Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 3

30. Se A é uma matriz invertível e α é um escalar não nulo, mostre que a matriz αA é invertível tendo-se (αA)^{−1} = \frac{1}{α}A^{−1}.

31. Prove que, se A comuta com B e esta é invertível, então A também comuta com B^{−1}.

32. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Suponhamos que existe um número natural k tal que A^{k} = 0 (matriz nula). Mostre que, então I − A é invertível tendo-se

(I − A)^{−1} = I + A + A^{2} + … + A^{k−1}.

33. Usando o exercício 32, calcule [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]^{−1}.

34. Se A e B são matrizes n × n invertíveis, mostre que

A^{−1} + B^{−1} = A^{−1}(A + B)B^{−1}.

(Que igualdade é esta no caso n = 1 ?)

35. Demonstre que a conjugação de matrizes de complexos goza das seguintes propriedades:

(a) \overline{\overline{A}} = A;

(b) \overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B};

(c) \overline{(αA)} = \overline{α}\overline{A}, sendo α um número complexo;

(d) \overline{AB} = \overline{A} \overline{B};

(e) \overline{A^{k}} = \overline{A}^{k}, sendo k um número natural;

(f) Se A for invertível, \overline{A} também é, tendo-se (\overline{A})^{−1} = \overline{A^{−1}}.

36. Sendo A quadrada, mostre que A + A^{T} é simétrica. E A − A^{T} ?

37. Sejam A n×n e S n×m, com A simétrica. Mostre que S^{T} AS é simétrica.

38. Sejam A e B matrizes n × n simétricas. Prove que a matriz C = ABAB...ABA é simétrica.

39. Seja x um vector-coluna.

(a) Verifique que o produto x^{T} x é um número (ou matriz 1×1).

(b) Mostre que, se os elementos de x forem reais, esse número é sempre não negativo e é 0 se e só se x = 0.

(c) Dê exemplos de vectores-coluna x ≠ 0 com elementos complexos para os quais x^{T} x = 0 e também exemplos em que x^{T} x < 0.

40. Como sabe o produto de duas matrizes pode ser a matriz nula sem que nenhum dos factores o seja. Mas se as duas matrizes (reais) forem a transposta uma da outra, tal não acontece. Concretamente: Prove que, sendo A uma matriz m×n de elementos reais, se A^{T} A = 0 então A = 0.

41. Uma matriz quadrada diz-se \underline{ortogonal} se for invertível e a sua inversa coincidir com a sua transposta. Verifique que a seguinte matriz é ortogonal:

A = [ \begin{matrix}0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{−1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{−1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} ] .

42. Seja A uma matriz n × n e designemos por v_{1}, v_{2}, ..., v_{n} as suas colunas. Prove que A é ortogonal se e só se, para i, j = 1, 2, ..., n, se tem v_{i}^{T} v_{j} = δ_{ij}.

43. Uma matriz quadrada A diz-se \underline{involutória} ou uma involução se A^{2} = I. Mostre que cada uma das seguintes propriedades de uma matriz quadrada é consequência das outras duas: simétrica, ortogonal, involutória.

Sistemas de Equações Lineares

44. Resolva pelo método de eliminação de Gauss o sistema de equações

\{ \begin{matrix}x − y & = & 0 \\ x + 2y & = & 6 \end{matrix}

e desenhe no plano xy as duas rectas cujas equações são as indicadas. Desenhe também as rectas que aparecem no final da eliminação.

45. Resolva os seguintes sistemas, quando possíveis, usando o método de eliminação. Registe os pivots utilizados e as operações que efectuou com as equações.

\begin{matrix}(a) \{ \begin{matrix}2x_{1} − x_{2} + 3x_{3} & = & 8 \\ −3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} & = & −7 \\ −2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} & = & −3 \end{matrix} & (b) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} & = & 0 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} & = & 1 \end{matrix} \\ (c) \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} − 3x_{3} + 4x_{4} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} & = & −1 \\ −x_{2} − 2x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4} & = & −2 \end{matrix} & (d) \{ \begin{matrix}2x_{1} + x_{2} − x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ 3x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} − 3x_{4} & = & 2 \\ 5x_{1} + x_{2} − x_{3} + 2x_{4} & = & −1 \\ 2x_{1} − x_{2} + x_{3} − 3x_{4} & = & 4 \end{matrix} \\ (e) \{ \begin{matrix}x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} − 4x_{4} & = & 4 \\ x_{2} − x_{3} + x_{4} & = & −3 \\ x_{1} + 3x_{2} − 3x_{4} & = & 1 \\ −7x_{2} + 3x_{3} + x_{4} & = & −3 \end{matrix} & (f) \{ \begin{matrix}−x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ 2x_{1} − 3x_{2} − x_{3} + 2x_{4} & = & 7 \\ x_{1} − 5x_{2} + 2x_{3} − x_{4} & = & −4 \\ −2x_{1} + 4x_{2} + x_{3} + 2x_{4} & = & 2 \end{matrix} \end{matrix}