e v (ou o suplementar desse, se ele não pertencer ao intervalo [0, \frac{π}{2} ].) Calcule o ângulo entre os planos x + y + 4z = 1 e x − 2y − 2z = 3.

164. Determine as equações cartesianas da recta que passa pelo ponto (2, −1, 4) e é perpendicular ao plano x − 3y + 2z = 1.

165. Determine as equações paramétricas da recta \{ \begin{matrix}2x − y − 3z = 5 \\ 2x + y = 2 \end{matrix} .

166. Calcule a distância do ponto x_{0} = (2, 0, 7)

(a) à recta que passa pelo ponto p = (0, 2, −3) e é paralela a v = (2, 2, 1);

(b) à recta de equações cartesianas \{ \begin{matrix}5x − 2y + z = −7 \\ 3x − 3y + z = −4 \end{matrix} .

167. Dadas as rectas \{ \begin{matrix}x = 3 + α \\ y = α \\ z = −1 − 2α \end{matrix} e \{ \begin{matrix}2x + y + 3z = 0 \\ x + 2y = 6 \end{matrix}

(a) verifique que são concorrentes e determine o seu ponto de intersecção;

(b) calcule o ângulo entre elas.