Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 5

55. Considere as matrizes L_{1} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{matrix} ] e L_{2} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & 0 \\ b & c & 1 & 0 \\ d & e & f & 1 \end{matrix} ] .

(a) Decomponha, de várias maneiras diferentes, L_{1} e L_{2} como produto de matrizes triangulares inferiores elementares.

(b) Use a alínea anterior para escrever L_{1}^{−1} e L_{2}^{−1} como produto de matrizes triangulares inferiores elementares.

(c) Calcule L_{1}^{−1} e L_{2}^{−1}.

(d) Decomponha L_{1}^{−1} e L_{2}^{−1} como produto de matrizes triangulares inferiores elementares cujos α’s sejam os elementos das matrizes L_{1}^{−1} e L_{2}^{−1} obtidas em (c). Observe que não existe uma expressão simples para obter L_{1}^{−1} e L_{2}^{−1} a partir das entradas de L_{1} e L_{2}, respectivamente.

56. Ache as decomposições LU e LDU das seguintes matrizes:

(a) [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 8 & 1 \end{matrix} ];  (b) [ \begin{matrix}2 & 1 \\ 8 & 7 \end{matrix} ];  (c) [ \begin{matrix}2 & −3 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} ];  (d) [ \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 3 & 12 & 18 \\ 5 & 18 & 30 \end{matrix} ];

(e) [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 & 0 \\ −1 & 2 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 2 \end{matrix} ]; (f) [ \begin{matrix}2 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 9 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 5 \end{matrix} ] .

Que relação nota entre os factores triangulares da decomposição LDU nas alíneas (d) e (e) ? (Ver-se-á adiante que isto está relacionado com a estrutura das matrizes dessas alíneas.)

57. Mediante a resolução de sistemas triangulares resolva os sistemas Ax = b_{1} e Ax = b_{2} onde, (a) A é a matriz da alínea (c) do exercício 56 e com b_{1} = [ 8 5 1 ]^{T} e b_{2} = [ 1 0 0 ]^{T} ;

(b) A é a matriz da alínea (e) do exercício 56 e com b_{1} = [ 1 1 1 1 ]^{T} e b_{2} = [ 1 2 3 4 ]^{T} ;

(c) A é a matriz da alínea (f) do exercício 56 e com b_{1} = [ 6 4 8 − 4 ]^{T} e b_{2} = [ 1 2 4 7 ]^{T} .

58. Seja A = [ \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & −2 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ] .

(a) Determine a decomposição LU de A.

(b) Determine a matriz inversa de L e a matriz inversa de U.

(c) Usando os resultados obtidos na alínea anterior calcule A^{−1}.

59. Sendo A quadrada não singular, mostre que a matriz D nas decomposições LDU de A e A^{T} é a mesma.

(Por outras palavras, A e A^{T} têm os mesmos pivots.)

60. Sendo A = [ \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 9 \\ 1 & 8 & 8 \end{matrix} ] determine uma matriz de permutação P para a qual exista a decom-

posição LU de P A e determine os factores dessa decomposição.

61. Determine as decomposições P A = LDU sendo:

(a) A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} ];  (b) A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ];  (c) A = [ \begin{matrix}0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ d & e & f \end{matrix} ] , a, c, d ≠ 0.

62. Dê exemplo de uma matriz não singular 4 × 4 que exija três trocas de linhas para levar a eliminação até ao fim.

63. Para cada uma das matrizes A = [ \begin{matrix}γ & 2 \\ 6 & 4 \end{matrix} ] e B = [ \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ α & 8 & 3 \\ 0 & β & 3 \end{matrix} ] , diga que valores dos

parâmetros tornam necessárias trocas de linhas no processo de factorização, e que valores dos parâmetros tornam a matriz singular.

64. Considere A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1/2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ], P = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ] e b = [ \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} ], onde b_{1}, b_{2}, b_{3}

∈ IR. Resolva os seguintes sistemas:

(a) Ax = b;  (b) P Ax = b;  (c) Ax = P b;

(d) LP Ux = b, onde L e U são as matrizes da factorização da matriz A acima.

65. Ache a decomposição A = LU com A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ] e resolva Ax = b para os três segundos

membros indicados:

(a) b = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] ,  (b) b = [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] ,  (c) b = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] .

66. Ache as inversas das seguintes matrizes:

(a) [ \begin{matrix}3 & 4 \\ 5 & 7 \end{matrix} ];  (b) [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ];  (c) [ \begin{matrix}0 & 2 & −1 \\ 1 & 1 & −1 \\ −2 & −5 & 4 \end{matrix} ];  (d) [ \begin{matrix}2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 4 & 4 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \end{matrix} ] .

67. Tendo presente o método de Gauss-Jordan, recorde que, se uma matriz é invertível, então pode escrever-se como um produto de matrizes elementares, matrizes de permutação e matrizes diagonais não-singulares. Escreva nessa forma as matrizes do exercício 66.