Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2001/02 Folha 12

Valores Próprios e Vectores Próprios

168. Calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios de cada uma das seguintes matrizes (indicando uma base para os espaços próprios).

(a) [ \begin{matrix}4 & −5 \\ 2 & −3 \end{matrix} ]; (b) [ \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]; (c) [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ];

(d) [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]; (e) [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & −1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ]; (f) [ \begin{matrix}3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{matrix} ];

(g) [ \begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix} ]; (h) [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{matrix} ] .

169. Sabe-se que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios. Verifique que a

recíproca não é verdadeira através das matrizes [ \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] e [ \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ] .

170. (a) Determine os valores e os vectores próprios da matriz

[ \begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ] .

(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.

171. Quais são os valores próprios de uma matriz triangular ?

172. Determine os vectores próprios das seguintes matrizes:

(a) [ \begin{matrix}4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} ]; (b) [ \begin{matrix}α & 1 & 0 \\ 0 & α & 1 \\ 0 & 0 & β \end{matrix} ] (estude os casos α = β e α ≠ β).

173. Suponhamos que A tem os valores próprios μ_{1}, …, μ_{n}. Prove que, então, μ_{1}^{2}, …, μ_{n}^{2} são valores próprios de A^{2} e que qualquer vector próprio de A é também vector próprio de A^{2}. Generalize para qualquer potência de A.

174. Diga se cada uma das matrizes do exercício 168 é ou não diagonalizável, e em caso afirmativo determine uma matriz diagonalizante.

175. Uma matriz real 2 × 2 A tem valores próprios 3 e 5, e a eles estão associados, respectivamente, os vectores próprios [ 1 2 ]^{T} e [ 2 −1 ]^{T} . Prove que A é simétrica.

176. Considere a matriz A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

(a) Determine os valores próprios de A.

(b) Determine um vector próprio de A, associado ao valor próprio 0, que tenha norma 1.

(c) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes.

177. Considere a matriz A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ] .

(a) Determine os valores próprios de A.

(b) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes.

178. Calcule [ \begin{matrix}3 & 4 \\ 5 & 2 \end{matrix} ]^{9} .

179. Considere a matriz A = [ \begin{matrix}7 & −4 \\ 9 & −5 \end{matrix} ] .

(a) Calcule os valores próprios de A.

(b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável.