Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 4

46. Resolva os seguintes sistemas, quando possíveis, usando o método de eliminação. Registe os pivots utilizados e as operações que efectuou com as equações.

\begin{matrix}(g) \{ \begin{matrix}2x_{1} + 3x_{2} − x_{3} + 5x_{4} & = & 0 \\ 3x_{1} − x_{2} + 2x_{3} − 7x_{4} & = & 0 \\ 4x_{1} + x_{2} − 3x_{3} + 6x_{4} & = & 0 \\ x_{1} − 2x_{2} + 4x_{3} − 7x_{4} & = & 0 \end{matrix} & (h) \{ \begin{matrix}3x_{1} + 4x_{2} − 5x_{3} + 7x_{4} & = & 0 \\ 2x_{1} − 3x_{2} + 3x_{3} − 2x_{4} & = & 0 \\ 4x_{1} + 11x_{2} − 13x_{3} + 16x_{4} & = & 0 \\ 7x_{1} − 2x_{2} + x_{3} + 3x_{4} & = & 0 \end{matrix} \\ (i) \{ \begin{matrix}x_{1} & +x_{2} & & & & = & 1 \\ x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & & & = & 4 \\ & x_{2} & +x_{3} & +x_{4} & & = & −3 \\ & & x_{3} & +x_{4} & +x_{5} & = & 2 \\ & & & x_{4} & +x_{5} & = & −1 \end{matrix} & (j) \{ \begin{matrix}x_{1} − 2x_{2} + 3x_{3} − 4x_{4} + 2x_{5} & = & −2 \\ x_{1} + 2x_{2} − x_{3} − x_{5} & = & −3 \\ x_{1} − x_{2} + 2x_{3} − 3x_{4} & = & 10 \\ x_{2} − x_{3} + x_{4} − 2x_{5} & = & −5 \\ 2x_{1} + 3x_{2} − x_{3} + x_{4} + 4x_{5} & = & 1 \end{matrix} \end{matrix}

47. Mesmo exercício para os sistemas das alíneas (a) a (f). (Observe as relações existentes entre esses sistemas e utilize-as para resolver o exercício.)

\begin{matrix}(a) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 0 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} & = & 0 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} & = & 0 \end{matrix} & (b) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} & = & 3 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} & = & 0 \end{matrix} \\ (c) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 11 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} & = & 23 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} & = & 30 \end{matrix} & (d) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} & = & 10 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} & = & 23 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} & = & 30 \end{matrix} \\ (e) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} & = & 3 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} & = & 0 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 9x_{3} + 4x_{4} & = & 3 \end{matrix} & (f) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = & 1 \\ x_{1} + x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} & = & 3 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} & = & 0 \\ 3x_{1} + 5x_{2} + 9x_{3} + 4x_{4} & = & 2 \end{matrix} \end{matrix}

(g) Acrescente uma equação ao sistema da alínea (b) de modo que o novo sistema seja possível e determinado.

48. Determine os números complexos z e w que satisfazem

\{ \begin{matrix}iz + (1 + i)w = 3 + i \\ (1 − i)z − (6 − i)w = 4 \end{matrix}

49. Determine os valores de α para os quais o sistema

\{ \begin{matrix}αx + y = 1 \\ x + αy = 1 \end{matrix}

(i) não tem solução; (ii) tem uma solução; (iii) tem uma infinidade de soluções.

50. Considere o sistema de equações onde β é um parâmetro real:

\{ \begin{matrix}x + βy + βz = 0 \\ βx + y + z = 0 \\ x + y + βz = β^{2} \end{matrix}

(a) Discuta o sistema em função de β.

(b) Considere o sistema homogéneo associado a β = 0 e determine a solução (ou soluções) do sistema.

51. Considere o sistema de equações nos parâmetros reais a, b e c:

\{ \begin{matrix}ax_{1} & +bx_{2} & & = & c \\ & bx_{2} & −x_{3} & = & 1 \\ x_{1} & & +x_{3} & = & 2 \end{matrix}

Determine a relação entre a, b e c de forma que o sistema só tenha uma variável livre.

52. Considere o sistema de equações:

\{ \begin{matrix}2x_{1} + 4x_{2} & = & 16 \\ 5x_{1} − 2x_{2} & = & 4 \\ 3x_{1} + ax_{2} & = & 9 \\ 4x_{1} + bx_{2} & = & −7 \end{matrix}

Determine a e b de forma que o sistema seja possível e determine a solução nesse caso.

53. Efectue os seguintes produtos de matrizes

\begin{matrix}(a) [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & −1 & −2 \\ 1 & −5 & 3 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ]; & (b) [ \begin{matrix}1 & 3 & 1 \\ −2 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ]; \\ (c) [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ]; & (d) [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ −1 & 4 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ] . \end{matrix}

54. Usando o exercício 53 indique um sistema de equações lineares (a) com três equações e três incógnitas que tenha [−2 1 −1]^{T} como solução;

(b) com duas equações e três incógnitas que tenha [1 −1 0]^{T} como solução;

(c) com três equações e três incógnitas que tenha [1 1 1]^{T} como solução;

(d) com três equações e duas incógnitas que tenha [1 2]^{T} como solução.