Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2001/02 Folha 6

68. Seja A = LDU com D diagonal não singular e L e U triangulares (resp. inferior e superior) de elementos diagonais iguais a 1. Prove que, se A for simétrica, então U = L^{T}. Sugestão: Transponha ambos os membros da igualdade A = LDU e use a unicidade da factorização LDU de A. (Portanto, para matrizes não singulares simétricas, a eliminação é mais simples.)

69. Efectue a factorizacao LDL^{T} das seguintes matrizes:

(a) [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \end{matrix} ];  (b) [ \begin{matrix}1 & 4 & 7 & 3 \\ 4 & 15 & 25 & 10 \\ 7 & 25 & 39 & 22 \\ 3 & 10 & 22 & 5 \end{matrix} ];  (c) [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 9 \\ 4 & 9 & 7 \end{matrix} ] .

70. Para cada uma das seguintes matrizes A, - determine uma factorização LU, onde L é triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 e U é uma matriz em escada (se tal não for possível, faça-o para P A, onde P é uma matriz de permutação adequada);

- registe os pivots usados na eliminação e indique a característica de A;

- determine relativamente ao sistema Ax = 0, as incógnitas básicas e as incógnitas livres e escreva a solução geral como combinação linear de um número de vectores tão pequeno quanto possível:

(a) [ \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{matrix} ];  (b) [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ];  (c) [ \begin{matrix}0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 8 & 0 \end{matrix} ];

(d) a transposta da matriz da alínea anterior;

(e) [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} ];  (f) [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ];  (g) [ \begin{matrix}2 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

71. Para as matrizes das alíneas (c), (d) e (e) do exercício 70, diga quais os vectores coluna b para os quais o sistema Ax = b é possível e para esses escreva a solução geral do sistema.

72. Para cada um dos seguintes sistemas, escreva a solução geral como soma de uma solução particular, caso exista, com a solução geral do sistema homogéneo correspondente:

\begin{matrix}(a) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} − x_{3} = 2 \end{matrix} ; & (b) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \\ 2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 \\ 3x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4 \end{matrix} ; \\ (c) \{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 \\ 2x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 \\ 3x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5 \end{matrix} ; & (d) \{ \begin{matrix}x_{1} + 8x_{2} + 6x_{3} = −2 \\ x_{1} + 7x_{2} + 5x_{3} = 3 \\ −2x_{1} − 9x_{2} + 5x_{3} = 7 \\ x_{1} + 12x_{2} + 20x_{3} = 16 \end{matrix} . \end{matrix}

73. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que, se b for uma coluna de A, então o sistema Ax = b é possível e indique uma solução.

Determinantes

74. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Qual a relação com detA de:

(a) det(2A) ? (b) det(−A) ?

75. Calcule os seguintes determinantes:

(a) | \begin{matrix}1 & 3 \\ −2 & 4 \end{matrix} |; (b) | \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & −5 \end{matrix} |; (c) | \begin{matrix}−1 & −3 \\ −2 & 0 \end{matrix} |; (d) | \begin{matrix}−2 & −1 \\ −2 & 5 \end{matrix} |;

(e) | \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} |; (f) | \begin{matrix}3 & 1 & 3 \\ −3 & 2 & −2 \\ −2 & 1 & 2 \end{matrix} |; (g) | \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} |; (h) | \begin{matrix}−2 & 0 & 4 \\ 1 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | .

76. Calcule os determinantes das matrizes referidas nos exercícios 1, 2.(c), 11.(a)(i), 11.(a)(ii), 12, 17.(a), 19, 21 e 41.

77. Calcule o determinante de cada uma matrizes seguintes:

(a) [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 \end{matrix} ]; (b) [ \begin{matrix}a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b \\ 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d & 0 \end{matrix} ]; (c) [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]; (d) [ \begin{matrix}1 & 2 & −2 & 0 \\ 2 & 3 & −4 & 1 \\ −1 & −2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 \end{matrix} ] .

78. Calcule os determinantes das matrizes do exercício 66, bem como das respectivas matrizes inversas. Que relação existe entre o determinante de uma matriz e o determinante da matriz inversa?