Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

Álgebra Linear/Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano lectivo 2001/02 Folha 9

114. Para cada uma das matrizes do exercício 70:

- indique a característica e a nulidade;

- determine uma base para o espaço das linhas e uma base para o espaço das colunas.

115. Considere a matriz A = [ \begin{matrix}1 & −α & 2 \\ α & −1 & 3α − 1 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} ] , onde α é um parâmetro real. Determine

para que valores de α a característica de A é, respectivamente, 1, 2 e 3. Em cada caso, determine bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de A.

116. O mesmo que no exercício 115 para a matriz A = [ \begin{matrix}1 & 2α & 1 \\ α & 1 & α \\ 0 & 1 & α \end{matrix} ] .

117. Considere os seguintes vectores de IR^{3}:

v_{1} = (1, α, 1),  v_{2} = (1, α − 1, 1) v_{3} = (1, α + 1, 1),  v_{4} = (α, 1, 1).

Determine os valores de α ∈ IR para os quais o subespaço gerado por estes quatro vectores tem dimensão 2.

118. Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1).

119. Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo contenha o vector (1, 0, 0) ?

120. Se A for uma matriz 64×17 com característica 11, quantos vectores linearmente independentes satisfazem Ax = 0 ? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem A^{T} y = 0 ?

121. Será verdade que para qualquer matriz A se tem nul(A) = nul(A^{T}) ?

122. Seja A n × n. Prove que, se A^{2} = A e car(A) = n, então A = I.

123. Escreva na forma uv^{T} as seguintes matrizes de característica 1 :

[ \begin{matrix}2 & −2 \\ 2 & −2 \end{matrix} ];  [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 6 \end{matrix} ];  [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 8 & 4 & 4 \\ −2 & −1 & −1 \end{matrix} ] .

124. Prove que, se uma matriz quadrada A satisfaz A^{2} = A, então N (A) ∩ C(A) = { 0 }.

Ângulos e Distâncias em IR^{n}

125. (a) Mostre que ⟨0, v⟩ = 0, para todo o v ∈ IR^{n}.

(b) Mostre que, se ⟨u, v⟩ = 0, para todo o v ∈ IR^{n}, então u = 0.

(c) Mostre que, se ⟨u, v⟩ = ⟨u′, v⟩, para todo o v ∈ IR^{n}, então u = u′.

126. Se os vectores v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} forem ortogonais, mostre que, quaisquer que sejam os números reais α_{1}, α_{2}, ..., α_{k}, os vectores α_{1}v_{1}, α_{2}v_{2}, ...., α_{k}v_{k} são também ortogonais.

127. Prove que, se um vector w for ortogonal a cada um dos vectores v_{1}, v_{2}, ..., v_{k} também é ortogonal a qualquer combinação linear deles.

128. Que mudança se dá no ângulo entre os vectores não nulos x e y se a) se multiplicar x por um número positivo ?

b) se multiplicar x por um número negativo ?

c) se multiplicar x e y por números negativos ?

129. No espaço IR^{3}, considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−3, 0, 1).

(a) Verifique que u e v são ortogonais.

(b) Calcule as normas de u e de v.

(c) Escreva os vectores \frac{u}{∥u∥} e \frac{v}{∥v∥}.

130. Calcule o ângulo que o vector (1, 1, ..., 1) ∈ IR^{n} faz com os vectores da base canónica.

131. Seja \{u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}\} uma base \underline{ortonormada} de IR^{n}. Seja x um vector com norma 1. Demonstre que as coordenadas de x na base {u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}} são iguais aos co-senos dos ângulos θ_{1}, θ_{2}, ..., θ_{n} de x com os vectores da base. Conclua que ∑_{i=1}^{n} cos^{2} θ_{i} = 1. (Nota: Aos valores cos θ_{1}, cos θ_{2}, ..., cos θ_{n} chamamos \underline{co-senos directores} do vector x.)

132. Mostre que o triângulo em IR^{3} cujos vértices são u = (\sqrt{2}, 0, −\sqrt{2}), v = (1, −\sqrt{2}, 1) e w = (−1, \sqrt{2}, −1) é rectângulo e isósceles.

133. Deduza, a partir da desigualdade triangular, que, sendo x, y e z quaisquer, se tem ∥x − y∥ ≤ ∥x − z∥ + ∥z − y∥. Qual é o significado geométrico desta desigualdade em IR^{2} e em IR^{3}?