Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2001/02 Folha 7

IR^{n}, Subespaços, Dimensão

79. Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR^{4} são subespaços de IR^{4} :

(a) {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{1} + x_{2} = 0 e x_{3} = x_{4}};

(b) {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 e x_{4} é um inteiro não nulo};

(c) {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{2} = 0};

(d) {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1}.

80. Sejam F e G subespaços de IR^{n}. Define-se a sua \underline{soma} como sendo o conjunto F + G = {v + w : v ∈ F e w ∈ G}. Mostre que

(a) F + G é um subespaço de IR^{n}.

(b) F + G contém F e G (ou seja, contém F ⋃ G).

(c) F + G é o menor subespaço de V que contém F ⋃ G, isto é, para todo o subespaço H que contém F ⋃ G tem-se F + G ⊆ H.

81. Sejam F e G subespaços de IR^{n} e considere-se o subespaço H = F + G. Diz-se que H é a \underline{soma directa} de F com G e escreve-se H = F ⨁ G se F ⋂ G = \{0\}. Mostre que H = F ⨁ G se e só se o vector nulo de IR^{n} se escreve \underline{de modo único} como soma de um vector de F com um vector de G.

82. Diga se o vector (2, 5, −3) pertence ao subespaço de IR^{3} gerado pelos vectores (1, 4, −2) e (−2, 1, 3).

83. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de IR^{4} gerado pelos vectores (1, 0, 2, 1) e (1, −1, 2, 2).

84. Considere os seguintes vectores de IR^{3} :

v_{1} = (1, 0, 2), v_{2} = (1, −1, 1), v_{3} = (0, −1, −1), v_{4} = (1, −1/2, 3/2).

Prove que o subespaço gerado por v_{1} e v_{2} coincide com o subespaço gerado por v_{3} e v_{4}.

85. Descreva geometricamente o subespaço de IR^{3} gerado por:

(a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0); (b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1);

(c) os seis vectores indicados em (a) e (b).

86. Sendo A m × n, mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v ∈ IR^{n}}.

87. Sejam S e T subconjuntos finitos e não vazios de IR^{n}. Prove que:

(a) S ⊆ T ⟹ L(S) ⊆ L(T).

(b) L(S) + L(T) = L(S ∪ T).

(c) L(S) = S ⟺ S é um subespaço de IR^{n}.

(d) S ⊆ T ⊆ L(S) ⟹ L(S) = L(T).

88. Sejam u, v e w vectores de IR^{n}. Mostre que, se existirem números α, β e γ (com α e γ não nulos) tais que αu + βv + γw = 0, então L{u, v} = L{v, w}.

89. Escreva o vector (2, −3) de IR^{2} como combinação linear dos vectores

(a) (1, 0) e (0, 1);  (b) (1, 1) e (1, 2);  (c) (0, 1) e (2, −3).

90. (a) Escreva o vector nulo de IR^{2} como combinação linear dos vectores (2, −3) e (−4, 6) de várias maneiras diferentes.

(b) Pode o vector nulo de IR^{2} escrever-se como combinação linear dos vectores (2, −3) e (4, 6) de mais que uma maneira ?

91. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores IR^{3} são linearmente independentes e em caso de dependência escreva um dos vectores como combinação linear dos outros:

(a) {(1, −2, 3), (3, −6, 9)};  (b) {(1, −2, −3), (3, 2, 1)};
(c) {(0, 1, −2), (1, −1, 1), (1, 2, 1)};  (d) {(0, 2, −4), (1, −2, −1), (1, −4, 3)};

(e) {(1, −1, −1), (2, 3, 1), (−1, 4, −2), (3, 1, 2)}.

92. Considere os vectores de IR^{4}:

v_{1} = (1, 0, 1, 0), v_{2} = (1, −1, 1, −1), v_{3} = (−2, 0, 1, 2), v_{4} = (3, −1, 3, −1).

(a) Mostre que v_{1}, v_{2}, v_{3} são linearmente independentes.

(b) Mostre que v_{1}, v_{2}, v_{4} são linearmente dependentes.

93. Discuta segundo os valores de μ a dependência ou independência linear dos vectores de

IR^{4}
v_{1} = (1, −2, −5, 8), v_{2} = (−1, 1, 1, 5), v_{3} = (1, 2, 11, μ).

94. Diga para que valores de α, β e γ, os vectores (0, γ, −β), (−γ, 0, α), (β, −α, 0) são linearmente independentes.

95. Sejam v_{1}, v_{2}, v_{3} vectores linearmente independentes de IR^{n}. Diga se é linearmente independente cada um dos seguintes conjuntos de vectores:

(a) {v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} + v_{3}}; (b) {v_{1} + v_{2}, v_{2} + v_{3}, v_{3} + v_{1}};

(c) {v_{1} − v_{2}, v_{2} − v_{3}, v_{3} − v_{1}}.

96. Sejam F e G subespaços de IR^{n} tais que F ∩ G = {0}. Prove que, sendo 0 ≠ x ∈ F e 0 ≠ y ∈ G, os vectores x e y são linearmente independentes.