Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2000/01 Folha 8

97. Sejam v_{1}, v_{2}, …, v_{k} vectores de IR^{n} e suponha que um vector u é uma combinação linear deles. Sabe-se que, se os vectores v_{1}, v_{2}, …, v_{k} forem linearmente independentes, os coeficientes dessa combinação linear são univocamente determinados por u (isto é, u não se pode escrever como combinação linear desses vectores de mais que uma maneira).

Reciprocamente, prove que, se u se escreve como combinação linear deles de uma única maneira, então v_{1}, v_{2}, …, v_{k} são linearmente independentes.

98. Prove que a dependência ou independência de um conjunto de vectores de IR^{n} não se altera se:

(a) multiplicarmos um dos vectores do conjunto por um número α ≠ 0;

(b) somarmos a um dos vectores outro do conjunto multiplicado por um número.

(c) Prove, ainda, que após cada uma destas transformações, o subespaço gerado pelo conjunto continua a ser o mesmo.

99. Seja S um subconjunto finito de IR^{n}. Prove que para qualquer vector de IR^{n} se verifica a seguinte equivalência:

v ∉ L(S) ⟺ dim L(S ∪ {v}) = 1 + dim L(S).

100. Indique uma base de IR^{4} que contenha os vectores v_{1} = (1, 0, 1, 0) e v_{2} = (0, −1, 2, 1).

101. Considere os seguintes vectores de IR^{3} : v_{1} = (2, −3, 1), v_{2} = (0, 1, 2), v_{3} = (1, 1, −2).

(a) Mostre que {v_{1}, v_{2}, v_{3}} é uma base de IR^{3}.

(b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente a essa base.

102. Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de IR^{3} gerado pelos vectores (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9).

103. Para cada um dos subespaços de IR^{4} encontrados no exercício 79, determine a sua dimensão e indique uma base.

104. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR^{n}, prove que se trata de um subespaço, determine a sua dimensão e indique uma base.

(a) O conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais.

(b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são nulas.

(c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são todas iguais.

(d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, ...).

105. Dados os números reais α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}, determine a dimensão e indique uma base do subespaço de IR^{n} definido pela equação

α_{1}x_{1} + α_{2}x_{2} + … + α_{n}x_{n} = 0.

106. Prove que, se F e G forem subespaços de dimensão 3 de IR^{5}, então F e G têm de certeza um vector não nulo em comum. (Sugestão: Se juntarmos uma base de F com uma base de G obtemos 6 vectores.)

107. Considere os subespaços de IR^{4}:

F = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) : x_{1} = x_{3} e x_{4} = 2x_{2}}, G = L{(1, 0, 1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 2, −1, 1)}.

Determine a dimensão e indique uma base para F, G, F + G e F ∩ G.

108. Sejam F e G subespaços de IR^{n}.

(a) Prove que dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).

(Sugestão: Considere uma base de F ∩ G e estenda-a por um lado a uma base de F e por outro lado a uma base de G. Em seguida verifique que reunindo as duas bases assim obtidas - e, claro, eliminando vectores repetidos, que são os da base de F ∩ G - se obtém uma base de F + G.)

(b) Conclua da alínea anterior que, se F ∩G = {0}, então dim(F ⊕G) = dim F +dim G. Como se pode obter uma base para F ⊕ G a partir das bases de F e G?

(c) Prove que dim(F ∩ G) ≥ dim F + dim G − n.

109. Considere os seguintes subconjuntos de IR^{3}:

F = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{3} = 0}, G = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} = 0}.

(a) Prove que F e G são subespaços de IR^{3}. Descreva-os geometricamente.

(b) Mostre que IR^{3} = F + G. Será IR^{3} = F ⊕ G?

110. Considere o seguinte subespaço de IR^{2}: F = {(x, 2x) : x ∈ IR}. Determine um subespaço suplementar de F, isto é, um subespaço G tal que IR^{2} = F ⊕ G. Esse espaço suplementar é único?

111. Mesmo exercício com o subespaço de IR^{4}: L{(1, 2, 3, 0), (2, −1, 2, 1)}.

112. Se F é um plano que passa pela origem em IR^{3}, quais são os possíveis subespaços suplementares de F? E se F é uma recta que passa na origem?

113. Determine a característica e o espaço nulo das matrizes [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] e [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] .